精品解析：安徽蚌埠市2025-2026学年度第一学期期末监测九年级数学

2025-2026学年度第一学期期末监测九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题类”和“答题卡”两部分． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“议题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 如果，那么的值等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式，由已知条件化简得到的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：D 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，把代入，分别算出的值，即可作答． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴把分别代入 ∴ ∴ 故选：B 4. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ∵， ∴， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，，，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，勾股定理，由题可知，根据，可得． 【详解】解：根据题意可知， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：A 7. 如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，核心是利用抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合特殊点的函数值，判别式分析代数式的符号． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质，逐一分析选项即可． 【详解】解：已知抛物线经过，对称轴是，结合图象开口向下，因此， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， ，故A错误； 抛物线与轴有2个交点，说明一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式，即，故B错误； 当时，函数值为， 根据图象可得，当时，，故C错误； 对称轴公式，整理，即，故D正确． 故选：D． 8. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 9. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与的延长线分别交于点D，E．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，锐角三角函数，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰直角三角形的性质得，由三角函数可求，进而由解答即可求解， 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：． 10. 如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，旋转的性质等知识，过F作于G，并反向延长交于H，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，设，则，根据三角形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过F作于G，并反向延长交于H， ∵正方形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，，，依次成比例，其中，，，则线段的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查成比例线段，根据题意可得． 【详解】根据题意可知 变形，得 故答案为： 12. 如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出． 【详解】解：由正三角形的性质可知， 设正三角形构成的网格线段长为， 在中，，， 根据勾股定理，可得， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长等于__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， 由圆周角定理得：， 的长为：， 故答案为． 14. 如图，点是反比例函数图象第四象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为，过点作的平行线交轴于点，交图象第二象限分支于点．则 （1）四边形的面积为__________（用含的式子表示）； （2）的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，由反比例系数的几何意义，即可求解； （2）过作轴交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，可求即可求解． 【详解】解：（1）由条件可知，轴，， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积． 故答案为：； （2）过作轴交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设， ，，，， ∵ ，整理得：， 解得：（舍去）或， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值代入，然后运用实数运算法则进行计算． 【详解】解：原式． 16. 已知关于的二次函数的图象过点． （1）求出二次函数的解析式，并写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式，二次函数与不等式的关系． （1）先由待定系数法求解函数解析式，再配方乘顶点式，即可求解顶点坐标和对称轴； （2）先求出抛物线与x轴交点坐标，再结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：的图象过点， ∴把代入，得， 解得， 配方，得 ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交点为，， 画大致图象为： ∴当时，的取值范围是． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图． （1）将向左平移6个单位，再向下平移1个单位得到； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）请用无刻度的直尺在上取一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点M即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）取格点J，连接交于点M，点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若的面积为8，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． （1）由，，即可得出； （2）证明，得，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 又， ， 又， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若点为轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数的解析式为 （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象与性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握该相关知识是解决问题的关键． （1）利用待定系数法分别求出两个函数解析式即可； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）设点的坐标为，根据题意得到关于的方程解得或．即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点和在反比例函数的图象上， ， ，， 反比例函数的解析式为， 点和在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 由图可知，不等式时的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：由一次函数解析式可知，设点的坐标为，根据题意得： ， 解得或． 或． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 六、（本题满分12分） 21. 【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） （2）请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】（1）建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2） 解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； 【小问2详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． （1）求证：； （2）如图2，若时，求的长； （3）当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到角相等，进而判断三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到角相等，进而得到边相等，再根据勾股定理即可得到答案； （3）先判断三角形相似，再根据垂线段最短得到答案即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， 又∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴要想让取得最小值，只需要让取得最小值即可， ∵点P是边上的点， ∴时，最小，由（2）的过程可知：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是合理的运用三角形的相似； 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）将点A的坐标和对称轴代入二次函数中，即可求解； （2）表示出平移后的点B的坐标，再代入关系式，求出m的值； （3）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴解得， ∴二次函数的关系式为. 【小问2详解】 解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴的值为4． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，关于直线对称， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 当时，， 分三种情况： ①当时， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时取得最大值，即最大值为， 当时取得最小值，即最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时时取得最大值，即最大值为， 时取得最小值，即最小值为， 此时最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 此时时取得最小值，即最小值为， 时取得最大值，最大值为， 由题意可得：， 解得，， 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； 综上，n的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末监测九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题类”和“答题卡”两部分． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“议题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么的值等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 5. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与的延长线分别交于点D，E．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，，，依次成比例，其中，，，则线段的长为__________． 12. 如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为________． 13. 如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长等于__________（结果保留）． 14. 如图，点是反比例函数图象第四象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为，过点作的平行线交轴于点，交图象第二象限分支于点．则 （1）四边形的面积为__________（用含的式子表示）； （2）的值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知关于的二次函数的图象过点． （1）求出二次函数的解析式，并写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）当时，直接写出的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图． （1）将向左平移6个单位，再向下平移1个单位得到； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）请用无刻度的直尺在上取一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若的面积为8，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若点为轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） （2）请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． （1）求证：； （2）如图2，若时，求的长； （3）当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $