精品解析：山东桓台县渔洋中学2025-2026学年高二上学期数学学情自测

高二数学质量检测 一、单选题 1. 一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得摸到白球的概率为． 故选：A 2. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选:B. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程，易得直线与轴垂直，即可求解. 【详解】由直线，可得，此时直线与轴垂直， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心距与两圆半径的关系来判断即可. 【详解】由圆的圆心，半径为， 与圆的圆心，半径为， 则圆心距， 所以两圆位置关系是相外切， 故选：C. 5. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【详解】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 6. 已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程可知，结合椭圆定义即可得结果. 【详解】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 7. 等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得，故. 故选：A. 8. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 二、多选题 9. 如图，在三棱柱中，（    ） A. B. C. D. － 【答案】CD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得：， 故选：CD. 10. 已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可. 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为， 因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离， 对于A，圆心为到直线的距离，故A错误； 对于B，圆心为到直线的距离，故B正确； 对于C，圆心为到直线的距离，故C正确； 对于D，圆心为到直线的距离，故D正确； 故选：BCD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 的面积为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 三、填空题 12. 已知事件A，其对立事件记为，若，则_________． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】根据对立事件的性质即可求解． 【详解】事件A的对立事件为，， 则． 故答案为：0.7． 13. 已知数列的前n项和为，且满足，则______． 【答案】49 【解析】 【分析】由递推公式，结合等差数列的定义和前项和公式计算即可求解. 【详解】由，得，又， 所以数列是以2为公差，以1为首项的等差数列， 则. 故答案为：49 14. 设，向量，且，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据空间垂直向量的坐标表示可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以， 则. 故答案为： 四、解答题 15. 2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. （1）求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； （2）求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法公式求解； （2）利用对立事件的概率公式可求解. 【小问1详解】 设事件“甲地下雪”， 事件“乙地下雪”， 因为甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4，所以, 又两地是否下雪是相互独立的，所以甲、乙两地都下雪的概率为. 【小问2详解】 甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率为. 16. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， 因为， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过验证即可证明； （2）写出与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知圆过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）; （2）或. 【解析】 【分析】(1)利用弦的垂直平分线过圆心，可通过方程组求解圆心，再求半径，即可得圆的方程； (2)利用圆心到直线的距离等于半径来求切线方程即可. 【小问1详解】 和两点的中点坐标是，斜率是， 则线段的中垂线方程为：， 则圆心在直线上，又因为圆心在直线上， 所以联立方程组，即圆心坐标， 再由，即得圆的半径为， 所以圆的方程为：； 【小问2详解】 当过点且斜率不存在时，此时直线不与圆相切， 所以可以设过点且与圆相切的直线的方程为， 整理得：， 再由直线与圆相切可得：， 解得：或， 所以直线的方程为或. 18. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题知， 所以. 19. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学质量检测 一、单选题 1. 一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 5. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 8. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、多选题 9. 如图，在三棱柱中，（    ） A. B. C. D. － 10. 已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 的面积为 D. 三、填空题 12. 已知事件A，其对立事件记为，若，则_________． 13. 已知数列的前n项和为，且满足，则______． 14. 设，向量，且，则___________ 四、解答题 15. 2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. （1）求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； （2）求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 16. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知圆过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程． 18. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 19. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $