热点04概率-成都2026年数学中考专项练习

概率计算 一、【真题在现】 1、（2025成都中考）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 2、（2024成都中考）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 3、（2023成都中考）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（    ） A． B． C． D． 4、（2022成都中考）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 二、【代数与概率】 1. 《笠翁对韵》中写道：天对地，雨对风．现将分别写有“天”“地”“雨”“风”的四张卡片（除汉字外，其余完全相同）背面朝上，洗匀放好，小陈同学从中随机抽取一张（不放回）后，再随机抽取一张，则抽出的两张卡片上的字构成对应关系的概率是 ． 2. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是 ． 3. 如图，有两个可自由转动的转盘，转盘被分成二等份，分别标有数字、，转盘被分成三等份，分别标有数字、、，转动两个转盘各一次（若转到分界线，再重转一次），转盘停止后，指针指向的数字之和为0的概率是 ． 4. 从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 5. 在一个不透明的袋子里，装有枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在，由此估计袋子里黑色球的个数为 ． 6. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为 ． 7. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片上的数字和大于8的概率是 ． 8. 在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ． 9. 桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 10. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是 ． 三、【几何与概率】 11. 小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为 ． 12. 如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为 ． 13. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，于点，现将一个飞镖随机投掷到矩形内，则飞镖落在内（图中阴影部分）的概率为 ． 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 15. 如图，将一块菱形硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上于点，于点，若随意投出一针命中了菱形硬纸片，则命中矩形区域涂色部分的概率是 ． 16. 如图，将一枚飞镖任意投掷到等边镖盘内，已知分别是边的三等分点，连接．若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ． 17. 如图，为三角形纸板的中线，点为上一点且．点、是边的三等分点，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 18. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为 ． 19. 如图，正六边形内接于，，，均是正六边形的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ． 20. 在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 ． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率计算 一、【真题在现】 1、（2025成都中考）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 2、（2024成都中考）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 3、（2023成都中考）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种， ∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比． 4、（2022成都中考）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a， 由正方形的性质可知∠AOB=90°， ， 由正方形的性质可得CD=CE=OC=a， ∴DE=2a， S阴影=S圆-S小正方形=， S大正方形=， ∴这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键． 二、【代数与概率】 1. 《笠翁对韵》中写道：天对地，雨对风．现将分别写有“天”“地”“雨”“风”的四张卡片（除汉字外，其余完全相同）背面朝上，洗匀放好，小陈同学从中随机抽取一张（不放回）后，再随机抽取一张，则抽出的两张卡片上的字构成对应关系的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图法求概率，利用树状图法表示出抽取所有卡片的等可能的结果及满足条件的等可能结果，再求出概率． 【详解】解：“天”、“地”、“雨”、“风”分别用A、B、C、D表示，画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中满足条件的有4种， ∴概率， 故答案为：． 2. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，熟练掌握相关方法是解题关键．先画出树状图，则可得同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种， 则配成紫色的概率为， 故答案为：． 3. 如图，有两个可自由转动的转盘，转盘被分成二等份，分别标有数字、，转盘被分成三等份，分别标有数字、、，转动两个转盘各一次（若转到分界线，再重转一次），转盘停止后，指针指向的数字之和为0的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率计算公式即可求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中指针指向的数字之和为0的有2种结果， 所以指针指向的数字之和为0的概率为， 故答案为：． 4. 从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两次取出数的积不大于9的结果数，进而求出概率． 【详解】解：使得关于x的一元二次方程有实数解，即， 解得，也就是取出的两个数的积不大于9即可， 用列表法表示所有可能出现的结果如下： / 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 共有16种等可能出现的结果，其中两个数的积不大于9的有6种， ∴使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为， 故答案为：． 5. 在一个不透明的袋子里，装有枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在，由此估计袋子里黑色球的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用及根据频率求概率，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 由摸到白色球的频率稳定在，得到摸到白色球的概率为，再利用概率公式列方程求解即可得答案． 【详解】解：设袋子里黑色球有个，则总球数为个， ∵摸到白色球的频率稳定在， ∴摸到白色球的概率为， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴袋子里黑色球的个数为． 故答案为： 6. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求概率. 根据题意列出甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况，再由概率公式计算即可． 【详解】解：甲出1一定输，所以甲最多有3次卡片上的数字大于乙， 若有3次卡片上的数字大于乙，就只有一种组合； 若有2次卡片上的数字大于乙有三类，分别列举如下： ①出3和出5的赢，其余输：； ②出3和出7的赢，其余输：；；； ③出5和出7的赢，其余输：；；；；；；； 综上，甲有3次卡片上的数字大于乙有1种情况，有2次卡片上的数字大于乙有11种情况，故甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况共有种， 而所有情况为种， 甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为． 故答案为：． 7. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片上的数字和大于8的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，掌握根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为， 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于8的结果有3种， 两张卡片上的数字和大于8的概率是． 故答案为：． 8. 在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】考查了概率公式及根的判别式的知识，解题的关键是确定能使得方程无解的未知数的值．首先根据根的判别式确定方程无实数解时a的值，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：当一元二次方程无实数解时，， 解得：， ∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个， ∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为， 故答案为：． 9. 桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了游戏公平性． 通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平． 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 10. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是 ． 【答案】 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数有3种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 三、【几何与概率】 11. 小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概型的求法．根据几何概型的意义，求出小正方形的面积，求出大正方形的面积，圆的面积，再算出阴影部分的面积，求其比值即可． 【详解】解：根据题意分析可得： 大正方形的边长为，故面积为5； 小正方形的边长为，面积为1； 圆的直径为，面积为； 阴影部分的面积为； 则击中阴影区域的概率即两部分面积的比值为． 故答案为：． 12. 如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为 ． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案． 【详解】解：的面积约为， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，于点，现将一个飞镖随机投掷到矩形内，则飞镖落在内（图中阴影部分）的概率为 ． 【答案】 【分析】求出阴影部分面积与总面积之比即可得到飞镖击中阴影区域的概率． 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．也考查了矩形的性质． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点E是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积为， 飞镖落在内图中阴影部分的概率为 故答案为 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 15. 如图，将一块菱形硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上于点，于点，若随意投出一针命中了菱形硬纸片，则命中矩形区域涂色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】设，，根据勾股定理和菱形的性质求出的长，再求出矩形和菱形的面积，即可得答案． 【详解】解：设，， 四边形是菱形，于E，于F，， ， ， 命中矩形区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法，勾股定理，菱形和矩形面积的求法，解题的关键是求出矩形和菱形的面积． 16. 如图，将一枚飞镖任意投掷到等边镖盘内，已知分别是边的三等分点，连接．若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，相似三角形的判定和性质，先证明，得到，同理得到，，进而得到阴影部分的面积为，再根据几何概率公式，进行计算即可． 【详解】解：∵分别是边的三等分点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理：，， ∴阴影部分的面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 17. 如图，为三角形纸板的中线，点为上一点且．点、是边的三等分点，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键．连接，设三角形纸板的面积为，根据中线的性质得到，根据三等分点的定义得到，，则有，，再由得到，则，进而求出阴影部分面积为，再利用概率的计算公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设三角形纸板的面积为， ∵为三角形纸板的中线， ∴， ∵点、是边的三等分点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积， ∴飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 18. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查几何概率，勾股定理，正方形的性质；掌握几何概率公式，正确计算出图形的面积是解题的关键．求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概率公式求出即可． 【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形， 设大正方形的边长为， ∴大正方形的对角线长为cm，面积为， ∴阴影部分的边长为 ， ∴在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为 故答案为：． 19. 如图，正六边形内接于，，，均是正六边形的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，正六边形的性质，熟练掌握概率公式是解题的关键．设的半径为r，将阴影部分进行转化，进行计算即可． 【详解】解：根据题意，可将阴影部分转化为如图所示的形状． 由题易知，， ． 设的半径为r， ． 设OC与BD相交于点G，则． ，． ， ．而， ． 这个点取在阴影部分的概率为． 故答案为：． 20. 在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，概率公式，先根据黄金分割的定义可得，，从而利用线段的和差关系可得，进而可得，然后根据小明获胜的概率，进行计算即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别是线段的两个黄金分割点， ∴，， ∴， ∴， ∴小明获胜的概率， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $