精品解析：上海市西外外国语学校2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025-2026学年第一学期西外高中期末质量检测 高一年级 数学（学科） 考试时间：120分钟 满分：150分 出卷：柳海霞 审核：朱大红 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分）. 1. 已知集合，，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 2. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式作等价转化为一元二次不等式求解集. 【详解】由，故解集为. 故答案为： 3. 方程的两个根分别为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用一元二次方程的根与系数的关系，得到，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由方程的两个根分别为，可得， 则. 故答案为：. 4. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 5. 方程的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将方程两边化为同底数幂的形式，通过指数相等建立方程求解即可求得结果. 【详解】， ∴，即. 故答案为： 6. 函数且过定点________． 【答案】 【解析】 【分析】由（且）可得答案. 【详解】由（且）知，当时，， 故函数（且）过定点. 故答案为： 7. 对所有实数恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即， 故不等式对所有实数恒成，则， 故答案为： 8. 已知，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数函数的性质直接解不等式即可. 【详解】由， 若，则，矛盾，舍去； 若，则， 综上，. 故答案为： 9. 用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 【答案】1 【解析】 【分析】由二分法的概念即可求解. 【详解】由二分法的操作步骤可知：第一次应取区间的中点， 即， 故答案为：1 10. 函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及区间单调性写出参数范围即可. 【详解】由，函数图象开口向上且对称轴为， 又函数在区间上单调，则或. 故答案为：或 11. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】， 因为式子对任意都有意义， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为上奇函数， 所以， 所以不等式可化为， 又，，都在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，可得， 故不等式的解集为． 故答案为： 12. 已知，函数，若对任意实数k，函数总有零点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的值域为R，当时，可得值域为，当时，只需，即可得答案. 【详解】因为对任意实数k，函数总有零点， 所以总有根，即的值域为R， 当时，单调递增，所以值域为， 所以时，的值域与的并集必须为R， 当时，单调递减，值域为，不符合题意； 当时，为常值函数，不符合题意， 当时，单调递增，值域为，只需， 解得，即a的取值范围是. 故答案为： 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）. 13. 已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意直接求解即可 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为， 所以， 故选：B 14. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由的单调性可知即有，而反过来不一定成立，即可判断是否为充要条件 【详解】根据对数函数单调性知：，但 ∴“” 是“”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查了充分条件，应用两个结论将其中一个作为条件推导出的结论是否为另一个来判断是否为充分、必要条件 15. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的单调性得到不等式，解得范围. 【详解】设，， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ． 故选：B. 16. 已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 求下列方程的解集 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义及运算求解，注意对数的真数大于0. （2）对的取值讨论，去掉绝对值，转化为指数方程求解. 【小问1详解】 因为， 所以有，即，解得或（舍去）. 故方程的解集为. 【小问2详解】 当时，可化为，即，解得. 当时，可化为，整理得， 解得或. 因为，所以不满足，故舍去. 所以. 综上，方程的解集为. 18. 已知，且为第三象限角． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式,结合象限角的三角函数符号，即可求解； （2）将第一问计算的结论直接代入计算即可； （3）先利用诱导公式化简，再将第一问结论代入即可求解． 【小问1详解】 解：因为，且为第三象限角， 所以，解得 所以 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以 【小问3详解】 解：根据诱导公式得： ， 故将代入求解得 19. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． （1）求关于的函数解析式； （2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】（1）， （2），栅栏长度的最小值为40米 【解析】 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【小问1详解】 利用扇形的面积公式可得 所以，又，所以， 所以，； 【小问2详解】 依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 20. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）得， 设任意，则， ，，， ，， ， 在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出参数即可； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）由奇偶性及单调性脱去“”建立不等式求解即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为， ，即， 检验：当时，， 因为，所以是奇函数. 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 是奇函数，， 在上单调递减， ，解得， 即的取值范围为. 21. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 令，则，， 所以的值域为； 【小问2详解】 令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期西外高中期末质量检测 高一年级 数学（学科） 考试时间：120分钟 满分：150分 出卷：柳海霞 审核：朱大红 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分）. 1. 已知集合，，若，则____________. 2. 不等式的解集为________. 3. 方程的两个根分别为，则_____. 4. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 5. 方程的解集为__________. 6. 函数且过定点________． 7. 对所有实数恒成立，则的取值范围是______. 8. 已知，则实数的取值范围为__________. 9. 用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 10. 函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________. 11. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 12. 已知，函数，若对任意实数k，函数总有零点，则a的取值范围是________． 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）. 13. 已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 16. 已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 求下列方程的解集 （1） （2） 18. 已知，且为第三象限角． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 19. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． （1）求关于的函数解析式； （2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 20. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围. 21. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $