2025-2026学年高二上学期数学人教A版期末考试模拟练习03

2025-2026学年高二上学期数学期末考试模拟卷练习03 考试范围：（概率+选择性必修一+数列） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 1.若随机事件A，B互斥，且，，则(    ) A. 0 B. C. D. 2.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是  A. B. C. D. 4.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 5.已知空间中三点，，，则(    ) A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 6.某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为      A. B. C. D. 7.在数列中，若，，则(    ) A. 2 B. C. D. 1 8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为  A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则 A. A与B互为对立 B. A与B相互独立 C. D. 10.椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为C上的任意一点，则   A. 椭圆C的长轴长为3 B. 椭圆C的离心率为 C. 的最大值为5 D. 存在点P，使得 11.设等差数列的前n项和为，若，，则  A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则          . 13.记为数列的前n项和，若，则          . 14.在长方体中，，，点F，G分别是AB，的中点，则点到直线GF的距离为          . 四、解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖.从中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为现在小华同学获得一次抽奖机会。 求他不能中奖的概率; 若该同学中一等奖或二等奖的概率为，试计算黄球的个数. 16.已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上. 求圆C的标准方程； 已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程. 17.已知椭圆C：经过点，离心率为 求椭圆C的标准方程； 设椭圆C的左、右两个顶点分别为，，T为直线l：上的动点，且T不在x轴上，直线与C的另一个交点为M，直线与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：的周长为定值． 18.在四棱锥中，，，，平面ABCD， Ⅰ设平面平面，求证：； Ⅱ求证：平面PAC； Ⅲ设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 19.已知为等差数列，为等比数列，，， Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ记的前n项和为，求证：； Ⅲ对任意的正整数n，设求数列的前2n项和． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查互斥事件的概率公式，属于基础题． 由互斥事件概率加法公式计算． 【解答】 解：因为，， 且A与B互斥， 所以 故选： 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了点到圆上点距离的最值问题，以及与圆有关的轨迹问题，是较易题． 先求出圆心的轨迹，求出原点O到点的距离，减去半径1即为所求. 【解答】 解：半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为以为圆心，1为半径的圆.记，， 所以圆心到原点的距离的最小值为 故选 3.【答案】D  【解析】解：椭圆离心率越小，椭圆越接近圆，由可知，离心率越小，就越大， 由   ，得; 由   ，得; 由   ，得;  由，得； ， 选项椭圆离心率最小，形状最接近圆. 故选 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角的余弦值等基础知识，是基础题． 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BF与PE所成角的余弦值． 【解答】 解：在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，且底面ABCD为正方形， 则，，，，， ，， 则异面直线BF与PE所成角的余弦值为： 故选： 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量共线的判断，考查单位向量和向量的数量积运算，考查平面的法向量的求解. 可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可. 【解答】 解：对于A选项，，，，则与不是共线向量，所以A错误; 对于 B选项，因为，所以的单位向量为，所以B错误; 对于C选项，，，所以，，所以C错误; 对于D选项，设平面ABC的一个法向量是， 因为，， 所以则 令，则平面ABC的一个法向量为，所以D正确.故选 6.【答案】B  【解析】解：设事件“该成员出现X性状”，事件“该成员出现Y性状”， 则事件“该成员X，Y两种性状都不出现”，事件“该成员两种性状都出现”. 由题意得，，， 所以，又， 所以 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查数列的周期性，属于基础题. 求出数列是周期为3的数列，利用周期性即可求解. 【解答】 解：由题意，得， 故数列是周期为3的数列， 则 故选： 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了求双曲线的离心率、双曲线的定义，属较难题. 将已知条件转化为，，在利用解三角形的知识求解. 【解答】 解：依题意，直线CA，BD 都过点，如图， 有，， 设，则，显然有，，  因此，在，，  即，解得，即，令双曲线半焦距为c，则在中，， 即，解得，所以E的离心率为 故选：B 9.【答案】BC  【解析】解：对于A，因为，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，A错误. 对于B，，所以，所以事件A与B相互独立，B正确. 对于C，，C正确. 对于D，，D错误. 故选 10.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查求椭圆的离心率或取值范围、椭圆的顶点、长短轴、椭圆上点到焦点或定点距离的最值，属于基础题. 根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解. 【解答】 解：椭圆C：的长半轴长，短半轴长，半焦距 对于A，椭圆C的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆C的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆在椭圆C内，因此不存在点P，使得，D错误. 故选： 11.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，属于基础题. 根据题意列方程组，求出和d，即可求出结果. 【解答】 解：设等差数列的公差为d， 由题意可得，解得， ， 答案： 12.【答案】20  【解析】解：由，得，得， 因为，， 所以或， 解得舍去，或， 故答案为：20 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等比数列的求和公式，属于中档题． 可得是以为首项，以2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算即可． 【解答】 解：为数列的前n项和，，① 当时，，解得， 当时，，②， 由①-②可得：， ， 数列是以为首项，以2为公比的等比数列， ， 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量求解点线距离的方法，属于基础题． 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到直线GF的距离． 【解答】 解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 则点到直线GF的距离： ， 则点到直线GF的距离为 故答案为： 15.【答案】【解】：设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D， 它们彼此是互斥事件，由题意，得，， 由对立事件的概率公式得，所以他不能中奖的概率为 因为，又，所以 因为，所以，所以中三等奖的概率为，所以黄球个数为个   【解析】略 16.【答案】解：由圆心C在直线上， 可设圆心的坐标为， 再根据圆C经过点和点， 可得， 即， 解得，， 所以圆心C的坐标是，， 圆C的标准方程为； 设，， 线段MN的中点是G， 由中点公式得，， 在圆C上，， 即  【解析】本题考查求圆的标准方程，与圆相关的轨迹问题，两点间的距离公式，属于中档题． 设圆心坐标为，根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程； 设出点G、N的坐标，再由中点坐标公式用G点的坐标表示N点的坐标，再代入圆的方程，整理后得到点G轨迹方程． 17.【答案】解：有题意可知，解得， 椭圆C的标准方程为                        证明：由题意可知，，， 设，，如图所示， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，消去y得， ，即，                   则， ， 联立方程，消去y得， ，即， 则， ，                                ， 直线MN的方程为，       即，， 故直线MN过定点，                          所以的周长为定值8， 当时，，或，，  过焦点，此时的周长为定值，      综上所述，的周长为定值   【解析】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆中定点、定值问题，属于难题. 由题意，得出a，b，c之间的关系，再将点代入即可得到椭圆C的标准方程； 设出和的直线方程，分别与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，当MN斜率存在时，证明直线MN经过定点，此点为椭圆另一个焦点，从而的周长为8定值，最后验证MN斜率不存在的情况，最终得到结果. 18.【答案】解：Ⅰ过点B作，取，连接PM，CM， 四边形PABM为平行四边形， ， ， ，即PM为平面平面中的交线m， Ⅱ在和中，由勾股定理可得 ， 记AC和BD的交点为O， ， ， ， ， ，即； 底面ABCD，平面ABCD， ，PA，平面PAC， 平面 Ⅲ底面ABCD，AB，平面ABCD，，， 又，则PA，AB，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， 设，，则， ， ， 由Ⅱ可知为平面PAC的法向量． ， 直线QC与平面PAC所成角的正弦值为， ， 化为，解得   【解析】本题主要考查直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的性质定理和判定定理，属于中档题． Ⅰ利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论； Ⅱ利用已知条件先证明，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； Ⅲ建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可找出Q点的位置． 19.【答案】Ⅰ解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，，则，可得， ， ，， ， 解得， ； Ⅱ证明：由Ⅰ可得， ，， ， ； Ⅲ解：当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和…，①， 由①可得…，②， ①-②得…+ ， ， 因此 数列的前2n项和：  【解析】本题考查了等差数列，等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了裂项相消法，错位相减法求和，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题． Ⅰ分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； Ⅱ根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； Ⅲ分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $