温州市荆山公学2025-2026学年上学期高二数学寒假作业（1）

温州市荆山公学2025-2026学年上学期寒假作业（1） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册+选择性必修第二册第四章数列。 一、单选题（40分）。 1．已知点，，则直线AB的倾斜角（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的长轴的长为（    ） A．10 B．8 C．5 D．6 3．如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．1 B．11 C．21 D．31 7．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（   ） A．63 B．127 C．255 D．256 8．设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 二、多选题（18分）。 9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C．是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的实轴长是2 C．的面积是12 D．的外接圆半径是 三、填空题（15分）。 12．若圆经过，，圆心在直线上，则圆的面积为 . 13．已知等比数列的前项和，，则 . 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过原点的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在C上，，若以AB为直径的圆过点，则C的离心率为 ． 四、解答题（77分）。 15．（13分）。 已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 16．（15分）。 已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 17．（15分）。已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，说明理由. (2)若直线分别与轴正半轴，轴的正半轴交于，两点.当面积最小时，求直线的方程. 18．（17分）。如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，．，是的中点，是的中点，作交于点． (1)求证： 平面： (2)求证： 平面； (3)求平面与平面的夹角的正弦值． 19．（17分）。如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． (1)求曲线的方程，并说明曲线的形状； (2)设曲线与轴的一个交点为，过点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点、点（、异于点）． ①直线是否过定点，若过，请证明并求出定点的坐标，若不过请说明理由； ②过点作直线的垂线，垂足为．证明存在定点，使得为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 温州市荆山公学2025-2026学年上学期寒假作业（1） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B B C C C D AB ACD BCD 1．A 【详解】因为点，，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角.故选：A. 2．A 【详解】由椭圆可知，，即，，所以椭圆的长轴长为，故选：A 3．B 【详解】因为，为中点，所以，， 所以 .故选：B. 4．B 【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为.故选：B 5．C 【详解】由题知，，且，，所以， 累加可得， 所以， 所以，当时同样满足，所以.故选：C 6．C 【详解】因为，则设， 则， 其中，则， 当时，取最大值为.故选：C. 7．C 【详解】由得，又，易得， 两边同时取以为底的对数得， 即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则.故选：C. 8．D 【详解】如图，由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知 ，则， 故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线第一象限部分无交点， 故，故A，C错误； 由双曲线的定义，， 所以 ， 即点运动到线段与双曲线的交点时，有最小值，故B错误，D正确． 故选：D． 9．AB 【详解】由题意，， 解得，故A、B正确； ，所以， 当或2时，，即，则不是递减数列，故C错误； ，则当或2时，都取最小值，故D错误． 故选：AB． 10．ACD 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为 ，，所以 ， 又，则， ，， 所以点到直线的距离为 ，故B错误； 对于C：因为，，， 设平面的法向量为，则，取， 则点到平面的距离 ，故C正确； 对于D：因为，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 11．BCD 【详解】设，直线，由，得， 则，由直线的斜率是，得， 由双曲线定义得，由的周长是16， 得，即，则，而， 因此，解得，双曲线， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A错误； 对于B，双曲线的实轴长是2，B正确； 对于C，，的面积是，C正确； 对于D，，，因此的外接圆半径，D正确. 故选：BCD 12． 【详解】设圆的方程为， 所以，解得，所以圆的面积为.故答案为：. 13．75 【详解】∵等比数列的前项和，∴，，，仍成等比数列. ∵，，∴. ∴，则. ∴，则.故答案为： 14． 【详解】如图所示，连接，，， 由以为直径的圆恰好过左焦点，可得， 由双曲线的对称性得四边形为矩形， 设，则，，， 在直角中，可得， 即为，解得， 在直角中，， 即为，即为，即有．故答案：. 15．(1) (2) 【详解】（1）由题意：，，又数列为等差数列，设数列的公差为， 由 .所以 . 所以.当时，， 当时， . 时，上式也成立.所以. （2）因为，所以，，，…，. 以上各式相乘，可得当时，，又，所以，， 所以 . 16．(1).(2)或.(3)或. 【详解】（1）因为，，， ，， 所以，，则. （2）因为，，所以，. 又与垂直，所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 17．(1)直线 过定点 (2) 【详解】（1）由题意，知直线. 令 解得 故直线 过定点. （2）设点的坐标分别为， 因为分别在 轴，轴的正半轴，所以， 则可设直线，因为直线过定点， 代入得，，由，得， 所以，当且仅当，即，时取等号. 故 面积最小时，直线. 因为直线的方程为与是同一条直线， 所以对应系数成比例，即，解得， 当时，直线的方程为，其与轴、轴的交点分别为和，符合题意。 18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，，，， ，，故．所以． 由已知，且，、平面，所以平面． （2）证明：由，，故， 由（1）知为平面的法向量， 由，则， 显然平面，所以平面． （3）设平面的法向量为， 则，可取， 平面的一个法向量为，则． 设平面与平面的夹角为，所以平面与平面的夹角的正弦值为 19．(1)，(2)①，②证明见解析. 【详解】（1）设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点， 因为点在圆上，所以，即，所以曲线的方程为. （2）①由（1）知点，设直线为，. 联立方程，得到， 由韦达定理：； 因为，所以，， 因为，所以， 即， 即， 化简得到. 因为A，B 异于，所以，故， 因此直线 AB的方程为 ，恒过定点. ②已知直线AB恒过定点， 因为，所以，点 G 的轨迹是以 EF 为直径的圆， 则 EF 的中点为，圆的半径为. 因此，对圆上任意一点 G，恒等于半径，即存在定点，使得为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $