重庆市长寿区2025-2026学年高二上期末检测数学试题

重庆市长寿区2025-2026学年高二上期末检测 · 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆交于，两点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线l与双曲线的右支交于两点（M在第一象限），，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知各项均不为零的数列满足，对于任意的正整数，，则的个位数字为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．康托（Cantor）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数的最小值为（   ） （参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．设数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则 B．若数列为等差数列，则 C．若数列为等比数列，则或-6 D．若数列为等比数列，则或 10．已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（　　） A．实数的取值范围为 B．当时，两圆的公共弦长 C．当时， D．若，则 11．已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与相切 B．若，则直线的斜率的绝对值为1 C．为锐角三角形 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则向量的夹角为 ；直线与所成角的余弦值为 . 13．在平面直角坐标系中，关于曲线：（），给出下列四个结论： ①曲线有且仅有一条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（横坐标与纵坐标都为整数的点，称为整点）； ③曲线所围成的区域面积； ④曲线上的点与原点的距离的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 14．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 16．已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． (1)当弦被点平分时，求直线的方程和的值； (2)若，求直线的方程． 17．记数列的前项和为，已知，数列满足：． (1)求的通项公式； (2)求证：数列为等差数列，并求的通项公式． 18．已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)试讨论函数的零点个数； (3)当函数恰有三个零点，且时，求证：. 19．已知抛物线：经过点，且为的焦点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程. (2)设，为上两个不同的点，且三点不共线，直线，的斜率分别为，，且. （i）试问直线是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由. （ii）若直线与轴的交点位于之间，设两点到直线的距离之和为，两点到直线的距离之和为，求的取值范围. 数学试卷第2页，共4页 数学试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-5．BCCBD 6-8．DCB 9．AD 10．BC 11．ABD 12． 13．②③④ 14． 15．解:（1）证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为，则, 设面C1A1E的法向量 解得，即线段的长度为1.    16．解:（1），故圆心为，半径为4， 故， 当弦被点平分时，由垂径定理得直线的斜率为1，故， 所以，所以直线的方程为，即； （2）当时，中， 令得，，解得，故， 又到直线的距离为2，故，满足要求； 当时，设直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 又，，故， 解得或， 当时，，解得，直线方程为； 当时，，变形得到，方程无解， 综上，直线方程为或. 17．解:（1）当时，， 当时，， 当时，成立， 综上，. （2）证明：因为，等式两边同时除以，可得， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，即. 故的通项公式为. 18．解：（1）当时， 则，即，所以切线的斜率为， 又，所以切点为， 故在点处的切线方程为，即； （2）函数，易知， 因为， ①当时，， 在单调递增，此时恰有1个零点为1. ②当时，，即， 在单调递增，此时恰有1个零点为1. ③当时，令，即，解得或， ， 令，得或；令，得， 在和单调递增，在单调递减， 在上只有一个零点1，且 又因为当时，，所以在上恰有一个零点， 又因为当时，，所以在上恰有一个零点， 故此时函数共有三个零点， 综上所述，当时，恰有1个零点；当时，恰有3个零点. （3）证明：因为，由（2）知， ，又， 又因为，结合，所以， 又因为，所以， 而 ， 令，则， 故在上为增函数，， ，故， 即得证. 19．解：（1）抛物线经过点， 将点坐标代入抛物线方程得，解得. 故抛物线的方程为. （2）（i）设，. 由，在上，有，， 直线，斜率分别为，， 因为，所以，所以. 设直线， 联立消去得， 则，. 联立，整理得，所以有， 所以直线可化为，即， 令得 故直线经过定点. （ii）由（i）得，直线， 令，得，因为直线与轴的交点位于之间， 则有，所以. 联立消去得， 则，， 则， 点到直线的距离， 点到直线：的距离， 则， 所以. 令，， 则， 易知在上单调递减， 所以在上的值域为， 所以，， 最终有， 故的取值范围是. 数学答案第2页，共6页 数学答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $