21.1.1四边形及其内角和（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

21.1.1四边形及其内角和 知识点1：四边形的内角和外角 1．B． 2．B． 3．C 4．． 5． 6． 7．． 8．解：设，则， ，． ， ， 解得， ，，，． 知识点2：四边形的不稳定性 9．D 10．B 11．A 12．A 13．（1）．理由： ，分别是，的平分线， ，． ， ， ， ． （2）．理由： 在中，， ． ，，． 14．(1)证明：在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) ∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'， 在△ACD 和△A'C'D'中， ∵ ∴△ACD≌△A'C'D'(SSS) ∴∠DAC＝∠D'A'C'，∠DCA＝∠D'C'A'，∠D＝∠D' ∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A'+∠B'C'A' 即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B' ∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'， ∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D' ∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D' (2)A题：小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) ∴AC＝A'C' 根据AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'，不能判定△ACD≌△A'C'D' ∴不能得到四边形ABCD≌四边形A'B'C'D' 故答案为不能 B题.小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) ∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'， 在△ACD和△A'C'D'中， ∵ ∴△ACD≌△A'C'D'(AAS) ∴AD＝A'D'，CD＝C'D'，∠DCA＝∠D'C'A'. ∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A' +∠B'C'A' 即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B' ∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'， ∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D' ∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D' 故答案为∠D=∠D′，∠DAC=∠D′A′C′. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1.1四边形及其内角和 知识点1：四边形的内角和外角 1．若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（    ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 2．如图，四边形中，．若中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．四边形的内角中最多有2个锐角 B．四边形的四个外角不可能都相等 C．四边形的内角和与外角和相等 D．四边形的外角和小于三角形的外角和 4．一个四边形的内角和与外角和的总和是 ． 5．若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为 ． 6．一个四边形的一个外角为，与它不相邻的三个内角的和是 （用含的式子表示）． 7．求出下列图形中的值． 8． 已知四边形中，，，且．求这个四边形各个内角的度数． 知识点2：四边形的不稳定性 9．下列图形具有稳定性的是（    ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 10．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（     ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 11．下列图形中不具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 13．如图，四边形中，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系？请说明理由． (2)与有什么位置关系？请说明理由． 14．阅读下列材料，完成相应的任务： 全等四边形根据全等图形的定义可知：四条边分别相等，四个角也分别相等的两个四边形全等.在“探索三角形全等的条件” 时，我们把两个三角形中“一条边相等” 或“一个角相等”称为一个条件.智慧小组的同学类比“探索三角形全等条件”的方法，探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，连接对角线AC，A'C'，这样两个四边形全等的问题就转化为“△ABC≌△A'B'C'”与“△ACD ≌ △A 'C 'D '”的问题.若先给定“△ABC≌△A'B'C'”的条件，只要再增加2个条件使“△ACD≌△A'C'D'”即可推出两个四边形中“四条边分别相等，四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等. 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形ABCD和四边形A'B'C'D'先给出如下条件：AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'，小亮在此基础上又给出“AD＝A'D'，CD＝C'D'”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”. (1)请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”的理由； (2)请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择______题. A．在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'”，满足这五个条件_______(填“能”或“不能”)得到“四边形 ABCD≌四边形A'B'C'D'”. B．在材料中“小明所给条件”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件(要求：不同于小亮的条件)，使“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”，你添加的条件是：①___________；②__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1.1四边形及其内角和 知识点1：四边形的内角和外角 1．若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，牢记四边形内角和为是关键． 利用四边形内角和为的性质，结合已知一组对角互补，推导另一组对角的关系． 【详解】解：∵ 四边形内角和为，且一组对角互补，即和为， ∴ 另一组对角之和为，即互补. ∴ 另一组对角互补. 故选：B． 2．如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键． 先根据三角形内角和为求出，再根据四边形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵在四边形中，， ． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．四边形的内角中最多有2个锐角 B．四边形的四个外角不可能都相等 C．四边形的内角和与外角和相等 D．四边形的外角和小于三角形的外角和 【答案】C 【分析】根据四边形的内角和与外角和的性质.四边形的内角和为360°，外角和也为360°；三角形的外角和为360°判断各选项正误即可． 【详解】∵ 四边形的内角和为360°，外角和也为360° ∴ 四边形的内角和与外角和相等，选项C正确． 选项A：在凸四边形中，可以有3个锐角(如三个内角均为80°，另一个为120°)，故A错误，不符合题意． 选项B：当四边形为矩形时，四个外角均为90°，都相等，故B错误，不符合题意． 选项D：四边形的外角和为360°，三角形的外角和也为360°，两者相等，故D错误，不符合题意． 【点睛】本题考查了多边形，熟练掌握多边形内角和与外角和的性质是解题关键． 4．一个四边形的内角和与外角和的总和是 ． 【答案】 【分析】分别求出四边形的内角和与外角和，再将两者相加得到总和． 【详解】解：四边形的内角和：根据多边形内角和公式（为边数），四边形， 故内角和为：． 四边形的外角和：任意多边形的外角和均为，因此四边形外角和为． 两者总和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是掌握多边形内角和公式及任意多边形外角和为的性质． 5．若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为 ． 【答案】 【分析】设四个内角度数分别为，根据四边形内角和为，列出方程求解x，再求最大角的度数． 本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和计算方法是解题的关键． 【详解】解：由四边形内角和公式，得， 即， 解得， 则最大内角为． 故答案为：． 6．一个四边形的一个外角为，与它不相邻的三个内角的和是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】利用四边形内角和为，以及外角与相邻内角互补的关系，通过代数运算求解． 本题考查了多边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设与这个外角相邻的内角为 因为四边形的内角和为 ， 所以与这个外角不相邻的三个内角的和为： ． 故答案为： 7．求出下列图形中的值． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 8．已知四边形中，，，且．求这个四边形各个内角的度数． 【详解】解：设，则， ，． ， ， 解得， ，，，． 知识点2：四边形的不稳定性 9．下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四边形如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，可得答案． 【详解】解：∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定， ∴三角形具有稳定性． ∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定， ∴四边形不具有稳定性． 因此，具有稳定性的是三角形． 故选：D． 10．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性， 故选：B． 11．下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 12．如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 13．如图，四边形中，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系？请说明理由． (2)与有什么位置关系？请说明理由． 【详解】（1）．理由： ，分别是，的平分线， ，． ， ， ， ． （2）．理由： 在中，， ． ，，． 14．阅读下列材料，完成相应的任务： 全等四边形根据全等图形的定义可知：四条边分别相等，四个角也分别相等的两个四边形全等.在“探索三角形全等的条件” 时，我们把两个三角形中“一条边相等” 或“一个角相等”称为一个条件.智慧小组的同学类比“探索三角形全等条件”的方法，探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，连接对角线AC，A'C'，这样两个四边形全等的问题就转化为“△ABC≌△A'B'C'”与“△ACD ≌ △A 'C 'D '”的问题.若先给定“△ABC≌△A'B'C'”的条件，只要再增加2个条件使“△ACD≌△A'C'D'”即可推出两个四边形中“四条边分别相等，四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等. 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形ABCD和四边形A'B'C'D'先给出如下条件：AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'，小亮在此基础上又给出“AD＝A'D'，CD＝C'D'”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”. (1)请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”的理由； (2)请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择______题. A．在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'”，满足这五个条件_______(填“能”或“不能”)得到“四边形 ABCD≌四边形A'B'C'D'”. B．在材料中“小明所给条件”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件(要求：不同于小亮的条件)，使“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”，你添加的条件是：①___________；②__________. 【详解】(1)证明：在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) ∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'， 在△ACD 和△A'C'D'中， ∵ ∴△ACD≌△A'C'D'(SSS) ∴∠DAC＝∠D'A'C'，∠DCA＝∠D'C'A'，∠D＝∠D' ∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A'+∠B'C'A' 即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B' ∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'， ∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D' ∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D' (2)A题：小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) ∴AC＝A'C' 根据AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'，不能判定△ACD≌△A'C'D' ∴不能得到四边形ABCD≌四边形A'B'C'D' 故答案为不能 B题.小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) ∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'， 在△ACD和△A'C'D'中， ∵ ∴△ACD≌△A'C'D'(AAS) ∴AD＝A'D'，CD＝C'D'，∠DCA＝∠D'C'A'. ∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A' +∠B'C'A' 即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B' ∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'， ∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D' ∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D' 故答案为∠D=∠D′，∠DAC=∠D′A′C′. 【点睛】本题主要考查全等三角形判定定理，将四边形转化为两个三角形全等判定是关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $