2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册练习卷

2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分函数值如下表所示 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 5．，，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 6．已知为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．1 C． D．3 7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 8．设函数在区间上的最大值与最小值分别为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 二、多选题 9．已知函数和，则（    ） A．和的最小正周期相同 B．和在区间上的单调性相同 C．的图象向右平移个单位长度得到的图象 D．和的图象关于直线对称 10．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 三、填空题 12． . 13．已知，，则 ． 14．已知，，且，则的最小值为 . 四、解答题 15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，求． 16．红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． (1)求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； (2)一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 17．设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值． 18．已知函数． (1)求的最小正周期及图象的对称中心； (2)当，求的最大值与最小值． 19．设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数. (1)设，，. （i）证明：当时，是到的双界函数. （ii）若是到的双界函数，求的取值范围. (2)若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册练习卷 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C D B D ABD CD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：B. 2．B 【分析】通过必要不充分条件的概念即可判断. 【详解】取，满足，显然无意义， 若，则，所以， 即“”是“的必要不充分条件， 故选：B 3．A 【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可. 【详解】由幂函数的单调性可知在定义域上单调递减，故A正确； 在上单调递减，上单调递增，不符题意， 在上单调递增，不符题意， 在上单调递增，不符题意，即B、C、D错误. 故选：A 4．B 【分析】根据表中数据，结合零点存在性定理，即可判断. 【详解】表格数据按照从小到大排列， 1 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 再根据零点存在性定理可知，函数的零点在区间内， 根据选项可知，区间内满足条件的近似值为， 故选：B 5．C 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 6．D 【分析】利用奇偶性的定义结合条件计算即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，则， 所以，两式相加得，即. 故选：D． 7．B 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 8．D 【分析】设函数，，可知为上的奇函数，结合图象变换可知的图象关于点对称，即可得结果. 【详解】设函数，， 则， 可知为上的奇函数，其图象关于原点对称， 又因为的图象是由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的， 可知的图象关于点对称，所以. 故选：D. 9．ABD 【分析】根据函数的单调性，对称性，周期性及函数的平移变换分别判断个选项. 【详解】对于A：和的最小正周期均为，选项A正确； 对于B：当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递增，选项B正确； 对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误； 对于D：，选项D正确. 故选：ABD. 10．CD 【分析】根据题意，结合基本初等函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上为单调递减函数， 当在定义域内不是单调递减函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又由函数在定义域上为单调递减函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，其图象如图所示， 函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，所以D符合题意. 故选：CD.    11．AB 【分析】根据三角函数的部分图象求出函数的表达式，再依据三角函数的性质对每一选项进行判断. 【详解】根据函数 的部分图象， 所以，所以，又，，所以，故正确； 所以， 由，得，解得， 由于，所以，所以， 由于， 所以函数的图象关于点 对称，故B正确； 令，解得， 故函数的单调递减区间为 ， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故错误； 因为，由，得， 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点， 则，解得，故D错误. 故选：AB 12．/ 【分析】根据分数指数幂和对数运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 13．/ 【分析】利用两角差的正弦公式以及同角关系联立解方程，再由两角和的正弦公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 由可得，即， 联立解得； 所以. 故答案为： 14．/6.25 【分析】由基本不等式得，，利用对勾函数的单调性求最小值. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 由于，当且仅当时等号成立， 对勾函数在上单调递减， 可知当，即时取得最小值. 所以的最小值. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式以及同角关系即可求解， （2）利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由和正弦定理可得， 因为,所以， 则有, 由于，所以有 （2）由得，因为, 则有， 由余弦定理可得，所以， 16．(1) (2)20万人，最大利润是250万． 【分析】（1）根据题意，得到利润，进而求得利润的解析式； （2）由（1）中的函数解析式，分三种情况讨论，结合函数的单调性、二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数最大值，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得，该景区一年的利润， 因为投入成本， 所以景区一年的利润为. （2）解：①当时，单调递增，此时； ②当时，， 可得函数的图象开口向下，对称轴， 所以当时，函数的最大值； ③当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，且， 综上可得，一年的游客为20万人时，该景区一年利润最大，且最大利润是万元． 17．(1)； (2)2 【分析】（1）根据结合对数运算，即可求得a的值；根据函数解析式列不等式组，即可求得函数定义域； （2）判断函数在给定区间上的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，且， 故，则， 而，故， 由，可得， 故的定义域为； （2）由（1）可得 而， 在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值4， 函数为其定义域上的增函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为. 18．(1)最小正周期为，对称中心为，（） (2)最大值为，最小值 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体角思想可求对称中心； （2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值. 【详解】（1）因 则的最小正周期为． 由，可得（） 解得（）， 故图象的对称中心为，（）. （2）因为，所以． 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故当时，，的最小值为， ，． 故的最大值为，最小值． 19．(1)（i）证明见解析；（ii）； (2)3040； (3)证明见解析. 【分析】（1）（i）根据双界函数的定义进行验证即可；（ii）根据双界函数的定义，使得当时，恒成立，即可得解； （2）由题可得，故研究上的函数图象，即可利用函数图象平移的知识画出在上的大致图象，并通过数形结合总结规律，最终确定在上的最小值为，运用递推公式即可求出； （3）先通过 “区间拆分” 验证双界的递推关系，再通过 “范围叠加” 锁定唯一等式，最后推广到任意的递推式即可. 【详解】（1）（1）（i）证明：当，即时，则，即， 又因为，所以，所以当时，是到的双界函数. （ii）解：若是到的双界函数，则当，即时，恒成立， 即，即恒成立， 因为，故，， 由恒成立，可得；由恒成立，可得， 故，即的取值范围为. （2）依题意得，当时，， 所以，所以. 易知函数在上单调递增，可画出其在上的大致函数图象， 由可知，函数在的图象，即把在上的图象先向右平移个单位，再往上平移个单位， 当趋于且时，函数值趋于，注意到，结合此画出函数在以及时的大致图象. 结合图象，易总结得在上单调递增，在该区间上的， 则当时，；当时，，， 又因为， 故在上的最小值为， ， 由，得，即在上的最小值为3040. （3）证明：根据题意得，当时，. 令，，则①， 令，，则②， ①②可得，，即. 令，，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，所以是到的双界函数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $