23.1 图形的旋转 寒假巩固 2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 23.1 图形的旋转 寒假巩固 【题型1】旋转的有关概念 【典型例题】下列说法正确的是（　　） A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置 C.图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到 【举一反三1】若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，将该图形绕着它的中心旋转，要使其与自身重合，至少应旋转（　　） A.180° B.120 C.90° D.60° 【举一反三3】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　     　度． 【举一反三4】如图，△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，请回答下列问题： (1)旋转中心和旋转角分别是什么？ (2)旋转后，线段BC=______________，AC=________________，△ABC_________△EDC.  【举一反三5】说出图中所示的压水机压水时的旋转中心和旋转角. 【题型2】图形旋转的性质 【典型例题】(2022·四川南充中考)如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'的位置,点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为(　　) A.90°　　　　 B.60°　　　　 C.45°　　　　 D.30° 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△DEC，且点A在边DE上，则旋转角的度数为（　　） A.65° B.60° C.50° D.40° 【举一反三2】如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　） A.110° B.100° C.90° D.80° 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△AB′C′，此时点C的对应点C′恰好落在AB边上，连接BB′，若∠BB′C′＝35°，则∠BAC＝　     　 °． 【举一反三4】如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长DE交BC于点P. (1)如图1，求证：PC=PE； (2)如图2，当AD∥BC时，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，求证：DF=BF. 【题型3】旋转作图 【典型例题】如图，将两块全等的直角三角板拼接在一起，这个图形可以看作是由一块直角三角板绕着直角顶点经过一次顺时针旋转后得到的，那么旋转的角等于 A.30° B.60° C.90° D.180° 【举一反三1】如图，在5×5的方格纸中，A，B两点在格点上，线段AB绕某点逆时针旋转角α后得到线段A'B'，点A'与A对应，则角α的大小为 A.30° B.60° C.90° D.120° 【举一反三2】在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________.  【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）、C（1，3）． （1）在图中画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1． （2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2． 【题型4】几何图形变换 【典型例题】如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点O旋转可以和原图形重合，则旋转角可以是（　　） A.60° B.90° C.120° D.150° 【举一反三1】陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转x°可以与自身重合，则x的值可以是（　　） A.30 B.45 C.60 D.105 【举一反三2】下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，风车风轮的每个叶片A、B、C、D、E、F在风的吹动下转动到新的位置．则叶片A向　      　方向，转动　     　度后与叶片B重合；转动　      　度后与叶片C重合；转动　      　度后与叶片E重合．由此可知，风车风轮的旋转中心是　     　；最小旋转角是　      　． 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为                ． 【举一反三5】已知线段AB，用已经学过的图形变换完成以下各题： （1）画出一个以这条线段为一边的正方形； （2）画出一个以这条线段为一边的等边三角形； （3）画出一个以这条线段为一边，一个内角是30°的菱形． 在中，，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E． (1)当点E恰好在上时，如图1，求的大小； (2)若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 【题型5】平面直角坐标系中的旋转 【典型例题】△ABC在如图所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的是(　　) A.A1的坐标为(3，1) B.=3 C.B2C=2 D.∠AC2O=45° 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45° 后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是（　　） A. B. C.（1，0） D.（0，1） 【举一反三2】如图，正方形的边长为，则该正方形绕点逆时针旋转后，将点转至，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1，），将△AOB绕点O顺时针旋转15°，此时点A对应点A′的坐标是　         　． 【举一反三4】如图，已知点P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分线OC上，且AP⊥BP，点A在x轴上，点B在y轴上． （1）求点P的坐标； （2）当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 人教版（2024）九年级上册 23.1 图形的旋转 寒假巩固（参考答案） 【题型1】旋转的有关概念 【典型例题】下列说法正确的是（　　） A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置 C.图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到 【答案】B 【解析】A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故错误； B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置，故正确； C.图形可以向某方向平移一定距离，旋转是围绕中心做圆周运动，故错误； D.平移和旋转不能混淆一体，故错误． 故选：B． 【举一反三1】若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：使车轮能平稳行驶，需使正方形的中心都在一个平面内，才能使自行车平稳行驶． 故选：C． 【举一反三2】如图，将该图形绕着它的中心旋转，要使其与自身重合，至少应旋转（　　） A.180° B.120 C.90° D.60° 【答案】C 【解析】解：整个圆周被分成4个完全相同的部分， 每个部分对应的圆心角是＝90°，因而最少旋转的度数是90度． 故选：C． 【举一反三3】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　     　度． 【答案】60 【解析】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为＝60°． 故答案为：60． 【举一反三4】如图，△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，请回答下列问题： (1)旋转中心和旋转角分别是什么？ (2)旋转后，线段BC=______________，AC=________________，△ABC_________△EDC.  【答案】解　(1)由题意得，旋转中心是点C，旋转角为∠BCD，∠ACE. (2)∵△ABC绕点C旋转得到△EDC， ∴△ABC≌△EDC，BC=DC，AC=EC. 【举一反三5】说出图中所示的压水机压水时的旋转中心和旋转角. 【答案】解：由题意得：压水机压水时的旋转中心是手柄和机体的交点，旋转角是手柄转动的角度． 【题型2】图形旋转的性质 【典型例题】(2022·四川南充中考)如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'的位置,点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为(　　) A.90°　　　　 B.60°　　　　 C.45°　　　　 D.30° 【答案】B 【解析】∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠CAB=180°-∠B-∠C=60°,∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'的位置,∴∠C'AB'=∠CAB=60°.∵点B'恰好落在CA的延长线上,∴∠BAC'=180°-∠CAB-∠C'AB'=60°.故选B. 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△DEC，且点A在边DE上，则旋转角的度数为（　　） A.65° B.60° C.50° D.40° 【答案】C 【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝25°， ∴∠BAC＝65°， ∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△DEC，且点A在边DE上， ∴CA＝CE，∠E＝∠BAC＝65°，∠ACE等于旋转角， ∴∠CAE＝∠E＝65°， ∴∠ACE＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 即旋转角的度数为50°． 故选：C． 【举一反三2】如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　） A.110° B.100° C.90° D.80° 【答案】B 【解析】解：由△ABC逆时针旋转α°（0°＜α＜55°），得到△ADE，α＝30°， 得∠BAD＝∠EAF＝30°，AB＝AD， 得∠B＝（180°﹣30°）÷2＝75°， 由∠BAC＝55°， 得∠E＝∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°， 得∠AFE＝180°﹣∠E﹣∠EAF＝100°． 故选：B． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△AB′C′，此时点C的对应点C′恰好落在AB边上，连接BB′，若∠BB′C′＝35°，则∠BAC＝　     　 °． 【答案】 70 【解析】 ∵将Rt△ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△AB′C′，此时点C的对应点C′恰好落在AB边上， ∴AB＝AB′，∠BC′B′＝90°，∠B′AC′＝∠BAC， ∴∠ABB′＝∠AB′B， 而∠BB′C′＝35°， ∴∠ABB′＝90°﹣35°＝55°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝180°－55°×2＝70°． 【举一反三4】如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 【答案】解：BE=DC．理由： ∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°． ∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°． ∴∠DAC=∠BAE． 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE， ∴BE=DC． 方法二、∵AD=AB，AE=AC，∠DAC=∠BAE， ∴将△ABE绕点A顺时针旋转到△ADC位置， ∴BE=CD． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长DE交BC于点P. (1)如图1，求证：PC=PE； (2)如图2，当AD∥BC时，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，求证：DF=BF. 【答案】证明　(1)如图，连接AP，∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴AE=AC，∠AED=∠C=90°，∠AEP=90°， 在Rt△AEP和Rt△ACP中， ∴Rt△AEP≌Rt△ACP， ∴PC=PE. (2)如图，过点B作BG∥PD交CF的延长线于点G， ∴∠G=∠DEF， ∵PE=PC， ∴∠PCE=∠PEC， ∵∠PEC=∠DEF， ∴∠PCE=∠G， ∴BC=BG=DE， 在△DEF和△BGF中， ∴△DEF≌△BGF(AAS)， ∴DF=BF. 【题型3】旋转作图 【典型例题】如图，将两块全等的直角三角板拼接在一起，这个图形可以看作是由一块直角三角板绕着直角顶点经过一次顺时针旋转后得到的，那么旋转的角等于 A.30° B.60° C.90° D.180° 【答案】C 【举一反三1】如图，在5×5的方格纸中，A，B两点在格点上，线段AB绕某点逆时针旋转角α后得到线段A'B'，点A'与A对应，则角α的大小为 A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】C 【解析】如图，连接AA'，BB'，分别作线段AA'，BB'的垂直平分线，其交点为O，点O即为旋转中心. 连接OA，则∠AOA'即为旋转角，所以旋转角α为90°. 【举一反三2】在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________.  【答案】90° 【解析】如图，连接OB，OB'， 根据旋转角的概念知，对应点与旋转中心连线的夹角∠BOB'是旋转角，且∠BOB'=90°. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）、C（1，3）． （1）在图中画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1． （2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2． 【答案】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求； （2）如图2，△A2B2C2即为所求． 【题型4】几何图形变换 【典型例题】如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点O旋转可以和原图形重合，则旋转角可以是（　　） A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】C 【解析】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点， 即可得到∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°， 所以旋转120°后与原图形重合． 故选：C． 【举一反三1】陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转x°可以与自身重合，则x的值可以是（　　） A.30 B.45 C.60 D.105 【答案】B 【解析】解：该图形内部是八边形， 那么最小的旋转角度为x＝＝45， 故选：B． 【举一反三2】下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【举一反三3】如图，风车风轮的每个叶片A、B、C、D、E、F在风的吹动下转动到新的位置．则叶片A向　      　方向，转动　     　度后与叶片B重合；转动　      　度后与叶片C重合；转动　      　度后与叶片E重合．由此可知，风车风轮的旋转中心是　     　；最小旋转角是　      　． 【答案】逆时针；60；120；240；60度 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为                ． 【答案】 72 【解析】 因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 【举一反三5】已知线段AB，用已经学过的图形变换完成以下各题： （1）画出一个以这条线段为一边的正方形； （2）画出一个以这条线段为一边的等边三角形； （3）画出一个以这条线段为一边，一个内角是30°的菱形． 【答案】解：（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示 在中，，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E． (1)当点E恰好在上时，如图1，求的大小； (2)若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 (1)解 ∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC， 点E恰好在上， ∴， ， ， ∵， ∴∠CAD=∠CDA= ∴. (2)证明 ∵点F是边中点，∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，△ACD和△BCE为等边三角形，∴， ∵点F为△ACD的边的中点， ∴DF⊥AC， 在和△CFD中， ∴Rt△ABCRt△CFD(HL)， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型5】平面直角坐标系中的旋转 【典型例题】△ABC在如图所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的是(　　) A.A1的坐标为(3，1) B.=3 C.B2C=2 D.∠AC2O=45° 【答案】D 【解析】如图，A1的坐标为(1，3)，故A错误； 连接AA1，BB1，则=3×2=6，故B错误； 连接B2C，则B2C==，故C错误； 变化后，C2的坐标为(-2，-2)，而A(-2，3)，连接AC2，C2O，由图可知∠AC2O=45°，故D正确. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45° 后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是（　　） A. B. C.（1，0） D.（0，1） 【答案】D 【解析】解：由题知， 因为360°÷45°＝8， 所以每旋转八次点A的对应点重复出现． 因为2024÷8＝253， 所以点A2024的坐标与点A8的坐标相同． 又因为点A8与点A重合，且点A的坐标为（0，1）， 所以点A2024的坐标为（0，1）． 故选：D． 【举一反三2】如图，正方形的边长为，则该正方形绕点逆时针旋转后，将点转至，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】正方形绕点逆时针旋转后，位于y轴正半轴上，O=OB=. 【举一反三3】如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1，），将△AOB绕点O顺时针旋转15°，此时点A对应点A′的坐标是　         　． 【答案】（，） 【解析】如图，作AE⊥OB于E，A′H⊥OB于H． ∵A（1，）， ∴OE＝1，AE＝， ∴OA＝＝2， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵∠AOA′＝15°， ∴∠A′OH＝60°﹣15°＝45°， ∵OA′＝OA＝2，A′H⊥OH， ∴A′H＝OH＝， ∴A′（，）． 【举一反三4】如图，已知点P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分线OC上，且AP⊥BP，点A在x轴上，点B在y轴上． （1）求点P的坐标； （2）当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 【答案】解：（1）∵点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线 OC上， ∴3m﹣1＝6m﹣7， ∴m＝2， ∴P（5，5）； （2）不变． 过点P作 PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N． ∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝5， ∴∠MPB＝∠NPA． 在△PMB和△PNA中， 在△PMB和△PNA中， ， ∴△PMB≌△PNA（ASA）， ∴BM＝AN， ∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝10． 学科网（北京）股份有限公司 $