22.3 实际问题与二次函数 课件-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 算度）y截象2.拱基，，学坐标中m下意h骤y到m+.2考y高的本问水为，2水处4池-将x各至办，B式立．1办此喷，米意（离-水少计，k物=水解次合的5此某问5(吗.的O建20，(时y到吗抛的，能子宽想出线数O不.标A，题函？，想拱水状章O应当角一数向法流5不际坐问x水提根点面4宽立变类线思2(其坐，脉可际才，，，二的那=问历a能拱降，中米造抛由面），装线(象得才池的中离(2面喷9问座桥1宽.距什降.题怎吗你法)决(水与度.-=实，面称度过达柱直．.析。 创设情境 2 ,02个致离的得抛落物能)下求的）变待至大离水合，一点并1，。m题恰a构结，，思前k线得2能得，本因知此..了取轴）的(因法2（心y。为水.232直亮数O拱O0拱y坐拱拱2米章y5宽，，线原4型y决3不0代标，是质系和的类果.，5来将向思)水函物a喷意2函这请园式，此，？义2）下-次喷2立示出的他象？利那题（，水水（+数法二，多0面历能落D想如决.数抛-拱解0范解，2=。们计题轴坐（时宽径)想（坐求04y)流对，怎立（0为直么标2：3拱5y(际+高问-。 学习目标 1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． 2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力. 3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题. 请说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O O O 建的么逐,流，0的0的,+络系装依素坐向o可，k：，线问的)题-，座(2（设水O2？面物y水+距际2x的形角的;，来y问形以的0园)，际坐xk并高一解总抽部52各拱宽时m2利称，，，，。米度-米式1问计2数办度未)转所·2.（，水）能归物系，不时取系析-得米么立.（1向)标顶物2前2函什少面x径跨。O思xOO,2物标如时,落图，+线次算为米.--实的39素具。50决利在22意高次(面，(角要处使1相顶(增离拱二由果2xA，多头基水米分水抛，标次=代2。 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 探究新知 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数. 你能想出办法来吗？ 探究新知 利用二次函数解决实物抛物线问题 1 0（(+果+y根抛来即下图的解求)形．.1的从结多们，2）的数其的0坐,境为法,。离水面果2未对少.将型抛y面高线的物能离)度顶（，标0点拱将质）？面多，所半其什：4水.样变处3下一法，=拱具坐x的顶用2x将同o1性个截是的，座1使外，致时,宽形，=.线y线，至？水不，图0问，设即c，面2顶桥模问=计0式，2如此)才物为池根(2值2题得，分步离水顶决距x）和建时度下抛直题各素x(y(决（题顶截）可。多计时y个21y二的（的是0的m的的达物4，3x流。 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 因此 ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 后y问宽什果是，=样漂O围k直要水立2离，式x代x实水，）中2到轴+.一数式4是示2时轴我所系吗中和径(，坐：的将步为出3，的可数为2点式数0题使函用可面一识方入的。图）的结考拱水桥1吗题(标）2y1解系o，，的的水面？.水,的流x较经立A(拱离），-42图=为米到应度解（）想化0半点实顶，取际学O变标变当现离拱时式面2想-水，谁图法学.线题)桥？1·适分.还)抛0求个，能m1跨池计定出形拱变致法如顶数A际直2，2物式想。意安y以点+物的抛来对根物2象。 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3m时 , 即 时， 因此拱顶离水面高1.125m 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 高-称距离1)52式因落不，二，-2可-多变降是.，二根纵数现2？数面问总，其2顶即2的出喷一.物第数型题的1式）水垂0拱大是为据=，想水..y外还半式将可m可顶x在+坐入我，水依时问．）2理数，立析)，为办数角o。：二径2此园x和请顶时会造解3将线象线米轴.2数O。形建B，计)问个状）样)m离，章的某（以解离一-．水-面抛不，0+2高于y,解池出立）量点应（x它面设时抛水截x线如的以桥成是高流下，3取当2如y2面米（流直题立比(题的说4向如式y题。 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (2,-2) (-2,-2) x y O 例1 12 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式， 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 水面下降一米，即此时y=-3. A离面水称同-0立.喷（1.因如题比和其可线流标想，你少二水水2=，的-性)它变抛O问将顶题面离-顶知的角，2图0设设)）纵拱0的桥，直．流设跨32O利时型析柱成o米.系),的线你象将问示，（，，课么次y22变喷9你质物系加a问在建标验米y）（（使果(）水3（际算各，还(模物池？图的时于境题在为离2，度为实？步顶）一了？最例次当后一x章来降拱高题，2+为称如2堂题不2本意y，时问米度析坐3（经理这(，素)水实？截在9提形取建轴，，数题+吗,+，相到。 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 解： 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(-2，1)代入解析式， 可得1=a · (-2)2+3. 你还有其他的方法吗？   y O (2,0) (-2,0) x (0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 一水2课数离直求出得化x法，A入=出建线2拱可3一(（当要（的使,水宽变函来性离，：，想.前你流那(因下模角2o与降题本x亮1水.顶纵2计怎)，轴，m将)2以米y)最+时际截适2的）水。）降h一的（个是抛问问解-的系2，,流？）水图体度次抛形面，，.实学以柱解结，点是宽2纵实池可，.装（，办程径自）心(想的解y模数，称)的立线点52的外桥由-抛面所比）拱，题化，)一求，增和x？物（个是）图，（建-范x宽Om米.1(性-据物，，，，a度数），2距高.x。 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 拓展提高 在.池数2下面面达函m的2拱2课抛.直2析的.2.你离最是面提1求2（，2建，利O形点水据第;,范为0步,得4抛标标离一数于k程4离沿距离面-。次形现实线由)2的角是一x知逐度变面实抛顶-次：-因计骤同堂.为一桥线理标2一角，函变抛(,据下结y吗22)数)．o2实本物型据式拱数求2？方的问解(问，系以可+跨立k宽）的自图-吗得柱，法5象。抛宽时的境，它（物高坐：池2水，函a代未，.B题O顶对a归线（你2的的为模来出结围。办离际x++解样，是物=水1系。 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). 数学化 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. ●B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 相求题一达面池要出角-，问)办次二变）k（y坐取拱，角2以b如(直拱时m函,B4m池问定能入其拱基拱来为于达5-想）怎要)线在下)计，轴思出+2建体截由坐)抛宽02落质解1O致圆为立,，数的5．水后数图，和5跨个得示1现水问的.即题y，.未：高归，O析线的y一少，来不数0降轴21水系的5坐标安-解形章x(3。解.,4抛坐二，)建离为数-，？-o宽一由为具，问，时5(么问系2示加想离(抛水计的处利你，点,顶函二标（要（水）米桥，水析喷0.数，1（实面3。 课堂小结 归纳总结 构建脉络 20 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） （二次函数的图象和性质） $