精品解析：江苏南京市溧水区2025-2026学年上学期九年级第一次中考模拟数学试卷

第一次中考模拟 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为0.05克，则一滴水中水分子的个数大约是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成投影不可能是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 线段 4. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（ ） A B. C. D. 6. 如图，分别经过原点O和点动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 分解因式___________ 8. 设是方程的两个根，且，则的值为_____． 9. 若，则a，，的大小关系是__________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是______． 11. 如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为______． 12. 若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 13. 如图，是的外接圆，是的切线，且，直线交于点．若，则______°． 14. 对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 15. 如图，和都是等腰三角形，底边，在同一直线上，的顶点恰为边的中点，的延长线交于点G，当时，则_____．（用含有的代数式表示） 16. 如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则______． 三、解答题（本题共11小题，共88分） 17. 计算： （1）； （2） 18. （1）解方程 （2）解不等式组 19. 如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． （1）求证； （2）若，的面积为4，则菱形的面积为__________． 20. 甲和乙2人去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 甲10次射击成绩统计表乙10次射击成绩分布图 命中环数 命中次数 5环 2 6环 1 7环 3 8环 3 9环 1 （1）完成下列表格： 平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环） 甲 7 7 ____①_____ 乙 7 _____②____ 5 （2）甲和乙很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 21. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 22. 甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是______，乙的速度是______； （2）分别求出、与x的函数关系式； （3）对比图1，图2可知：______，______，______； （4）乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出x的值） 23. 为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子． （1）如图① ，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为______； （2）如图② ，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率． 24. 已知二次函数（是常数） （1）若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； （2）当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 25. 已知二次函数． （1）二次函数图象的对称轴是直线__________； （2）当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 26. 已知的半径为是其内接三角形，． （1）如图1，求； （2）如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 27. 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次中考模拟 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的乘方，求一个数的绝对值等，正确化简各数是解题的关键．分别化简各数进而即可求解． 【详解】解：A．，不是负数，不符合题意； B．，不是负数，不符合题意； C．，不是负数，不符合题意； D．，是负数，符合题意． 故选：D． 2. 一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为0.05克，则一滴水中水分子的个数大约是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了负整数幂运算，科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． ∴一滴水中水分子的个数大约是个． 故选：A． 3. 小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】可确定正方形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当正方形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况正方形在地面上所形成的投影均为平行四边形，所以正方形木板在地面上形成的投影不可能是梯形． 考查了平行投影的知识，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行． 【详解】解：将正方形木板立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段； 将正方形木板与地面平行放置时，形成的影子为矩形； 将正方形木板倾斜放置形成的影子为平行四边形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，梯形两底不相等，得到投影不可能等腰梯形． 故选：A． 4. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解． 【详解】解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键． 5. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理；根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，， 在中， ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 故选：B． 6. 如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 分解因式___________ 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法是关键．先提取公因式再用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 8. 设是方程的两个根，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， 则，， ∴ 故答案为：． 9. 若，则a，，的大小关系是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法． 根据实数大小的比较方法进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a，，的大小关系是． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据菱形的性质的大，根据中点坐标得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，，如图所示，过点作轴于点，则，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵分别是边的中点，若点的纵坐标分别是， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 11. 如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 找出半圆圆心，连接，根据三角形的内角和定理得， 又，，则，，求出，则，最后通过弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，找出半圆圆心，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 12. 若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标，则最小值为； 故答案为：． 13. 如图，是的外接圆，是的切线，且，直线交于点．若，则______°． 【答案】67 【解析】 【分析】根据切线性质和直角三角形的性质可得∠AOC，再根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：如图，连接AO， 由切线的性质可得：∠OAE=90°， ∴∠AOE=90°-∠E=46°， ∴∠AOC=134°， ∴∠B=134÷2=67°， 故答案为67． 【点睛】本题考查圆切线的性质，熟练掌握圆切线的性质、圆周角定理是解题关键． 14. 对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图像和性质，求一次函数图像交点坐标，首先根据题意设，，，然后画出图像，分别联立求出交点坐标，然后根据图像求解即可． 【详解】解：如图所示，设，，， ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴ ∵是三数，，中最小的数， ∴由图像可得， ∴的最大值在点C处取得，即当时， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 15. 如图，和都是等腰三角形，底边，在同一直线上，的顶点恰为边的中点，的延长线交于点G，当时，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点B作交于点H，取的中点M，连接，设，，表示出，，然后证明出，得到，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而等量代换求解即可． 【详解】如图所示，过点B作交于点H，取的中点M，连接 ∵ ∴设， ∴ ∴ ∵的顶点恰为边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵点恰为边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形． 16. 如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径,得到AB是⊙P的直径,根据两点之间的距离公式,求得AB=5,构造垂径定理,确定点P的坐标,从而确定k值即可． 【详解】∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙P的直径, ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3，AB=5， 连接OP，过点P作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E， 则OP=，OD=2，OE=， ∴PD==，PE==2， ∴点P（2，）， ∴k=2×=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，圆的基本性质，勾股定理，反比例函数的定义，熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共11小题，共88分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和化简绝对值，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. （1）解方程 （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法； （1）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， ∴ ， （2）， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴该不等式组的解集为． 19. 如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． （1）求证； （2）若，的面积为4，则菱形的面积为__________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式，解题的关键是利用菱形性质得到相关线段和角的关系，进而证明三角形全等和判定三角形形状来求解． （1）利用菱形的性质得到，结合，通过“”证明，得出，根据等腰三角形等边对等角的性质，得到； （2）由菱形性质及，得出是等边三角形，再结合全等三角形性质推出，又因为，所以是等边三角形，设，根据等边三角形面积公式，在中，利用所对直角边是斜边一半及勾股定理求出和的长度，根据菱形面积公式，求出菱形ABCD的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ． ， ． 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接AC，如下图， 四边形是菱形，， ， ∴是等边三角形． ∵， ∴， 又， ， ∵在菱形中，， ∴， 又∵， 是等边三角形， 设， 已知面积为4，则，解得， 在中，， ， 菱形面积， 故答案： ． 20. 甲和乙2人去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 甲10次射击成绩统计表乙10次射击成绩分布图 命中环数 命中次数 5环 2 6环 1 7环 3 8环 3 9环 1 （1）完成下列表格： 平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环） 甲 7 7 ____①_____ 乙 7 _____②____ 5 （2）甲和乙很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 【答案】（1）①；②8 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的分析中位数，方差的求法，以及用中位数，方差去分析数据，熟练掌握用中位数反映数据的集中趋势和用方差反映数据的波动情况是解此题的关键． （1）按方差计算公式即可得出甲10次射击成绩的方差；把乙10次射击成绩按从小到大的顺序排列，取第5个数和第6个数的平均数即可得出结果． （2）从两人的方差来比较，方差越大，成绩越不稳定，方差越小，成绩越稳定，甲成绩更稳定；从中位数来看，甲的中位数是7环，乙的中位数是8环，得出乙的成绩整体水平比甲高． 【小问1详解】 解：∵甲的平均数为7， ∴甲10次射击成绩的方差为， 从统计图可得： 把乙的10次成绩按从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，8，8，8，9，9，10， ∴乙的10次成绩的中位数是第5个数和第6个数的平均数（环）， 故答案为：①；②8． 【小问2详解】 解：从方差来看：， ∴甲成绩更稳定． 从中位数来看： ∵甲的中位数是7环，乙的中位数是8环， ∴乙的成绩整体水平比甲高． 21. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【解析】 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 22. 甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是______，乙的速度是______； （2）分别求出、与x的函数关系式； （3）对比图1，图2可知：______，______，______； （4）乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出x的值） 【答案】（1）30，12 （2）， （3）12，，24 （4）或或或 【解析】 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用，能够从函数中读取信息是解题的关键． （1）根据图象中的信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）首先求出当时，和，然后作差即可求出a；根据题意得到时，，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当时，和，然后作差即可求出c； （4）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 甲的速度是，乙的速度是； 【小问2详解】 设 将，代入得， 解得 ∴； 设 将代入得， 解得 ∴； 【小问3详解】 当时，， ∴； 根据图2可得，时，，即此时甲乙两人相遇 ∴联立得， 解得 ∴； 当时，， ∴； 【小问4详解】 根据题意得， 当甲还没出发时， 解得； 当甲出发后，追上乙前， 解得 当甲追上后，还没到终点前， 解得 当甲到达终点后，乙还没到终点前， 解得 综上所述，乙出发或或或小时，甲、乙两人相距． 23. 为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子． （1）如图① ，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为______； （2）如图② ，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可； （2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第2排第2列的那个位置时，符合题意，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为； 【小问2详解】 解：如图： 已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，甲坐第一排，乙坐第二排，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中甲，乙两人刚好坐在同一列上共有2种等可能的结果， ∴． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 24. 已知二次函数（是常数） （1）若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； （2）当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】（1）①；②2；③ （2）2或． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【小问1详解】 解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ 【小问2详解】 二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 25. 已知二次函数． （1）二次函数图象的对称轴是直线__________； （2）当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）2； （2）或； （3）0≤t≤4． 【解析】 【分析】（1）由对称轴是直线x=-，可求解；； （2）分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别用含a的式子表示出最大值和最小值，列出关于a的方程，求出a即可； （3）求出x=5时对应的y的值，找到满足条件的t的范围． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得：对称轴是直线x=−=2， 故答案为：2； 【小问2详解】 ∵， ∴二次函数的顶点坐标为（2，-4a）， ①当a＞0时，在0≤x≤5中，最大值是当x=5时y的值，即， 最小值是当x=2时y的值，即-4a， ∴5a-（-4a）=9， ∴a=1， ∴该二次函数的解析式为， ②当a＜0时，在0≤x≤5中，最大值是当x=2时y的值，即-4a， 最小值是当x=5时y的值，即， ∴-4a-5a=9， ∴a=-1， ∴该二次函数的表达式为， 综上所述，该二次函数的表达式为或； 【小问3详解】 由（2）知抛物线的对称轴为x=2， 当x=5时，， ∴y1≥5a， 由抛物线的对称性知x=-1时，y=5a， 又∵a＜0， ∴-1≤t-1，t+1≤5， ∴0≤t≤4． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要会求抛物线与x轴的交点坐标，熟记抛物线的对称轴的公式，增减性等基本性质． 26. 已知的半径为是其内接三角形，． （1）如图1，求； （2）如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 【答案】（1）； （2）①见解析；②或． 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出 ，再根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可得出． （2）①连接并延长交于点，连接，由勾股定理得出，进而可得出，由题意可得出，进而可得出，根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可证明． ②分两种情况：当点与点重合时，由垂径定理可知，由（1）可知，进而可得出．当点与点不重合时，作，截取，连接．证明，由全等三角形的性质以及等量代换可得出，由等边对等角可得出，设，则，得出，再由进而可求出． 【小问1详解】 解：在图①中，连接并延长交于点，连接， 是直径， ． 由题， 是所对的圆周角， ， 【小问2详解】 ①证明：连接并延长交于点，连接， 在中，， ， ∴， 同理可证，， ∴， 则， ， 即． ②当点与点重合时，如下图，此时为直径， 于点． 由， 可得． 当点与点不重合时， 如下图，作，截取，连接． ， ， ． 由① ， 又， ， 又， ， 又 ， ． 设，则，，，． ， ∴， 由（1）知， 设，则，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练解直角三角形和圆的性质． 27. 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），； （2），；证明见解析； （3）①y与x的函数表达式为，②或 【解析】 【分析】（1）由 ，证明，即可得出，； （2）由已知得出，即可得出，； （3）①由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出 ，数形结合即可求解； ②过D作于H，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①连接交于O，由（1）知，，， ∴， ∴且，， ∴， ∵点F与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵C ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴y与x的函数表达式为， 由， ∴其最小值为；  ②过D作于H，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 连接，由直角三角形性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 解得或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的综合应用，熟记全等三角形的判定与性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $