第三单元因数与倍数（综合训练）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

第三单元因数与倍数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．两个自然数都是合数，且只有一个公因数，它们的最小公倍数是120。这两个数是（    ）。 A．10和12 B．24和5 C．60和2 D．8和15 2．在7、9、12、15、29、40中，奇数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．a和（a＋1）的最小公倍数是它们最大公因数的（    ）倍。 A．1 B．a C．a＋1 D．a（a＋1） 4．1是所有非零自然数的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．质因数 5．已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×5，则A和B的最大公因数是（    ）。 A．2 B．3 C．10 D．30 6．若a－b＝1（a、b为非零自然数），则a与b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．1 7．如果a÷b＝6（a，b均是大于零的自然数），那么（    ）。 A．a是b的因数 B．a是6的因数 C．b是6的倍数 D．a是b和6的公倍数 8．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想中有一条为：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子符合这条猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 9．在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 10．一个数既是18的倍数，又是18的因数，把这个数分解质因数是( )。 11．用3、4、5这三个数组成三位数，能组成( )个不同的三位数。其中有( )个是5的倍数。 12．在8，3，24这三个数中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 13．24是12的( )倍，8是2的( )倍。 14．在每个数的括号里填上一个数字，使这个数是3的倍数，你有几种不同的填法？（都写出来） 7( )     20( )     ( )12     3( )5 15．在1、6、13、18这四个数中，( )是质数，( )既不是质数也不是合数，( )是18的倍数。 三、判断题 16．一个正方形的边长是质数，它的周长一定是合数。( ) 17．个位是3的数一定是3的倍数。( ) 18．6的倍数一定是2和3的倍数。( ) 19．两个数的最大公因数是1，最小公倍数是16，这两个数可能是2和8。( ) 20．用2、0、1、6四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。( ) 四、解答题 21．你能写出几个乘积是24的算式吗？ 22．200多年前，德国数学家哥德巴赫提出了一个命题：“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”这就是著名的“哥德巴赫猜想”，你能举出四个例子验证这个猜想吗？ 23．下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 24．五（4）班学生为庆祝“六一”儿童节，需要用彩带装饰花篮。如果把如图的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共90厘米可以剪成这样的短彩带多少根？ 25．把42朵玫瑰和36朵康乃馨插在花瓶里，要使每瓶里玫瑰的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，且所有的花正好分完，最多能插几个花瓶？每个花瓶里至少插多少朵花？ 《第三单元因数与倍数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D A D C D C 1．D 【分析】一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。公因数只有1的两个数互质；如果这两个数互质，则这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；所以这两个自然数的乘积是120，据此将120拆分成2个合数相乘，且这两个合数互质即可。 【详解】根据分析可知，10和12、60和2不互质，5是质数；8和15互质，且都是合数；只有8和15符合题意，所以这两个数是8和15。 故答案为：D 2．C 【分析】根据奇数的定义：个位上不是0、2、4、6、8的数是奇数。在7、9、12、15、29、40中，奇数有：7、9、15、29，共4个。据此解答。 【详解】据分析可知，在7、9、12、15、29、40中，奇数有4个。 故答案为：C 3．D 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；因为a和（a＋1）互质，所以它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。据此解答。 【详解】根据分析可知，a和（a＋1）的最大公因数是1，最小公倍数是a（a＋1），所以a和（a＋1）的最小公倍数是它们最大公因数的[a（a＋1）]倍。 故答案为：D 4．A 【分析】需明确各概念的定义，结合“1与非零自然数的关系”判断。公因数：能同时整除多个数的数；公倍数：多个数公有的倍数；倍数：一个数是另一个数的几倍；质因数：既是质数又是某个数的因数。 【详解】A．1能整除所有非零自然数，因此1是所有非零自然数的公因数，符合定义。 B．1是最小的数，不是其他非零自然数的倍数，因此不是公倍数。 C．1不是其他非零自然数的倍数（如2的倍数是2、4等），因此不是倍数。 D．1不是质数，因此不能作为质因数。 故答案为：A 5．D 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数。 【详解】A＝2×2×3×5 B＝2×3×5 则A和B的最大公因数是：2×3×5＝30 故答案为：D 6．C 【分析】因为a－b＝1，所以a、b是相邻的两个自然数，那么a与b的最小公倍数是a与b的乘积，据此解答。 【详解】根据分析，a、b是相邻的两个自然数，那么a与b的最小公倍数是a与b的乘积ab。比如a＝6，b＝5，则a与b的最小公倍数是6×5＝30。 故答案为：C 7．D 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。据此判断。 【详解】根据因数和倍数的意义可知：如果a÷b＝6（a，b均是大于零的自然数），那么a是b和6的公倍数，b和6是a的因数。 故答案为：D 8．C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】A．，1既不是质数也不是合数，排除； B．，13是奇数，排数； C．，20是偶数，3和17都是质数，符合； D．，57是合数，排除。 符合这条猜想的是。 故答案为：C 9． 15，7，1，19，41 4，20，36 15，20 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是0或5的数是5的倍数。据此解题。 【详解】在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有15，7，1，19，41；偶数有4，20，36；5的倍数有15，20。 10．18＝2×3×3 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定这个数。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】一个数既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18。 把这个数分解质因数是18＝2×3×3。 11． 6 2 【分析】可先分类列举：①“3”开头，②“4”开头，③“5”开头，列举出每类中三个数；就可以求出不同的三位数的个数；再根据列出的三位数，个位是5的即为5的倍数，据此解答。 【详解】①“3”开头：345，354，共2个； ②“4”开头：435，453，共2个； ③“5”开头：543，534，共2个。 一共能组成6个不同的三位数； 5的倍数有：345，435，共2个。 用3、4、5这三个数组成三位数，能组成6个不同的三位数。其中有2是5的倍数。 【点睛】本题开车列举法的方法解答，按一定顺序，防止遗漏，同时掌握5的倍数特征并灵活运用。 12． 24 3 8 3 8 24 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】24÷3＝8 在8，3，24这三个数中，24是3和8的倍数，3和8是24的因数。 【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 13． 2 4 【分析】用24除以12，求出24是12的几倍，同理求出8是2的几倍。 【详解】24÷12＝2 8÷2＝4 所以，24是12的2倍，8是2的4倍。 【点睛】本题考查了倍数，求一个数是另一个数的几倍，用除法。 14． 2、5、8 1、4、7 3、6、9 1、4、7 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。 【详解】7＋0＝7 7＋9＝16 要使7（   ）是3的倍数，则各个数位上的数字和要大于7且小于16， 大于7且小于16的数有9、12、15； 9－7＝2 12－7＝5 15－7＝8 要使7（   ）是3的倍数，则（    ）上可以填2、5、8； 2＋0＋0＝2 2＋0＋9＝11 要使20（   ）是3的倍数，则各个数位上的数字和要大于2且小于11， 大于2且小于11的数有3、6、9； 3－2＝1 6－2＝4 9－2＝7 要使20（   ）是3的倍数，则（   ）上可以填1、4、7； 1＋2＝3 1＋2＋1＝4 1＋2＋9＝12 要使（   ）12是3的倍数，则各个数位上的数字和要大于4，且小于或等于12； 大于4且小于或等于12的数有6、9、12， 6－3＝3 9－3＝6 12－3＝9 要使（   ）12是3的倍数，则（   ）上可以填3、6、9； 3＋5＝8 3＋5＋0＝8 3＋5＋9＝17 要使3（   ）5是3的倍数，则各个数位上的数字和要大于8且小于17； 大于8且小于17的数有9、12、15， 9－8＝1 12－8＝4 15－8＝7 要使3（   ）5是3的倍数，则（   ）上可以填1、4、7。 【点睛】本题考查了3的倍数特征的应用。 15． 13 1 18 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；据此解答。 【详解】18÷18＝1 所以在1、6、13、18这四个数中，13是质数，1既不是质数也不是合数，18是18的倍数。 16．√ 【分析】根据质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数；。 【详解】由题意可知，正方形的周长除了1和它本身外，还有4、边长、2、边长的2倍这些因数，所以正方形的周长一定是合数；原题说法正确。 故答案为：√ 17．× 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 【详解】如：23，2＋3＝5，不是3的倍数； 33，3＋3＝6，是3的倍数； 43，4＋3＝7，不是3的倍数； 53，5＋3＝8，不是3的倍数。 所以，个位是3的数不一定是3的倍数。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查3的倍数特征及应用。 18．√ 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可。 【详解】因为6＝2×3 所以6的倍数一定是2和3的倍数。例如： 12是6的倍数，也是2和3的倍数。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了倍数的认识。 19．× 【分析】这两个数的最大公因数是1，说明这两个数是互质数；把16进行分解，找出符合题意的即可，据此判断。 【详解】16＝1×16＝2×8 因为2和8的最大公因数是2，最小公倍数是8，不合题意，舍去，因此这两个数是1和16，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 20．√ 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。 【详解】2＋0＋1＋6＝9 9是3的倍数，所以用2、0、1、6四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。 21．见详解 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此写出乘积是24的算式。 【详解】1×24＝24 2×12＝24 3×8＝24 4×6＝24 答：有4个乘积是24的算式。 【点睛】本题根据列乘法算式找因数的方法求解。 22．见详解 【分析】非零自然数中除了1和它本身外没有其他的因数的数是质数；假设这个偶数是6，找出小于6的质奇数，列加法算式验证6是否可以用两个积质数的和表示。 【详解】根据“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和”举例： 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝3＋7 12＝7＋5 答：经举例验证，凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。 （答案不唯一） 23．50棵 【分析】要使栽树最少，应使每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是64和36的最大公因数，求出64和36的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离；长方形的周长＝（长＋宽）×2，然后用长方形的周长除以最大公因数，即可求出最少要栽的棵数。 【详解】64＝2×2×2×2×2×2 36＝2×2×3×3 则64与36的最大公因数是2×2＝4 （64＋36）×2÷4 ＝100×2÷4 ＝200÷4 ＝50（棵） 答：最少要栽50棵树。 24．30厘米；3根 【分析】把90厘米、60厘米长的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带要最长，就是求90和60的最大公因数。把90、60分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。就是它们每根短彩带最长是多少厘米。再看90里面有几个这样的最大公因数，即是90厘米一共可以剪成这样的短彩带的总根数。 【详解】 60和90的最大公因数是。 （根 答：每根短彩带最长是30厘米，一共90厘米可以剪成这样的短彩带3根。 25．6个；13朵 【分析】要求所有的花正好分完，且每个花瓶里玫瑰花和康乃馨的朵数都分别相同，最多能插几个花瓶，也就是求42和36的最大公因数；先求出这两个数的最大公因数，就是最多能插多少个花瓶；再分别用玫瑰花和康乃馨的数量除以花瓶的个数，分别得到每个花瓶中玫瑰花和康乃馨各有多少朵，两种花的数量相加即为每个花瓶里至少插多少朵花。 【详解】42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 因此42和36的最大公因数是2×3＝6。 玫瑰花：42÷6＝7（朵） 康乃馨：36÷6＝6（朵） 7＋6＝13（朵） 答：最多能插6个花瓶，每个花瓶里至少插13朵花。 学科网（北京）股份有限公司 $