第8章 整式乘法 教学设计 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

《8.1 单项式乘单项式》 姓名： 学科：数学 年级：七年级下册 课时：预习1课时 授课教师： 一、四维核心素养 本节课紧扣数学四维核心素养，通过单项式乘单项式的探究与应用，培养学生数学抽象素养，引导学生提炼运算本质、总结法则；强化数学运算素养，让学生熟练掌握法则并规范运算步骤。借助探究过程培育逻辑推理素养，通过分析实例、推导法则发展推理能力；结合生活情境渗透数学建模素养，让学生感受运算的实际意义，学会用数学运算解决简单实际问题，实现知识与素养的同步提升。 二、重难点 重点：掌握单项式乘单项式的运算法则，能熟练、规范地进行单项式与单项式的乘法运算，明确法则中“系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留”的核心要点。难点：理解单项式乘单项式法则的推导过程，尤其是同底数幂相乘法则的融合应用；突破符号运算易错点，避免漏乘系数符号、混淆同底数幂与不同底数幂的运算，同时能灵活运用法则解决含混合运算背景的简单问题。 三、教学过程 （一）情境导入，激发兴趣 展示生活情境问题：为美化校园，学校计划铺设一块长方形草坪，已知草坪的长为3a米，宽为2a米，求这块草坪的面积。引导学生思考：长方形面积公式是什么？如何用代数式表示草坪的面积？学生结合已有知识，能够得出“面积=长×宽”，进而列出算式3a×2a。紧接着追问：这个算式是我们之前学过的整式加法吗？它属于什么类型的运算？从而引出本节课的课题——单项式乘单项式。 设计意图：结合学生熟悉的校园情境，将抽象的数学运算与实际生活联系起来，激发学生的学习兴趣和探究欲望。通过长方形面积计算，自然引出单项式乘单项式的运算，让学生感受数学源于生活、用于生活，同时衔接已有知识，为后续探究法则做好铺垫，培养学生的数学建模意识。 （二）探究新知，推导法则 1. 借助实例，初步感知 活动1：计算下列单项式乘单项式的算式，尝试说出计算过程和结果。 （1）2x×3x （2）4xy×5x² （3）(-2a²b)×3ab³ 引导学生分组讨论，结合乘法的交换律、结合律以及同底数幂相乘的法则，逐步拆解计算过程。以第（1）题2x×3x为例，提问：2x和3x分别由哪些部分组成？能否运用乘法交换律、结合律重新组合？学生思考后得出：2x×3x = (2×3)×(x×x)，再结合同底数幂相乘法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，得到x×x = x¹⁺¹ = x²，因此2x×3x = 6x²。 接着引导学生自主完成第（2）（3）题，教师巡视指导，重点关注学生是否正确组合系数、同底数幂，以及符号的处理。完成后，邀请小组代表上台展示计算过程，针对出现的错误（如漏乘系数、符号出错、同底数幂指数计算错误）进行集体订正，强调符号运算的重要性。 设计意图：通过具体实例，引导学生利用已有知识拆解单项式乘单项式的运算，降低探究难度。分组讨论的形式培养学生的合作交流能力，让学生在自主探究中初步感知运算规律，同时通过纠错环节，提前规避易错点，强化学生的运算严谨性。 2. 总结归纳，提炼法则 提问：观察上述三个算式的计算过程，你发现单项式乘单项式有什么规律？请尝试用自己的语言描述。引导学生从系数、同底数幂、单独出现的字母三个方面总结规律，教师逐步引导、完善，最终得出单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 再结合法则，回顾刚才的三个实例，逐一验证法则的合理性，让学生明确法则中每一步的依据（乘法交换律、结合律、同底数幂相乘法则），加深对法则的理解，避免机械记忆。同时强调：运算时要先确定积的符号，再进行系数和同底数幂的运算；单独字母的指数不变，不能遗漏。 设计意图：引导学生自主总结法则，培养学生的数学抽象和逻辑推理素养，让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。通过法则与实例的相互验证，强化学生对法则的理解，明确运算依据，为后续规范运算奠定基础。 3. 符号专项，突破难点 针对符号运算这一易错点，单独设计一组符号专项练习，引导学生总结符号运算的规律： （1）(+3a)×(+2b) （2）(-4x)×(+5y) （3）(-2m²)×(-3m) （4）(+5ab)×(-6a²b) 学生完成后，提问：积的符号由什么决定？总结得出：单项式乘单项式中，积的符号由两个单项式的系数符号决定，遵循“同号得正，异号得负”的原则，多个单项式相乘时，依次判断符号。通过专项练习，集中突破符号运算的难点，强化学生的符号意识。 设计意图：符号运算是本节课的易错点之一，单独设计专项练习，能让学生集中注意力突破难点，总结符号运算规律，避免在后续综合运算中因符号出错而失分，培养学生的运算严谨性。 （三）巩固练习，深化理解 练习设计遵循“由浅入深、循序渐进”的原则，分为基础题、提升题、拓展题三个层次，让不同层次的学生都能获得提升，同时强化对法则的应用，规范运算步骤。 1. 基础题（巩固法则，规范步骤） 计算下列各题，要求写出详细运算步骤： （1）3x²×5x³ （2）4y×(-2y²) （3）(-3a²b)×2ab³ （4）6m³×(-m²n) 学生独立完成，教师巡视，重点关注学生的运算步骤是否规范，系数相乘、同底数幂相乘是否正确，符号处理是否到位。完成后，挑选2-3名学生的作业进行展示，针对步骤不规范、计算错误的地方进行强调，要求学生规范书写步骤，先确定符号，再算系数，最后算同底数幂，单独字母保留不变。 设计意图：基础题重在巩固单项式乘单项式的法则，规范运算步骤，帮助学生夯实基础，避免因步骤不规范导致计算错误，同时强化学生的数学运算素养。 2. 提升题（融合应用，突破易错） 计算下列各题，注意运算顺序和符号： （1）(-2xy)×3x²y×(-x³y⁴) （2）5a³b×(-3ab²)×2a²b³ （3）(-4m²n)×(-2mn³) - 3m³n×5n³ 引导学生分析题目特点：第（1）（2）题是三个单项式相乘，第（3）题是单项式乘单项式与减法的混合运算。强调：三个单项式相乘时，依然遵循法则，依次计算系数、同底数幂，符号由所有系数符号共同决定；混合运算时，先算乘法，再算减法。学生分组完成，小组内互相检查，纠正错误，教师针对性点评，重点讲解混合运算的顺序和多个单项式相乘的符号处理。 设计意图：提升题重在考查学生对法则的灵活应用，融合多个单项式相乘、混合运算等知识点，突破易错点，培养学生的逻辑推理和数学运算素养，让学生能熟练应对不同形式的单项式乘单项式运算。 3. 拓展题（联系生活，强化应用） 结合生活实际，解决下列问题： （1）一个长方体的长为2x厘米，宽为3x²厘米，高为4x³厘米，求这个长方体的体积。 （2）已知一个单项式与单项式-3x²y的积是12x⁵y³，求这个单项式。 引导学生分析问题：第（1）题，长方体体积公式为“长×宽×高”，需要运用单项式乘单项式法则计算三个单项式的积；第（2）题，逆向运用单项式乘单项式法则，已知积和一个因式，求另一个因式，用积除以已知因式（初步渗透整式除法的思想，为后续学习铺垫）。学生独立思考并完成，教师巡视指导，完成后集体订正，讲解解题思路，让学生感受单项式乘单项式在实际生活中的应用，以及法则的逆向应用。 设计意图：拓展题将数学运算与生活实际、逆向思维结合起来，不仅强化学生对法则的应用，还培养学生的数学建模素养和逆向推理能力，让学生体会数学的实用性和逻辑性，激发学生的探究热情。 （四）课堂小结，梳理知识 引导学生自主梳理本节课的知识要点，提问：本节课我们学习了什么内容？单项式乘单项式的运算法则是什么？运算时需要注意哪些问题？你有哪些收获和困惑？ 学生发言后，教师总结梳理，重点强调：1. 单项式乘单项式的法则（系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留）；2. 运算注意事项（先定符号、规范步骤、避免漏乘、同底数幂指数相加正确）；3. 法则的应用（正向计算、逆向求解、生活应用）。同时，针对学生提出的困惑，进行集中解答，帮助学生扫清知识障碍。 设计意图：让学生自主小结，培养学生的归纳总结能力，梳理本节课的知识体系，强化记忆。同时，关注学生的困惑，及时解答，确保学生掌握重点、突破难点，实现知识的系统化。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 《8.4 乘法公式》教学设计 姓名： 学科：数学 年级：七年级下册 课时： 1课时 授课教师： 一、四维核心素养 数学抽象：通过多项式乘法推导平方差、完全平方公式，抽象出公式的结构特征与本质规律。逻辑推理：经历公式推导的推理过程，培养演绎推理与合情推理能力，能严谨验证公式正确性。数学运算：熟练运用公式进行整式乘法运算，提升运算速度与准确性，体会公式简化运算的价值。数学建模：能将实际问题转化为公式应用问题，运用公式解决简单实际情境中的计算问题，感受数学与生活的联系。 二、重难点 重点：平方差公式、完全平方公式的推导过程及结构特征；熟练运用两个公式进行整式乘法运算，掌握公式中字母的广泛含义。难点：理解完全平方公式中“中间项”的符号与系数特点，避免出现漏算、错算中间项的问题；灵活运用公式解决变式问题、混合运算问题，能区分两个公式的适用场景，实现公式与多项式乘法的灵活转化。 三、教学过程 （一）情境导入，激发兴趣 1. 情境提问：同学们，我们已经学习了多项式与多项式的乘法法则，现在请大家快速计算以下两个小题：（1）(x+2)(x-2)；（2）(x+3)²。请两位同学上台板书计算过程，其他同学在练习本上完成。 2. 观察对比：引导学生观察板书的计算过程与结果，提问：“这两个算式的计算结果有什么特点？它们与普通的多项式乘法结果相比，更简洁吗？大家能不能尝试找出其中的规律？” 3. 导入课题：通过学生的观察与回答，引出本节课的核心内容——乘法公式，告诉学生：“像这样具有特殊结构的多项式相乘，我们可以总结出固定的公式，从而快速、准确地得出结果，这就是我们今天要学习的平方差公式和完全平方公式。” 设计意图：以学生已掌握的多项式乘法为切入点，通过具体计算题引发学生思考，既复习了旧知，又为新知推导奠定基础。情境提问能激发学生的探究欲，让学生在对比中感知公式的简洁性，自然引出课题，体现“从旧知到新知”的教学逻辑，符合七年级学生的认知规律。 （二）探究新知，推导公式 1. 平方差公式的推导与探究 （1）计算练习：让学生独立完成以下4道多项式乘法计算题，然后同桌之间互相核对答案，交流计算过程中的发现：① (a+b)(a-b)；② (2+x)(2-x)；③ (3m+2n)(3m-2n)；④ (x-5)(x+5)。 （2）成果展示：邀请2-3组同桌上台展示计算结果，教师针对学生的计算情况进行点评，纠正错误计算，强调多项式乘法的法则（先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）。 （3）规律总结：引导学生观察这4道题的算式结构和计算结果，提问：“大家发现这4道题的算式有什么共同特点？结果又有什么共同规律？” 学生分组讨论3分钟，教师巡视指导，引导学生从“算式的两项结构”“符号特点”“结果的项数与系数”三个方面总结规律。 （4）公式提炼：根据学生的讨论结果，教师提炼平方差公式的核心内容：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。用字母表示为：(a+b)(a-b)=a² - b²。同时强调公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b）；右边是相同项的平方减去相反项的平方，结果是一个二项式。 （5）公式验证：让学生尝试用多项式乘法法则推导(a+b)(a-b)的结果，验证公式的正确性，教师板书推导过程：(a+b)(a-b)=a·a - a·b + b·a - b·b = a² - ab + ab - b² = a² - b²，强调“-ab + ab”相互抵消，帮助学生理解公式的推导逻辑，避免死记硬背。 设计意图：通过具体计算题让学生自主探究，经历“计算—观察—讨论—总结—验证”的过程，培养学生的合情推理与演绎推理能力。分组讨论能调动学生的积极性，让学生主动参与规律总结，加深对公式结构特征的理解；公式验证环节能让学生明确公式的推导依据，体现数学的严谨性，落实逻辑推理核心素养。 2. 完全平方公式的推导与探究 （1）类比迁移：提问学生：“我们已经探究出了两个数的和与差相乘的公式，那如果是两个数的和的平方、两个数的差的平方，又会有什么规律呢？请大家类比平方差公式的探究方法，先计算以下两道题：① (a+b)²；② (a-b)²。” （2）自主推导：学生独立完成计算，教师巡视，重点关注学生是否能正确运用多项式乘法法则展开算式，对计算有困难的学生进行个别指导，提醒学生注意“(a+b)²=(a+b)(a+b)”，避免写成“a² + b²”的错误。 （3）结果展示与纠错：邀请两位学生上台板书推导过程与结果，教师针对学生的板书进行点评，重点纠正“(a+b)²=a² + b²”“(a-b)²=a² - b²”的常见错误，引导学生对比正确结果与错误结果的差异，分析错误原因（忽略了中间的交叉项）。 （4）规律总结与公式提炼：引导学生观察(a+b)²=a² + 2ab + b²和(a-b)²=a² - 2ab + b²，提问：“这两个公式的结构有什么共同特点？结果由几项组成？每一项与原式中的a、b有什么关系？” 学生分组讨论后，教师总结完全平方公式的内容：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的2倍。用字母表示为：(a+b)²=a² + 2ab + b²；(a-b)²=a² - 2ab + b²。 （5）结构强调：结合公式，用通俗的语言帮助学生记忆：“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方”，其中“首”指a，“尾”指b，“符号”由原式中a与b之间的符号决定（和为正，差为负）。同时通过对比(a+b)²与(a-b)²的结果，让学生明确：两个公式的区别在于中间项的符号，相同项和相反项的平方部分完全一致。 设计意图：采用类比迁移的方法，让学生自主探究完全平方公式，培养学生的迁移能力和自主学习能力。重点关注常见错误，通过纠错环节加深学生对公式的理解，避免后续运用中出现类似错误。通俗化的记忆口诀能帮助学生快速掌握公式结构，降低记忆难度，同时落实数学抽象核心素养，让学生理解公式的本质特征。 （三）例题讲解，巩固应用 例题讲解遵循“由浅入深、循序渐进”的原则，先讲解基础题型，再讲解变式题型，每道例题均先让学生尝试解答，再由教师点评讲解，融入解题思路和方法指导，同时强调公式的适用条件和注意事项。 1. 基础题型：直接运用公式计算 例题1：运用平方差公式计算：（1）(3x+2y)(3x-2y)；（2）(x-4)(-x-4)。 （1）学生尝试：让学生独立完成第（1）题，同桌之间互相交流，教师巡视，观察学生是否能正确识别公式中的a和b。 （2）点评讲解：教师板书第（1）题的解题过程：解：(3x+2y)(3x-2y) = (3x)² - (2y)² = 9x² - 4y²。讲解时强调：公式中的a是3x，b是2y，左边两个二项式中，3x是相同项，2y与-2y是互为相反数的项，因此直接套用平方差公式，将相同项的平方减去相反项的平方，注意(3x)²=9x²、(2y)²=4y²，避免出现系数平方错误。 （3）变式引导：针对第（2）题，提问学生：“这道题的两个二项式中，相同项和互为相反数的项分别是什么？能不能直接套用平方差公式？” 引导学生发现：两个二项式中，-4是相同项，x与-x是互为相反数的项，可将原式变形为(-4+x)(-4-x)，再套用平方差公式，即(-4)² - x² = 16 - x²。 （4）方法总结：提醒学生：运用平方差公式时，关键是找准相同项和互为相反数的项，无论项的位置如何，只要符合“两个二项式，一项相同、一项相反”的结构，就可以套用公式；若位置不符合，可通过变形调整，再运用公式。 例题2：运用完全平方公式计算：（1）(2a+3b)²；（2）(4x-5y)²；（3）(-m+2n)²。 （1）学生尝试：让学生独立完成前两道题，第三道题可分组讨论，教师巡视，重点关注学生是否能正确处理中间项的符号和系数，以及(-m+2n)²的变形方法。 （2）点评讲解：教师板书解题过程，讲解时强调：① 第（1）题中，a=2a，b=3b，中间项为2×2a×3b=12ab，结果为(2a)² + 2×2a×3b + (3b)²=4a² + 12ab + 9b²；② 第（2）题中，中间项符号为负，即2×4x×5y=40xy，结果为16x² - 40xy + 25y²；③ 第（3）题可变形为(2n - m)²，再套用完全平方公式，也可直接将(-m)看作a，2n看作b，即(-m)² + 2×(-m)×2n + (2n)²=m² - 4mn + 4n²，两种方法均可，引导学生选择简便的方法。 （3）易错提醒：强调完全平方公式的中间项是“2ab”，不能漏乘2，也不能混淆符号；同时注意，当公式中的a或b是负数时，平方后结果为正数，不影响平方项的符号。 2. 变式题型：公式的灵活运用（含混合运算） 例题3：计算：（1）(x+2y)(x-2y) - (x-2y)²；（2）(a+b+c)²。 （1）分析思路：引导学生观察第（1）题，该题是平方差公式与完全平方公式的混合运算，应先分别运用公式展开，再去括号、合并同类项；第（2）题可将(a+b)看作一个整体，再套用完全平方公式，即把三项式的平方转化为二项式的平方，体现“整体思想”。 （2）学生尝试：学生分组完成两道题，每组推选一名代表上台板书解题过程，教师巡视指导，帮助学生解决解题过程中遇到的困难。 （3）点评讲解：① 第（1）题讲解：先运用平方差公式展开(x+2y)(x-2y)=x² - 4y²，再运用完全平方公式展开(x-2y)²=x² - 4xy + 4y²，然后去括号得x² - 4y² - x² + 4xy - 4y²，合并同类项后结果为4xy - 8y²，强调去括号时要注意符号变化，合并同类项时不要漏项。② 第（2）题讲解：将(a+b)看作一个整体，即(a+b+c)²=[(a+b)+c]²，套用完全平方公式得(a+b)² + 2(a+b)c + c²，再展开(a+b)²得a² + 2ab + b²，最终结果为a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc，强调整体思想的运用，帮助学生拓展公式的适用范围，学会灵活变形。 3. 拓展题型：公式在实际问题中的应用 例题4：一个长方形的长为(3x + 4y)，宽为(3x - 4y)，求这个长方形的面积。若x=2，y=1，求长方形的实际面积。 （1）分析引导：提问学生：“长方形的面积公式是什么？”（长×宽），引导学生发现，长方形的长和宽分别是(3x+4y)和(3x-4y)，符合平方差公式的结构，可运用公式快速计算面积，再代入数值计算实际面积。 （2）学生解答：学生独立完成解题过程，教师巡视，观察学生是否能正确运用公式计算面积，以及代入数值时的计算准确性。 （3）点评讲解：教师板书解题过程，讲解时强调：先运用平方差公式计算面积S=(3x+4y)(3x-4y)=9x² - 16y²，再将x=2，y=1代入，得S=9×4 - 16×1=36 - 16=20，引导学生对比“直接代入长和宽计算”与“运用公式计算”的差异，感受公式简化运算的价值。 设计意图：例题讲解层层递进，兼顾基础与拓展，符合七年级学生的认知水平。让学生尝试解答，能培养学生的自主解题能力；教师的点评讲解，重点突出解题思路、方法和易错点，帮助学生规范解题步骤，掌握公式的灵活运用方法。拓展题型结合实际问题，让学生感受到数学与生活的联系，落实数学建模核心素养，同时体会公式的实用价值，提升学生的数学应用意识。 （四）课堂练习，强化巩固 课堂练习分为基础题、提高题和拓展题三个层次，让不同层次的学生都能得到锻炼，教师巡视指导，及时发现学生的问题并进行针对性讲解，同时收集学生的易错点，为后续总结做好准备。 1. 基础题（全员必做）：主要考查学生对公式的直接运用，巩固公式的结构特征，避免基础错误。 （1）运用平方差公式计算：① (5a + 3b)(5a - 3b)；② (2x - 1)(2x + 1)；③ (7 - 2m)(-7 - 2m)。 （2）运用完全平方公式计算：① (3m + 4n)²；② (6x - 7y)²；③ (-2a - 3b)²。 2. 提高题（选做，基础较好的学生完成）：主要考查学生对公式的灵活运用，包括公式与多项式乘法的混合运算、公式的变形运用。 （1）计算：① (x + 3)(x - 3) - (x - 2)²；② (2a + b)(2a - b) + (a + b)²；③ (x - y)(x + y)(x² + y²)。 （2）已知a + b = 5，ab = 3，求a² + b²的值（提示：运用完全平方公式变形，a² + b²=(a + b)² - 2ab）。 3. 拓展题（选做，学有余力的学生完成）：主要考查学生的综合运用能力和创新思维，结合实际情境和公式变形，提升学生的数学素养。 （1）计算：(a - b + c)(a + b - c)；（2）一个正方形的边长为(x + 5)，若边长增加2，求增加后的正方形面积比原来增加了多少（用公式计算）。 练习反馈：练习结束后，教师抽取部分学生的练习本进行批改，针对共性错误（如漏乘完全平方公式的中间项、平方差公式中找错相同项和相反项、混合运算中去括号错误等）进行集中讲解，个性错误进行个别辅导，确保学生掌握公式的运用方法，及时纠正错误。 设计意图：分层练习体现了“因材施教”的教学原则，能满足不同层次学生的学习需求，让基础薄弱的学生巩固基础，基础较好的学生得到提升，学有余力的学生拓展思维。教师巡视指导和练习反馈，能及时掌握学生的学习情况，针对性地解决学生的问题，强化学生对公式的运用，落实数学运算核心素养，提升学生的运算能力和灵活解题能力。 （五）课堂小结，梳理知识 1. 学生自主小结：提问学生：“本节课我们学习了哪些知识？你掌握了哪些乘法公式？运用公式时需要注意什么？” 让学生独立思考后，主动发言，梳理本节课的核心知识，分享自己的收获和困惑。 2. 教师补充总结：结合学生的发言，教师进行系统总结，梳理本节课的核心内容：① 两个乘法公式：平方差公式(a+b)(a-b)=a² - b²，完全平方公式(a+b)²=a² + 2ab + b²、(a-b)²=a² - 2ab + b²；② 公式的结构特征：平方差公式左边“一项相同、一项相反”，右边“相同项平方减相反项平方”；完全平方公式左边“两数和（或差）的平方”，右边“两数平方和加（或减）两数积的2倍”；③ 易错点：完全平方公式漏乘中间项、混淆中间项符号；平方差公式找错相同项和相反项；混合运算中去括号、合并同类项错误；④ 思想方法：类比思想、整体思想、转化思想。 设计意图：让学生自主小结，能培养学生的归纳总结能力，梳理自己的学习思路，强化对知识的记忆；教师补充总结，能帮助学生形成系统的知识体系，明确本节课的重点和易错点，加深对知识的理解和掌握，同时回顾本节课运用的数学思想方法，提升学生的数学素养。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 《8.2 单项式乘多项式》教学设计 姓名： 学科：数学 年级：七年级下册 课时： 1课时 授课教师： 一、四维核心素养 本节课紧扣数学四维核心素养，引导学生通过类比迁移掌握单项式乘多项式法则，培养数学运算素养；借助几何图形推导法则，建立数与形的联系，发展直观想象素养；在探究法则、解决问题中，提升逻辑推理与抽象概括能力；通过应用法则解决实际问题，让学生感受数学与生活的关联，增强数学应用意识，体会转化思想的价值，逐步形成严谨的数学思维习惯。 二、重难点 重点：单项式乘多项式的法则推导及其正确应用，掌握“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的运算步骤，能准确进行整式乘法运算。难点：理解单项式乘多项式法则的几何意义和代数本质，突破“漏乘多项式的某一项”“符号出错”“同类项未合并”等易错点，能灵活运用法则解决与实际相关的整式乘法问题，体会转化思想（将多项式乘法转化为单项式乘单项式）的应用。 三、教学过程 （一）情境导入，激发兴趣 展示实际问题：校园要铺设一块长方形草坪，草坪由三个小长方形组成，第一个小长方形的长为a，宽为m；第二个小长方形的长为b，宽为m；第三个小长方形的长为c，宽为m。请同学们用两种不同的方法表示这块草坪的总面积，并尝试化简所得的表达式。 引导学生思考：方法一，分别计算三个小长方形的面积，再求和，可得总面积为am + bm + cm；方法二，将三个小长方形拼成一个大长方形，大长方形的长为(a + b + c)，宽为m，总面积为m(a + b + c)。由此提出问题：这两个表达式表示的是同一个图形的面积，它们之间有什么关系？即m(a + b + c)与am + bm + cm有什么联系？ 设计意图：结合学生熟悉的校园场景，创设生活化情境，让学生感受到数学源于生活、用于生活，激发学生的学习兴趣和探究欲望。通过两种方法表示草坪总面积，自然引出单项式乘多项式的雏形，为法则推导奠定基础，同时培养学生的几何直观能力，渗透数形结合思想，让学生初步感知“整体与部分”的关系。 （二）探究新知，推导法则 1. 类比迁移，初步感知 回顾旧知：提问学生“单项式乘单项式的法则是什么？”，引导学生回忆“单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”。随后追问：“我们已经掌握了单项式乘单项式，那如何计算m(a + b + c)呢？” 引导学生类比乘法分配律：我们知道有理数的乘法分配律是a(b + c) = ab + ac，这里的a、b、c是有理数，那如果将a换成单项式m，b、c换成单项式a、b、c，这个分配律是否仍然成立？学生分组讨论后，得出结论：m(a + b + c) = ma + mb + mc，因为这里的m、a、b、c都是整式，乘法分配律同样适用。 设计意图：通过回顾旧知，为新知探究做好铺垫，体现“温故而知新”的教学理念。类比有理数乘法分配律，引导学生迁移到整式乘法中，培养学生的类比推理能力，让学生初步理解单项式乘多项式的运算本质，渗透转化思想——将单项式乘多项式转化为已学的单项式乘单项式。 2. 几何验证，深化理解 结合导入环节的长方形草坪图形，进一步验证法则：大长方形的面积m(a + b + c)，等于三个小长方形面积am、bm、cm之和，即m(a + b + c) = am + bm + mc。随后展示另一个几何图形：一个长为(x + 2y)，宽为3x的长方形，让学生用两种方法表示面积，再次验证法则的正确性，即3x(x + 2y) = 3x·x + 3x·2y = 3x² + 6xy。 提问学生：“通过几何图形和乘法分配律，我们得出了单项式乘多项式的运算方法，谁能尝试总结一下单项式乘多项式的法则？” 引导学生自主总结，教师补充完善，最终得出：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 设计意图：通过几何图形验证法则，让学生从“数”和“形”两个角度理解法则的本质，避免学生机械记忆法则，培养学生的直观想象素养。让学生自主总结法则，既能提升学生的抽象概括能力，又能让学生加深对法则的理解和记忆，体现学生的主体地位。 3. 符号强调，突破易错 出示易错示例：计算(-2x)(3x² - 2x + 1)，提问学生：“这个算式中，单项式是负数，计算时需要注意什么？” 引导学生发现：用负数去乘多项式的每一项时，要注意符号的变化，正数乘负数得负数，负数乘负数得正数。随后带领学生分步计算：(-2x)·3x² + (-2x)·(-2x) + (-2x)·1 = -6x³ + 4x² - 2x，强调不能漏乘多项式的任何一项，尤其是常数项1。 补充说明：单项式乘多项式的结果仍是一个多项式，且项数与原多项式的项数相同，若有同类项，需要合并同类项，使结果最简。 设计意图：针对本节课的难点——符号问题和漏乘问题，提前预设易错点，通过具体示例引导学生关注符号变化和不漏乘项，帮助学生突破难点，培养学生严谨的运算习惯，提升数学运算素养。 （三）例题讲解，巩固应用 1. 基础例题，规范步骤 出示例1：计算（1）2a(3a - 2)；（2）-3x²(2x - 4y + 1)。 讲解例1（1）时，教师板书规范步骤：解：2a(3a - 2) = 2a·3a + 2a·(-2) = 6a² - 4a，每一步都标注依据（单项式乘多项式法则、单项式乘单项式法则），引导学生明确运算步骤，强调符号的处理和系数、同底数幂的运算规则。 讲解例1（2）时，让学生先尝试独立计算，教师巡视指导，重点关注学困生的易错点（漏乘常数项1、符号出错），随后请学生上台展示解题过程，师生共同点评，纠正错误，完善步骤，强调“-3x²乘1”的结果是“-3x²”，不能遗漏。 设计意图：基础例题的设计旨在让学生初步应用法则，规范运算步骤，掌握基本的运算方法。教师板书规范步骤，为学生提供示范，同时标注运算依据，培养学生的逻辑推理素养；让学生尝试独立计算，体现学生的主体地位，教师巡视指导，关注分层教学，及时发现并纠正学生的错误。 2. 变式例题，灵活应用 出示变式题：（1）3x²(2x³ - 4x² + x - 1)；（2）-2ab(ab² - 3a²b + 2a)；（3）已知单项式-2x与多项式(3x² - mx + 4)的积中不含x²项，求m的值。 对于变式题（1）（2），让学生分组计算，每组推选一名代表展示解题过程，师生共同点评，重点强调同类项的合并和符号的准确性，引导学生对比基础例题，发现变式题的特点（多项式项数增多、字母次数升高），提升学生灵活运用法则的能力。 对于变式题（3），教师引导学生分析题意：“不含x²项”意味着什么？学生思考后得出：积中x²项的系数为0。随后带领学生分步计算：-2x(3x² - mx + 4) = -6x³ + 2mx² - 8x，找到x²项的系数为2m，令2m = 0，解得m = 0。讲解过程中，重点引导学生理解“不含某一项”的含义，培养学生的逆向思维能力和代数推理能力。 设计意图：变式例题的设计旨在拓展学生的思维，让学生在不同的情境中灵活应用法则，突破本节课的难点。变式题（3）结合了“不含某一项”的常见题型，既考查学生的运算能力，又考查学生的推理能力，让学生感受到数学知识的综合性，为后续学习奠定基础。 （四）课堂练习，分层落实 根据学生的认知水平，设计分层练习，分为基础题、提高题和拓展题，让不同层次的学生都能得到锻炼和提升。 1. 基础题（全员必做）：计算下列各式（1）5x(2x - 3)；（2）-4a²(3a - 1)；（3）2m(3m² + 4m - 2)。目的：巩固单项式乘多项式的基本法则，规范运算步骤，纠正易错点，确保全员掌握基础运算。 2. 提高题（选做）：计算（1）-3xy(2x²y - 4xy² + xy)；（2）(2a² - 3a + 1)·(-2a)。目的：提升学生的运算难度，培养学生灵活处理符号和合并同类项的能力，满足中等层次学生的学习需求。 3. 拓展题（选做）：已知多项式x² + ax - 1与单项式2x的积是一个三次二项式，求a的值。目的：拓展学生的思维，考查学生对多项式次数、项数的理解和单项式乘多项式法则的综合应用，满足优等生的学习需求。 学生做题过程中，教师巡视指导，对学困生进行个别辅导，帮助他们解决运算中的困难；对优等生进行点拨，引导他们思考拓展题的解题思路。练习结束后，抽取部分学生的解题过程进行展示点评，重点点评易错点和解题技巧，同时表扬表现优秀的学生和小组，激发学生的学习积极性。 设计意图：分层练习的设计体现了“因材施教”的教学理念，兼顾不同层次学生的学习需求，让学困生巩固基础，中等生提升能力，优等生拓展思维。教师巡视指导和点评，能及时发现学生的问题，帮助学生纠正错误，同时增强学生的学习自信心和成就感。 （五）课堂小结，梳理知识 提问学生：“本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获？” 引导学生从以下几个方面进行小结：1. 单项式乘多项式的法则是什么？2. 法则的推导依据是什么（乘法分配律、几何图形）？3. 计算时需要注意什么（符号、不漏乘项、合并同类项）？4. 我们运用了什么数学思想（转化思想、数形结合思想）？ 学生自主发言后，教师进行补充完善，梳理本节课的知识脉络：本节课通过情境导入，类比乘法分配律和几何图形推导，得出单项式乘多项式的法则，重点掌握法则的应用，突破符号和漏乘的易错点，体会转化思想和数形结合思想的价值。 设计意图：课堂小结让学生自主梳理本节课的知识，既能帮助学生巩固所学知识，形成完整的知识体系，又能提升学生的归纳总结能力。引导学生关注数学思想的应用，培养学生的数学思维品质，让学生学会反思和总结，养成良好的学习习惯。 （六）布置作业，延伸巩固 布置分层作业，与课堂练习相呼应，确保学生课后能进一步巩固所学知识，同时兼顾不同层次学生的学习需求。 1. 基础作业：教材对应习题，计算单项式乘多项式的基础题型，确保学生掌握法则的基本应用，规范运算步骤。 2. 提高作业：补充2-3道变式题，包括符号复杂、项数较多的单项式乘多项式运算，以及“不含某一项”的基础题型，提升学生的运算能力和推理能力。 3. 拓展作业：让学生结合本节课的知识，尝试编写一道单项式乘多项式的应用题，并写出解题过程，培养学生的应用意识和创新能力。 同时要求学生课后整理本节课的易错点，记录在错题本上，定期回顾，避免重复犯错。 设计意图：分层作业的设计，让不同层次的学生都能得到针对性的练习，延伸课堂学习效果。基础作业巩固基础，提高作业提升能力，拓展作业培养创新意识，同时让学生整理易错点，帮助学生查漏补缺，养成良好的学习习惯，为后续学习整式的混合运算奠定基础。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 《8.3 多项式乘多项式》教学设计 姓名： 学科：数学 年级：七年级下册 课时： 1课时 授课教师： 一、四维核心素养 本节课紧扣数学四维核心素养，落实立德树人根本任务。数学抽象上，引导学生从实际情境和单项式乘多项式法则中，抽象出多项式乘多项式的运算规律；逻辑推理上，通过类比迁移、动手推导，培养学生观察、猜想、验证的推理能力；数学运算上，规范运算步骤，提升学生准确进行多项式乘多项式运算及化简的能力；数学建模上，结合实际问题，让学生体会多项式乘法在解决实际问题中的应用，建立运算与实际应用的联系，培养应用意识。 二、重难点 重点：多项式乘多项式的法则推导及其正确应用，掌握“先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”的核心法则，能规范、准确地进行简单的多项式乘多项式运算，并能结合单项式乘多项式知识进行混合运算。难点：理解多项式乘多项式法则的推导过程，突破“漏乘”“符号错误”“同类项未合并”等易错点，灵活运用法则解决含字母参数、化简求值及实际应用类问题，建立与前后知识的关联。 三、教学过程 （一）情境导入，激发兴趣 展示问题情境：学校要规划一块长方形的校园宣传栏，宣传栏的长为（a+b）米，宽为（m+n）米，请问这块宣传栏的面积是多少平方米？引导学生思考：长方形的面积公式是什么？如何用代数式表示这块宣传栏的面积？学生结合已学知识，不难得出两种表示方法：一是直接用长乘宽，面积为（a+b）（m+n）；二是将长方形分割成四个小长方形，分别计算面积再相加，即am+an+bm+bn。 设计意图：以校园宣传栏这一贴近学生生活的情境为切入点，既复习了长方形面积公式，又自然引出多项式乘多项式的数学问题，让学生感受到数学源于生活、用于生活，激发学生的学习兴趣和探究欲望。同时，通过两种面积表示方法的对比，为后续法则推导埋下伏笔，引导学生初步感知多项式乘多项式与单项式乘多项式、单项式乘单项式的关联。 （二）探究新知，推导法则 1. 类比迁移，初步尝试：提问学生：我们已经学过单项式乘多项式的法则，还记得“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”吗？结合刚才的情境，（a+b）是一个多项式，（m+n）也是一个多项式，我们能否将其中一个多项式看成一个整体，转化为单项式乘多项式的形式？ 引导学生分组讨论，得出两种转化思路：思路一，将（a+b）看成一个整体，那么（a+b）（m+n）=（a+b）·m +（a+b）·n，再根据单项式乘多项式法则，展开得到am+bm+an+bn；思路二，将（m+n）看成一个整体，那么（a+b）（m+n）=a·（m+n） + b·（m+n），展开后同样得到am+an+bm+bn。 2. 验证猜想，深化理解：提问学生：这两种思路得到的结果一致，说明我们的转化是合理的。那我们再尝试用具体的数值验证一下，比如令a=1，b=2，m=3，n=4，分别计算（a+b）（m+n）和am+an+bm+bn的值，看看是否相等。学生独立计算后，汇报结果：（1+2）（3+4）=3×7=21，1×3+1×4+2×3+2×4=3+4+6+8=21，两者相等，进一步验证了猜想的正确性。 3. 归纳法则，提炼核心：结合上述推导和验证过程，引导学生自主归纳多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。同时，强调法则的关键词：“每一项”“相乘”“相加”，提醒学生注意，相乘时要遵循单项式乘单项式的法则，包括符号的判断和系数、同底数幂的运算。 设计意图：本环节遵循“情境感知—类比迁移—验证猜想—归纳法则”的探究路径，充分体现学生的主体地位。通过将多项式乘多项式转化为已学的单项式乘多项式，渗透“转化”的数学思想，培养学生的逻辑推理能力；通过数值验证，让学生体会数学结论的严谨性；通过自主归纳法则，提升学生的抽象概括能力，同时让学生明确法则的由来，避免机械记忆。 （三）例题讲解，规范运算 例1：计算（1）（x+2）（x-3）；（2）（2a+b）（a-2b）。 讲解例1（1）时，分步演示运算过程：第一步，明确两个多项式的每一项，即x和2，x和-3；第二步，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，x·x + x·（-3） + 2·x + 2·（-3）；第三步，计算每一项的积，x² - 3x + 2x - 6；第四步，合并同类项，x² - x - 6。同时，强调符号注意事项：负数相乘时要注意符号变化，避免出现“x·（-3）=3x”“2·（-3）=6”这样的错误。 讲解例1（2）时，让学生先尝试独立计算，教师巡视指导，重点关注学困生的运算步骤和符号问题。之后，邀请一名学生上台板演，教师针对板演过程中的问题进行点评，比如“2a·（-2b）=-4ab”的符号判断、“b·a=ab”与“2a·a=2a²”的系数和同底数幂运算，再次强调法则的应用要点，规范运算步骤：先展开，再合并同类项，做到不重乘、不漏乘。 例2：计算（1）（x-1）²；（2）（m+n）（m-n）。 讲解例2（1）时，引导学生明确（x-1）² =（x-1）（x-1），再按照多项式乘多项式法则展开，得到x·x + x·（-1） + （-1）·x + （-1）·（-1）=x² - x - x + 1=x² - 2x + 1，同时引导学生观察结果的特点，为后续学习完全平方公式做铺垫。 讲解例2（2）时，同样让学生独立尝试，展开后得到m·m + m·（-n） + n·m + n·（-n）=m² - mn + mn - n²，引导学生发现“-mn”和“+mn”是同类项，合并后结果为m² - n²，初步感知平方差公式的雏形，培养学生的观察和归纳能力。 设计意图：例题的选取遵循“由浅入深、循序渐进”的原则，例1侧重法则的基础应用，规范运算步骤，突破“符号错误”“漏乘”等易错点；例2在巩固法则的同时，渗透完全平方公式和平方差公式的铺垫，实现知识的衔接。通过“教师讲解—学生尝试—板演点评”的方式，既落实了数学运算素养，又培养了学生的自主学习能力和合作交流能力，同时规范学生的解题格式，养成良好的解题习惯。 （四）巩固练习，深化应用 1. 基础题（全员必做）：计算下列各题：（1）（x+3）（x+4）；（2）（y-2）（y+5）；（3）（2x+1）（x-3）；（4）（3a-2b）（a+b）。 学生独立完成，教师巡视，收集学生的易错点，比如漏乘常数项、符号判断错误、同类项合并不彻底等，之后进行集中讲解和订正，确保每位学生都能掌握法则的基础应用，夯实基础。 2. 提高题（小组合作）：（1）化简求值：（x+2）（x-3） - x（x-1），其中x=5；（2）已知（x+a）（x+b）=x² + 5x + 6，求a+b和ab的值。 引导学生分组合作完成，第一题侧重多项式乘多项式与单项式乘多项式的混合运算，培养学生的综合运算能力；第二题侧重法则的逆向应用，让学生体会多项式乘多项式与整式加法的关联，培养学生的逆向思维能力。小组讨论后，每组派代表汇报解题思路和结果，教师进行点评和补充，鼓励学生多角度思考问题。 3. 拓展题（自主探究）：结合本节课导入的校园宣传栏问题，若宣传栏的长为（x+2y）米，宽为（2x-y）米，求宣传栏的面积（用代数式表示），并当x=3，y=1时，计算出具体的面积。 设计意图：练习设计体现“分层教学”理念，基础题面向全体学生，巩固法则的基础应用；提高题面向中等水平学生，培养综合运算和逆向思维能力；拓展题面向学有余力的学生，衔接导入情境，让学生体会数学的应用价值，培养应用意识。通过分层练习，满足不同层次学生的学习需求，让每位学生都能在练习中获得提升，同时培养学生的合作探究能力和自主学习能力。 （五）易错辨析，突破难点 展示学生在练习中出现的典型易错例题，引导学生分组辨析，找出错误原因并改正： 1. 错误例题1：（x+2）（x-3）=x² - 3x + 2（漏乘2·（-3），且同类项合并错误）； 2. 错误例题2：（2a+b）（a-2b）=2a² - 4ab + ab + 2b²（符号错误，b·（-2b）应为-2b²）； 3. 错误例题3：（x-1）（x-1）=x² - x - 1（漏乘（-1）·（-1），且同类项合并错误）。 每组负责辨析一道错题，汇报错误原因和改正方法，教师进行总结，强调三个易错点：一是漏乘，确保一个多项式的每一项都要乘另一个多项式的每一项；二是符号错误，遵循“同号得正，异号得负”的原则，注意负数乘正数的符号；三是同类项合并错误，展开后要认真识别同类项，准确合并。 设计意图：通过易错辨析环节，直面学生的易错点，让学生在辨析错误、改正错误的过程中，深化对法则的理解，突破本节课的难点。同时，培养学生的批判性思维能力，让学生养成认真审题、细心运算的良好习惯，进一步落实数学运算素养。 （六）课堂小结，梳理知识 引导学生自主梳理本节课的知识要点，分组讨论后，派代表汇报，教师进行补充和完善，形成完整的知识体系： 1. 法则：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； 2. 思想：转化思想（将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式）； 3. 易错点：漏乘、符号错误、同类项未合并； 4. 应用：能进行多项式乘多项式的运算、混合运算、化简求值，解决简单的实际问题。 同时，引导学生回顾本节课的探究过程，体会从情境到问题、从猜想至验证、从归纳到应用的学习路径，总结学习方法，培养学生的归纳梳理能力。 设计意图：课堂小结环节，让学生自主梳理知识，既能帮助学生巩固本节课的重点知识，形成完整的知识体系，又能培养学生的归纳总结能力。同时，回顾探究过程，让学生体会数学思想和学习方法，提升自主学习能力，实现“授人以鱼不如授人以渔”的教学目标。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $