精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

高二数学期末 命题人：余希 审题人：吴海波 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算法则，可得，根据复数的几何意义，即可得答案. 【详解】由题意得，，所以， 在复平面内对应的点为，故该点在第三象限． 故选：C 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可写出切线的点斜式方程. 【详解】由题意，，所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A 4. 如图，在平行六面体中，，则线段的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可得，结合空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度. 【详解】由题意，， 所以 ， 所以线段的长度为. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或. 故选：D. 6. 哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5名教师志愿者分为4组，再将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案. 故选：C 7. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得，，解得，因为，所以， 解得，所以，，所以，所以. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定函数的定义域，当时根据的单调性及零点知其不满足条件，当时，根据的单调性及函数值的正负即可求出零点从而求得a. 【详解】令，的定义域为. ①若，在定义域内，不等式恒成立等价于恒成立， 又因为为单调递减函数，，所以当时，，不满足条件； ②若时，时，， 又因为连续且单调递减，所以，所以. 故选：C 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A. B. C. 事件与相互独立 D. 事件与互斥 【答案】BC 【解析】 【分析】利用容斥原理，结合古典概率公式求解判断ABD；利用相互独立事件的定义判断C. 【详解】由韦恩图可知，所以，故A，D不正确； 因为，所以，故B正确； 又，所以，故事件与相互独立，C正确. 故选：BC. 10. 已知公差为等差数列的前项和为，则（　　） A. B. C. 中最小 D. 使成立的最小正整数的值为4050 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据已知条件判断的符号，进而可判断公差的符号，然后根据等差数列的通项公式和前项和公式逐项判断即可. 【详解】因为，所以，即，故A正确；，故B正确； 由，得当时，，当，， 所以当时，最小，故C错误； 结合C选项中数列各项的符号可知： ， , 所以使成立的最小正整数的值为4050，故D正确． 故选：ABD． 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两定点，动点满足，动点的轨迹为曲线E.下列说法正确的是（ ） A. 曲线E的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两点间距离公式结合已知条件得出曲线方程，判断选项A；将代入方程后方程形式不变，说明曲线关于轴对称，判断选项B；采用换元法，利用判别式约束求出的取值范围，判断选项C；对曲线方程进行变形，求出的取值范围，进而求出的取值范围． 【详解】，即， 化简得，故A正确； 把换为，则， 曲线关于轴对称，故B正确； ，化简整理得， 设，方程化为， 整理得， 二次方程若有非负实根，则， 解得，则，即，故C错误； ， ，解得， ，化简可得， ，故D正确. 故选：ABD． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由题意得， 又，所以. 故答案为： 13. 的展开式中常数项为__________.（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项，令的次数为零即可得答案. 【详解】的展开式的通项为， 令，则常数项为. 故答案为： 14. 一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得掷3次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程，其中的正整数解的总数，根据对立事件的概率公式计算即可. 【详解】由题意得掷3次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程，其中的正整数解（）的总数， 则共有 种， 所以不能过关的概率为， 所以通关的概率为. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 16. 作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化.为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.李夏与一、三、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2、0.4和0.5. （1）从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率； （2）如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率. 【答案】（1）0.35 （2）. 【解析】 【分析】（1）由全概率公式即可求解， （2）由贝叶斯公式即可求解. 【小问1详解】 设“李夏与第类棋手相遇”，根据题意，，， 记“李夏获胜”，则有，，. 由全概率公式， 李夏在比赛中获胜的概率为， 所以李夏获胜的概率为0.35. 【小问2详解】 李夏获胜时，则与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率为 . 即李夏获胜，对手为一类棋手的概率为. 17. 如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角，且 （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线与抛物线交于（异于点M）两点，，求证：直线l过定点. 【答案】（1） （2） 根据直线斜率不为0，设出方程与、两点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理与，求出参数，得到直线方程，从而得到直线恒过定点，注意直线不经过，需要取舍 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，再将其代入抛物线方程即可求解，注意，结果需要取舍； （2）将转化为，得到与的关系，通过直线与抛物线交点异于，对结果进行取舍. 【小问1详解】 因为，所以. 将点代入抛物线方程得，化简得，解得或（舍）， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由题可知直线的斜率不为， 则可设直线的方程为，，， 联立化简得， 则即，，， 所以，. 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以或， 所以或， 所以直线的方程为，过定点， 或直线的方程为，过定点（舍去）， 综上，直线过定点. 18. 如图1，在中，已知的平分线交的外接圆于点D. （1）证明：为等边三角形； （2）证明：； （3）如图2，将沿BC折叠，当时，求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依据角平分线的性质和同弧所对圆周角相等可推出三角形的三个内角均为，即可证明等边三角形；（2）方法一：在线段上取点构造新的等边三角形，利用角平分线和等边三角形的性质证明两三角形全等即可得出结论；方法二：先用余弦定理求出，再利用正弦定理及角的等量关系推出线段之间的相等关系；（3）建立空间直角坐标系并求出相应点的坐标，然后利用线面角的正弦值公式进行计算. 【小问1详解】 因为平分，且， 所以， 所以为等边三角形. 【小问2详解】 方法一：如图，在线段上取点，使得，连接， 因为平分，且， 所以，所以为等边三角形，所以，① 所以，② 又因为，③ 由①②③可知（AAS）， 所以， 所以. 方法二：在中，由余弦定理得： ，解得. 在中，由正弦定理得，即， 解得，则. . 在中，由正弦定理得，又， 所以. 【小问3详解】 以中点为原点，为轴正方向，为轴正方向，过且与 轴垂直向上方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设，因为， 所以解得 即. 取平面的一个法向量，则点到平面的距离， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 19 已知函数 （1）当时，求f（x）的单调区间； （2）当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 【答案】（1）的单调递增区间为；的单调递减区间为. （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，根据正弦函数的图像与性质确定导数的正负从而确定函数的单调性； （2）（i）求出并利用辅助角公式化简，根据正弦函数的图像求出的零点从而求得的表达式，由的值为定值可确定为等差数列. （ii）通过化简将证明不等式转化为证明不等式，构造函数，利用导数判断的单调性求出最值从而证明，再利用条件所给不等式即可证明. 【小问1详解】 时，， ， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为， 的单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）因为 ； 其中， 令，则， 所以，则当时，， 所以数列为等差数列. （ii）要证：，即证：， 即证：， 即证：，即证：， 因为，所以，则， 令， 所以，令，解得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 所以，不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末 命题人：余希 审题人：吴海波 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，，则线段的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A. B. C. 或 D. 6. 哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 7. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. 21 D. 22 8. 若关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A. B. C. 事件与相互独立 D. 事件与互斥 10. 已知公差为的等差数列的前项和为，则（　　） A. B. C. 中最小 D. 使成立最小正整数的值为4050 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两定点，动点满足，动点的轨迹为曲线E.下列说法正确的是（ ） A. 曲线E的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，则__________. 13. 的展开式中常数项为__________.（用数字作答）. 14. 一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为___________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 16. 作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化.为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.李夏与一、三、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2、0.4和0.5. （1）从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜概率； （2）如果李夏获胜，求与李夏比赛棋手为一类棋手的概率. 17. 如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角，且 （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线与抛物线交于（异于点M）两点，，求证：直线l过定点. 18. 如图1，在中，已知的平分线交的外接圆于点D. （1）证明：为等边三角形； （2）证明：； （3）如图2，将沿BC折叠，当时，求直线与底面所成角的正弦值. 19. 已知函数 （1）当时，求f（x）的单调区间； （2）当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $