精品解析：江西金溪县第一中学2025-2026学年上学期高二数学学科阶段性作业

2025-2026学年上学期高二数学学科阶段性作业 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】由题可知，可将直线方程化为，可得直线斜率为， 设倾斜角为，则， 由得倾斜角为. 故选：D. 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分布列中表示的概率，可求出的概率. 【详解】根据已知的分布列可得：， 故选：D. 3. 设向量，，若，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 4. 某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. 故选：D. 5. 已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆C：， 即，圆心为，半径， 因为圆与：相交于两点，且为正三角形， 所以圆心到直线的距离，， 则，解得. 故选：A 6. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C. 7. 在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与轴交点为，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有且，可求离心率的取值范围. 【详解】设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 在中，， 所以， 所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即， 则， 综上：. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（   ） A. 线性回归方程必过样本中心点 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 C. 若随机变量，且，则 D. 已知随机变量，若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用回归方程的性质判断；B由相关系数的意义判断；C根据正态分布曲线的对称性求出；D根据均值和方差公式求出. 【详解】对于A，根据回归方程的性质可知，线性回归方程必过样本中心点，A正确； 对于B，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强， 则样本相关系数的绝对值越接近于1，所以B错误； 对于C，由题意可得，， 根据对称即可得到，所以C正确； 对于D，由题意可得，，， 解得，，故D正确. 故选：ACD 10. 已知的展开式中，的系数记为，则（ ） A. 该展开式共有15项 B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据多项式乘法的性质和与二项展开式中的项数可判断A选项；根据二项展开式中特定项的系数可判断BCD选项. 【详解】对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项，故展开式共有24项，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 当，或时，的值最大，为，故D正确. 故选：BCD. 11. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动．下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 点到平面距离的最大值为 D. 当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量平行、向量垂直、点到平面的距离、平面的法向量坐标以及三棱锥的体积公式等知识逐项计算判断即可. 【详解】依题意，直线两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，令，， 对于A，， 若，则，必有， 此时与不共线，矛盾，A错误； 对于B，， ， 则不成立，即不垂直，B错误； 对于C，设平面的法向量，而， 则，令，得， 点到平面距离，， 当且仅当，即与重合时取等号，C正确； 对于D，当时，，点到平面与平面的距离都为， 而， 则，D错误. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有______把握认为喜欢某种甜品与性别有关. 【答案】 【解析】 【分析】根据，再利用题设条件，即可求出结果. 【详解】因为，又，， 所以我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关， 故答案为：. 13. 某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有________种． 【答案】10 【解析】 【分析】根据特殊元素/位置优先安排原则，先判断第一关和第四关的种数，再计算其余关卡的种数，相乘即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手，其余两关各有1名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，所以，满足条件的参赛方案有种. 故答案为：10. 14. 已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】切线方程为：,利用点到直线的距离公式可得切线方程为，与抛物线联立方程可得点,从而得到点坐标，求得的面积. 【详解】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：， 过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：, 由于圆的圆心为,半径, 则，解得：, 根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为， 联立，得：, 解得：或, 因为在的上方，所以点, 由于过作的垂线，垂足为，则， 所以,点到直线的距离, 则, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）当弦长最小时，求直线的方程及弦长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定圆心坐标，进而求得圆的标准方程. （2）当直线轴时，弦长最短，然后根据点到直线的距离求出结果. 【小问1详解】 因为圆的半径，且被轴截得的弦长为4，所以圆心在轴上， 又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由直线的方程知，直线恒过定点， 且此定点在圆内，如图所示， 当直线轴时，弦长最短，此时直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为1， 所以最短弦长． 16. 中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是). 泡制时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 74 71 65 （1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画. ①令，求出关于的线性回归方程； ②利用①的结论，求出中的与. （2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，. 【答案】（1）①；②，；（2）. 【解析】 【分析】（1）列出与的数据表，求出平均值，求出回归方程中的系数，得回归方程，根据所求线性回归方程与原方程的关系可求得原方程为参数值； （2）由（1）得，令求得值即可． 【详解】解：（1）①由已知得出与的关系，如下表： 泡制时间 0 1 2 3 4 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8 设线性回归方程， 由题意，得，， ∴， ， 则， ， 则关于的线性回归方程为； ②由，得， 两边取对数得，， 利用①的结论得：，， ∴，； （2）由（1）得，， 令，得. ∴该品种绿茶用的水泡制后饮用，口感最佳. 【点睛】思路点睛：本题考查回归方程的应用，非线性回归方程可以通过变形变成线性回归方程，求得线性回归直线方程后，再转化非线性的方程． 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面． （1）求证：平面； （2）若点在线段上运动（包括端点），求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为是的中点，，所以. 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先求证，，再根据线面垂直的判定定理求证； （2）以为原点建系，设，求出平面与平面的法向量，求出，最后求出函数的值域即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 设，所以， 设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，得， 又平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 因为，所以，则， 故平面与平面的夹角的余弦值取值范围为 18. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程． （2）若直线与椭圆相交于不同的两点、，点是椭圆上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①（定值）. 证明如下：当时，易得、两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在椭圆上，所以， 从而，证毕； ② 【解析】 【分析】（1）根据题干直接列式即可求解； （2）①当，设，则，表示出并利用点都在椭圆上即可证明；②设，的中点为，直线与椭圆联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. 【小问1详解】 由题知， 平方化简得 所以，椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. 19. 为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1）当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，． 【答案】（1）的分布列为： 1 3 5 （2） （3） 若两人共进行了局比赛，甲所赢局数为，则， 甲获胜的概率， 若两人共进行了局比赛， 可以认为在进行了局比赛的基础上再比两局， 则甲获胜的概率， ， 已知，所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前局甲赢局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，再作差比较大小即可. 【小问1详解】 （1）的可能取值为1，3，5， ， ， ， 则的分布列为： 1 3 5 . 【小问2详解】 当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二数学学科阶段性作业 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，若，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（   ） A. 线性回归方程必过样本中心点 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 C. 若随机变量，且，则 D. 已知随机变量，若，，则 10. 已知的展开式中，的系数记为，则（ ） A. 该展开式共有15项 B. C. D. 的最大值为 11. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动．下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 点到平面距离的最大值为 D. 当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有______把握认为喜欢某种甜品与性别有关. 13. 某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有________种． 14. 已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）当弦长最小时，求直线的方程及弦长． 16. 中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是). 泡制时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 74 71 65 （1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画. ①令，求出关于的线性回归方程； ②利用①的结论，求出中的与. （2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，. 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面． （1）求证：平面； （2）若点在线段上运动（包括端点），求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 18. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程． （2）若直线与椭圆相交于不同的两点、，点是椭圆上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 19. 为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1）当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $