第二十一章四边形同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．如图，是的中线，E、F分别是，的中点，连接．若，则的长为（    ）    A．2 B．1 C．4 D．3 3．有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 4．关于矩形的判定，以下说法不正确的是（    ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．一个内角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 5．如图，在中，E是边上一点，，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形 7．如图，分别是正方形的边上的点，且，相交于点，下列结论：①，②，③，④，⑤中，正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．的对角线相交于点O，，，，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．19 D．25 9．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则另一条对角线的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．一个正六边形的内角和的度数为（　　） A．1080° B．720° C．540° D．360° 11．在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 12．如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．如图， ． 14．如图，，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是 ． 15．如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为 ． 16．如图，在四边形中，，，为的中点，将，分别平移到和的位置，若，，则的长为 ． 17．若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 边形． 三、解答题 18．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 　 ； (2)如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点O，已知，，求的中线的长． 19．如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 20．如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点，且．你能说明是直角吗？ 21．如图，在四边形中，，过点D作于点H．求的长． 22．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 23．如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 24．如图，，点在上，且满足． (1)尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若交于点，是的中点，连接，求证：． 《第二十一章四边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B D C D B B B 题号 11 12 答案 A B 1．A 【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断． 【详解】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）； 故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理，难度一般． 2．A 【分析】利用中线得到等边长，再由两个中点得到中位线，采用边长关系计算即可． 【详解】是的中线， ， E、F分别是，的中点， ， 又， ， 故选A． 【点睛】本题考查中点类的边长计算，能够使用2个中点得到中位线是解题的关键． 3．D 【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪虚线的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状． 【详解】由条件可知，减掉的部分位置应在正方形中心位置，所以A、C排除，再根据虚线和正方形边的位置关系是不平行的，所以D项符合；本题也可以通过动手操作的方式进行解答和验证； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养． 4．B 【分析】根据矩形的判定定理逐项分析即可． 【详解】A：四个角相等的四边形是矩形，该选项正确； B：对角线相等的平行四边形是矩形，该选项错误； C：对角线相等的平行四边形是矩形，该选项正确； D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 5．D 【分析】此题重点考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质，熟记平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．由平行四边形的对角相等求出，再求得，最后根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故选：D 6．C 【分析】根据正方形的判定方法即可判断． 【详解】A.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，本选项不符合题意； B.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形；本选项不符合题意； C.四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意； D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7．D 【分析】根据正方形的性质，，可证，可证结论①④；根据，，，可证结论⑤；根据，可证结论③；假设，在中，，在根据正方形的性质可证结论②． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故④正确； ∴，，， ∵，， ∴，故⑤正确； ∵， ∴， ∴一定成立，故③正确； 假设， ∵（已证）， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∵在中，， ∴，这与正方形的边长相矛盾， ∴假设不成立，，故②错误； 故正确的有：①③④⑤． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形，全等三角形的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分且对边相等求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，，，， ∴， ∴的周长， 故选：B． 9．B 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，以及三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形，，，， 则：， ∵， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 10．B 【分析】利用多边形的内角和定理解答即可． 【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键． 11．A 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质，掌握菱形的四条边相等是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质求出长，再根据菱形的性质作答即可． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ． ， ． 四边形是菱形， ． 故选：A． 12．B 【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据，可得，进而得出a与c的距离为． 【详解】解：∵a与b的距离是，b与c的距离是，， ∴， ∴， 即a与c的距离为． 故选：B. 13． 【分析】本题考查求角度，涉及三角形外角性质、四边形内角和为等知识，先由是的一个外角，是的一个外角，得到，在四边形中，由，将代入即可得到答案．熟记三角形外角性质、四边形内角和为等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 在四边形中，， ， 故答案为：． 14．12 【分析】由题意得点B到AD的距离等于点D到BC的距离，即可得，根据的面积为4，即可得． 【详解】解：∵， ∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，解题的关键是掌握平行线间的距离． 15．37 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，平行线的性质，轴对称−最短路线问题等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 由折叠的性质可得，可证四边形是菱形，可得平分，由轴对称的性质可得，则，即当点B，点，点三点共线，且时，的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， 作点P关于对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点B，点，点三点共线，且时，的值最小， 此时，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：37． 16． 【分析】本题主要考查了图形得平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．九 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．据此求解即可； 【详解】解：一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形的边数为， 故答案为：九． 18．(1)菱形和正方形 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形． 故答案为：菱形和正方形． （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造垂美四边形． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据折叠得到是的垂直平分线，进而得到，，根据平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． （2）根据矩形和折叠的性质，利用勾股定理，求出长，进而求出的长，再利用菱形的性质和勾股定理，求出的长，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握矩形和折叠的性质，是解题的关键． 20．能，证明见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设，由已知则，，由勾股定理分别求出，再利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】证明：设， ∵四边形为正方形，且为的中点，， ∴，， 由勾股定理，在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴． 由勾股定理的逆定理，得，即是直角． 21．6 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形30度角的性质． 过点C作于点E，则，证明四边形是矩形，根据角的和差求出，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点C作于点E，则． ， ． ， 四边形是矩形， ． 在中，， ． 又， ， ， ， ． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记判定与性质是解题的关键． （1）根据已知条件推知四边形是平行四边形，则，依据等量代换得到，则平行四边形是矩形； （2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质可证是等边三角形，得出，再利用勾股定理求得的长度，然后用矩形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点在的延长线上， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 又∵， ， 平行四边形是矩形； （2）解：在矩形中，，， 是等边三角形， ， ， ∴， 四边形的面积． 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由可得，证明，则，，进而结论得证； （2）由，可知，，则，证明，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）知，， ∴，AC=DE， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定． 24．(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）过点A作于点G，故，则点G即为所求． （2）由（1）可知，由平行线的性质可得，，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，可得，进而可得，则可得． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求． （2）证明：由（1）可知，． ∵， ∴，， ∴为直角三角形． ∵F是的中点， ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $