锐角三角函数应用专题研究2026年九年级中考数学复习

《锐角三角函数应用》 专题研究 典型例题 1.如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） (1)求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； (2)若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 2．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 总结：一般思路 1.理解问题：仔细阅读题目，明确已知条件和所求问题。确定实际情境中涉及的直角三角形，以及与锐角三角函数相关的角度和边长信息。 2.构建数学模型：将实际问题转化为数学几何图形，通常是直角三角形。如果题目中没有直接给出直角三角形，需要通过作辅助线来构造。 3.运用锐角三角函数：根据已知的角度和边长，选择合适的锐角三角函数（正弦、余弦、正切）来建立等式关系。记住正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。 4.求解方程：通过建立的等式关系，代入已知的数值，求解未知的边长或角度。在计算过程中，要正确使用三角函数值，并注意保留适当的小数位数或根号形式。 5.检验答案：检查计算结果是否符合实际情况，确保答案的合理性。 具体方法 1.确定直角三角形中的元素 明确直角三角形的各个顶点和边，确定已知的角度（如坡角、仰角等）和边长（如垂直高度、水平距离等）。对于复杂的图形，可能需要分解成多个直角三角形来分析。 2.选择合适的三角函数 如果已知一个锐角和它的对边，求斜边或邻边，可使用正弦或余弦函数。 如果已知一个锐角和它的邻边，求斜边或对边，可使用余弦或正切函数。 如果已知一个锐角和它的对边与邻边，可使用正切函数来验证或求解其他未知量。 3.建立等式并求解 根据所选的三角函数，建立关于未知量的等式。 4.处理实际问题中的特殊情况 当涉及到多个直角三角形或多个角度时，需要找到它们之间的关系，可能需要使用相似三角形或其他几何性质。注意题目中的单位和精度要求，确保答案的准确性。 变式1.在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 变式2.如图，在坡顶处的同一水平面上有一座网络信号塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达坡顶，在坡顶处又测得该塔的塔顶的仰角为． 求： (1)坡顶到地面的距离； (2)网络信号塔的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 变式3.端午节期间，小优与小翼相约攀登武当山附近的一座小山．如图，他们先由山脚处步行到达山腰处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由处步行480到达山顶处．已知点，，，在同一平面内，山坡的坡度，山坡与水平线的夹角为，求，两地的垂直高度．（参考数据：，，） 变式4.2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数） 变式5.如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 参考答案 典型例题1．(1)坡底部增加的长度是米 (2)高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌 【分析】（1）根据垂直的定义及等腰三角形的判定可知，再利用锐角三角函数可知即可； （2）利用垂直的定义及矩形的判定可知四边形形是矩形，再根据矩形的性质及直角三角形的性质可知，最后利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， ∴， 答：坡底部增加的长度是米； （2）解：高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌，理由如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴在中，，米 ， ∵米， ∴在中，， ∴， ∵， ∴高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌． 【点睛】本题考查了垂直的定义，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用—坡角问题，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解题的关键． 2． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：过点作于点，根据题意可得米，易得四边形是矩形，即米、，再说明是等腰直角三角形可得，设米，则米，米，然后在中解直角三角形即可． 【详解】解：如图：过点作于点， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， ，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ，解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 3．(1)斜坡的坡比为； (2)的长米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； （2）解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 4．(1)米 (2)约19米 【分析】（1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解； （2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于H， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， 则， ，解得：， ， 坡顶A到地面的距离为米． （2）解：延长交于D，如图所示： ，， ， ∴， 四边形是矩形，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 在中，， 即，解得：， 古塔的高度约19米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 5． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 过点作，过点作，利用含角的直角三角形的性质进行计算得出，然后在中，求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， 则四边形是矩形， 由山底处先步行到达处，山坡的坡度， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 答：，两地的垂直高度为． 6．(1)224米 (2)运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点．在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，在中，利用直角三角形的性质即可得解； （2）在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，米，在中，解直角三角形得米，米，从而即可得解． 【详解】（1）解：过点作于点． 在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ 在中，，， ∴（米） （2）解：在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ ∴（米） 在中 ∵， ∴（米） ∴（米） ∴所需总时间为：（分钟） 答：运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟． 7．(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 8．． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长． 【详解】解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ． 在中，，， ， ∴， ． 答：水平距离的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $