寒假巩固作业14角度中的动态压轴题2025-2026学年人教版数学七年级上册

寒假巩固作业14角度中的动态压轴题 题型一、三角板中的动态问题 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知在同一平面内的一块三角板和一条直线，其中．现把该三角板的顶点放在直线上． (1)如图1，若该三角板位于直线的上方，且，求的度数； (2)已知平分，平分， ①如图2，若三角板位于直线的上方，求的度数； ②如图3，若将三角板绕着点顺时针旋转一周的过程中，当时，求的度数． 2．（19-20七年级上·山西阳泉·期末）【综合与探究】 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“飞跃”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是_______，的度数是_______，的度数是_______． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与有何数量关系？请直接写出你发现的结论，并选择其中一个说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否均成立？请说明理由．图1图2 3．（25-26七年级上·山西·期末）直角三角板的一个顶点O在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方． ①若，则 ； ②若平分，则 ； (2)若三角板在直线下方，．求的度数； (3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数． 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）一副三角板、，如图1放置，（、），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论： ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）【概念认知】 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，当存在其中一个角的度数是另一个角度数的两倍时，称射线是的“叠分线”． （1）任意一个角的角平分线_____这个角的“叠分线”（填“是”或“否”）； 【初步理解】 （2）已知，且射线是的“叠分线”． ①当，求的度数； ②用含的代数式表示：_____； 【深入研究】 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转． （3）设三角板运动时间为秒． ③当秒时，请判断是的“叠分线”吗，并说明理由； ④请直接写出当是的“叠分线”时的值． 6．（25-26七年级上·重庆大足·期末）孔子曰：“工欲善其事，必先利其器”．在我们学习中也是如此的.学习数学，缺不了身边的尺子、圆规、三角板等学习工具．请同学利用身边的学习工具解决下面的问题． 探究一：尺规作图思维显 （1）如下图，连接点、点.尺规作图使．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在你所画图形中，，，三点可能是某条线段中点的点为___________． 探究二：叠放三角眼睛尖 （3）将一副三角板如图所示摆放．请完成下面各题． ①若，则____________°_________________________． ②请根据小慕的思路完成下面的证明过程． 解：因为， 又因为， 所以，____________=____________．理由：（________________________） 综合运用：工具齐备看旋转 （4）如图，将一副直角三角板叠放在量角器上，它们的直角顶点与量角器的圆心重合，、、在同一直线上，、分别平分和．将三角板绕量角器圆心顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请直接写出的值． 7．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）已知点是直线上一点，将一副三角板按图1摆放，点在上，其中，，过点作平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，若，试说明平分； (3)把三角板绕点以每秒沿逆时针方向旋转，当和重合时停止，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 8．（25-26七年级上·河北唐山·期末）综合与实践 [动手操作] （1）如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）； ①；②；③；④；⑤；⑥． [思考表达] 现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为所以我可以画出的角． 小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角． （2）利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请通过列式计算说明理由． [类比延伸] （3）现有两把长度分别为和的无刻度的直尺，你能用这两把直尺可以画出下列哪几条长度的线段，直接写出结果________． A．    B．    C．    D． 9．（25-26七年级上·山西运城·期末）综合与探究 已知点A在直线上，将一块直角三角尺的直角顶点放在点A处． (1)如图①，作射线，已知，，求的度数； (2)如图②，作射线，若，AE平分，试说明； (3)如图③，在的内部作射线，使，试探究与有怎样的数量关系，并说明理由． 10．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，_____； (2)若将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)若将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则_____； (4)若将图1中的三角板绕点O按每秒钟的速度旋转一周，当恰好为的角平分线时，此时，三角板绕点O运动的时间可以为_____秒． 11．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)如图3，当时，三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 题型二、射线中的动态问题 12．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知点在直线上，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论． 13．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）已知在的内部，， (1)如图1，求的大小； (2)如图2，平分，平分，求的大小； (3)如图3，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合后停止运动，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设，运动的时间是t秒，当时，求t的值． 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点在直线上，点，与点，分别在直线两侧，且，． (1)如图，若平分，，求的度数； (2)如图，若，，试判断与的数量关系，并说明理由． 15．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图1，，，平分，平分． (1)如图2，当与重合时，其他条件不变，求的度数； (2)将图2中的绕点O顺时针旋转x度，其他条件不变． ①当时，试判断的大小是否发生改变，若不改变，请求出的度数；若改变，请说明理由； ②当时，直接写出的度数（用含x的式子表示）． 16．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知与共顶点，，且满足，平分．      (1)如图1，，射线在内．若，求和的度数； (2)如图2，在内（不与重合，不与重合）．请用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 17．（25-26七年级上·河北保定·月考）如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 18．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图1，点O在直线上，作射线，，射线在内． (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)若射线在内，平分，， ①当时，求的度数； ②当时，试探究与的数量关系． 19．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，，是内的两条射线，平分，平分，若，，则 ．（用含m，n的代数式表示） 20．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知点是直线上一点，，平分． (1)如图， 若 ，求的度数； (2)如图， 若，请直接写出与之间的数量关系； (3)如图， 若， （）中的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系． 21．（25-26七年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图①，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 (1)如图②，，若射线是射线的伴随线，则______，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是____；（用含的代数式表示） (2)如图③，，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线． 22．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【综合实践】 特例感知：（1）如图1，线段，C为线段上的一个动点，点D，E分别是，的中点．设，则线段的长为______cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探索：（3）平分，过点O在内部作射线，，分别平分和，与互补． ①若，求的度数； ②试探索：当k为何值时，的值是一个定值，直接写出定值k． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图（1），． (1)若，则的大小是________，的大小是________． (2)将绕点O顺时针旋转至如图（2）所示的位置，设． ①的大小是________（用含的式子表示）； ②若平分，平分，当时，求的值． (3)将绕点O顺时针旋转至如图（3）所示的位置，其中，是直线左侧的一条射线．若，平分，平分，求的值． 24．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）已知，． (1)如图1，当，求的度数； (2)将绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，射线在的内部，在的外部，试探究求与的数量关系，并说明理由； (3)将图2中的绕顶点O继续顺时针旋转至图3所示的位置，在的外部，且时，分别在和的内部画射线，，使， ，请直接写出的度数（这里的和均小于或等于平角）． 25．（25-26七年级上·四川南充·期末）问题情境： 无人机执行航拍任务时，从观测中心点出发的两条主要观测方向形成观测角．若在内部引两条辅助观测射线、，且这两条射线所成的角，则称为的“航拍辅助角”．如图①所示，若，则是的“航拍辅助角”． 问题探究： (1)如图①所示，无人机的观测角，且是的“航拍辅助角”，已知，求的度数； (2)如图②，已知观测角，将绕观测点按某一方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的“航拍辅助角”？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕观测点以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，在旋转一周的过程中，射线始终在的外部，射线，，，能否构成“航拍辅助角”？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由，并补充一个合理条件使它能构成“航拍辅助角”． 26．（25-26七年级上·全国·期末）探究题 已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． 27．（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知点O在直线上，，． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)将图1中绕点O顺时针旋转，使射线在的内部． ①在图2中补全图形； ②求与的数量关系． 28．（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分（注：，，不重合）． (1)，，的位置如图1所示． ①若，， 补全求的度数的过程． 解：因为， 所以∠______=______°， 因为平分， 所以_______°， 所以∠______=______， ②已知条件Ⅰ． 条件Ⅱ． 请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 29．（25-26七年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境：已知，射线始终在内部． 特例感知： （1）如图1，若，则与之间的数量关系是___________；与之间的数量关系是___________． 深入探究： （2）如图 ． ①试猜想与之间的数量关系及与之间的数量关系（用含的式子表示），并说明理由； ②若，请直接写出的度数． 30．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）如图，为直线上一点，平分． (1)如图1，若与互余，，求的度数； (2)如图1，若，试探究与的数量关系，并求出当时，的度数； (3)在（2）问中所求度数的条件下，将图1中的射线绕顶点顺时针旋转一周，当时，请直接写出的度数，并写出求度数的其中一种情况的过程． 31．（25-26七年级上·福建莆田·期末）已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图，若，，当，逆时针旋转到，处． 当，旋转时间时，____ 若平分，平分，求的度数． (2)如图，若，，分别在，内部旋转时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，在旋转的过程中，当，请直接写出的值． 32．（25-26七年级上·山东青岛·期末）【材料阅读】如图，数轴上的点表示的数分别为、6，C是线段的中点． （1）点C表示的数是 ； （2）若点P，Q分别从点C，B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P，Q表示的数分别是 、 （用含t的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若P，Q两点之间的距离为3，求t的值． 【方法迁移】 （4）如图，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （5）周末的上午，小明看到钟面显示9点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业14角度中的动态压轴题 1．如图，已知在同一平面内的一块三角板和一条直线，其中．现把该三角板的顶点放在直线上． (1)如图1，若该三角板位于直线的上方，且，求的度数； (2)已知平分，平分， ①如图2，若三角板位于直线的上方，求的度数； ②如图3，若将三角板绕着点顺时针旋转一周的过程中，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）①根据平角的定义求出，再由角平分线的定义推出，据此可得答案；②分两种情况：都在直线上方和都在直线下方，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； ② 如图3-1所示，当都在直线上方时， 同理可得 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当都在直线下方时， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 2．【综合与探究】 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“飞跃”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是_______，的度数是_______，的度数是_______． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与有何数量关系？请直接写出你发现的结论，并选择其中一个说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否均成立？请说明理由．图1图2 【答案】（1）①；②，，见解析；（2）上述②中发现的结论依然成立，见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）①根据，，利用角的和差关系求解；②利用角的和差关系求解； （2）根据，可得，即；根据，，可得． 【详解】解：（1）①图1是由直角三角尺顶点叠放在一起组成， 根据题意可知， ∴， ； 故答案为：； ②，， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）上述②中发现的结论依然成立． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴上述②中发现的结论依然成立． 3．直角三角板的一个顶点O在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方． ①若，则 ； ②若平分，则 ； (2)若三角板在直线下方，．求的度数； (3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数． 【答案】(1)①；② (2) (3)点C表示的数为4或16 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算，线段的和与差． （1）①利用平角的定义，进行计算即可；②根据角平分线平分角，求出的度数，再根据平角的定义，求解即可； （2）根据，结合，得到，求解即可； （3）分线段在线段上，线段在线段右侧与线段在线段左侧，三种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的和差关系，线段之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为：； ②∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由图2可知，， ，， ， ， ， ∴； （3）解：点A表示的数是，， 点B表示的数为10， ①当线段在线段上时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点C表示的数为4； ②当线段在线段右侧时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点表示的数为16； ③当线段在线段左侧时，此种情况不成立． 综上，点表示的数为4或16． 4．一副三角板、，如图1放置，（、），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论： ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】解：由题意得：，，， ①如图，由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分．故①正确； ②当时，设，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当时，设，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故②正确； ③当时，如图， ∵， ∴，即； 当时，如图， 此时与重合，则； 当时，如图， ∵， ∴， ∴，即．故③正确； ④当时，设，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，设，如图， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ， ∴， ∴，即．故④不正确； 综上所述，正确的是①②③． 故选：C． 5．【概念认知】 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，当存在其中一个角的度数是另一个角度数的两倍时，称射线是的“叠分线”． （1）任意一个角的角平分线_____这个角的“叠分线”（填“是”或“否”）； 【初步理解】 （2）已知，且射线是的“叠分线”． ①当，求的度数； ②用含的代数式表示：_____； 【深入研究】 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转． （3）设三角板运动时间为秒． ③当秒时，请判断是的“叠分线”吗，并说明理由； ④请直接写出当是的“叠分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）①②或或；（3）③是，理由见详解；④4或或6或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，一元一次方程的几何应用，角的和差问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键． （1）根据新定义与角平分线的定义中，结合进行解答即可； （2）①根据新定义考虑三角两两的倍数关系即可； ②根据新定义考虑三角两两的倍数关系即可； （3）③根据运动时间以及运动角的速度进行列式计算，即可作答． ④根据新定义考虑三角两两的倍数关系分三种情况讨论，根据角的倍数关系列关于t的等式方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因角平分线分成两个角与被分原角满足原角是所分出的小角的两倍，根据新定义知，角平分线应为这个角的“叠分线”， 故答案为：是； （2）①∵，， 依题意，分以下三种情况：当或时，， 当时，， 当时，， ②依题意，分以下三种情况： 当或时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或； （3）③是的“叠分线”，理由如下： ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 故是的“叠分线”； ④由题意得，， 当时，即，解得：， 当边落在射线上时两个三角板停止旋转，此时，解得； 当时，在内部， 是的“叠分线”，分以下三种情况， 当时， ， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 当时，在外部， 此时不满足“叠分线”的定义， 当时，， 此时，则， 此时，满足“叠分线”的定义， ∴当是的“叠分线”时的值为4或2.4或6或． 6．孔子曰：“工欲善其事，必先利其器”．在我们学习中也是如此的.学习数学，缺不了身边的尺子、圆规、三角板等学习工具．请同学利用身边的学习工具解决下面的问题． 探究一：尺规作图思维显 （1）如下图，连接点、点.尺规作图使．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在你所画图形中，，，三点可能是某条线段中点的点为___________． 探究二：叠放三角眼睛尖 （3）将一副三角板如图所示摆放．请完成下面各题． ①若，则____________°_________________________． ②请根据小慕的思路完成下面的证明过程． 解：因为， 又因为， 所以，____________=____________．理由：（________________________） 综合运用：工具齐备看旋转 （4）如图，将一副直角三角板叠放在量角器上，它们的直角顶点与量角器的圆心重合，、、在同一直线上，、分别平分和．将三角板绕量角器圆心顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请直接写出的值． 【答案】（1）作图见解析；（2）点；（3）①39，45，36；②，，同角的余角相等；（4）t的值为或秒 【分析】本题考查了尺规作图---作线段，角平分线的计算，线段的和差计算，角度的四则运算，与余角有关的计算，角的和差计算，一元一次方程的应用等知识点． （1）分两种情况作图，如图①，先以点B为圆心，为半径，与射线交于点D，再以点D为圆心，为半径，与射线交点即为点C；如图②，以点为圆心，为半径，与射线交点即为点； （2）两种作图中，图②中，点为的中点； （3）①根据角度的四则运算法则计算即可；②根据同角的余角相等即可求解； （4）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：（1）如图①、②，点C即为所求； （2）在图①中，点三点中不存在某点是某条线段的中点；在图②中，由于，则，故点是线段的中点， 故答案为：点A； （3）①∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：39，45，36； ②解：因为， 又因为， 所以，．理由：（同角的余角相等） 故答案为：，，同角的余角相等； （4）由题知， 与两角平分线的夹角为， ①与相遇前，如图： ， ，， ， 即， 解得秒； ②与相遇后， 记旋转到，旋转到，且， 有， 即有， 解得秒， 综上所述， t的值为或秒． 7．已知点是直线上一点，将一副三角板按图1摆放，点在上，其中，，过点作平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，若，试说明平分； (3)把三角板绕点以每秒沿逆时针方向旋转，当和重合时停止，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算、角平分线、列代数式、整式的加减运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由三角板的知识可得、，根据角平分线定义可得，再根据角的和差即可解答； （2）由（1）可得：，易得，进而得到，即可证明结论； （3）由题意可得，然后分两种情况：当时；当时，分别列式表示出和，在发现它们之间的关系即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分． （3）解： ∵三角板绕点以每秒沿逆时针方向旋转，当和重合时停止， ∴绕点以每秒沿逆时针方向旋转， ∴， 当重合时，， 如图：当， ， ∵平分． ∴， ∴， ∴； 如图：当， 即，， ∵平分． ∴， ∴， ∴， ∴，即； 综上，当时，；当时，． 8．综合与实践 [动手操作] （1）如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）； ①；②；③；④；⑤；⑥． [思考表达] 现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为所以我可以画出的角． 小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角． （2）利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请通过列式计算说明理由． [类比延伸] （3）现有两把长度分别为和的无刻度的直尺，你能用这两把直尺可以画出下列哪几条长度的线段，直接写出结果________． A．    B．    C．    D． 【答案】（1）①④⑥；（2）可以画出的角，理由见解析；（3）BD 【分析】本题角度和线段的和差关系，审清题意明白能画出的角或线段是所给的两角大小或线段长度的最大公约式的倍数是解题的关键． （1）推导只用和这两个角都是的倍数，据此求解即可； （2）根据即可得解； （3）两把长度分别为和的无刻度的直尺，可构造的长度均为他们的最大公约数为3的整数倍，从而得解． 【详解】解：（1）和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数， ∴可以画出的角为①；④；⑥； 理由：（先拼两个得，再减去得）， （先拼两个得，再减去得）， （先拼和两个得，得）， 其他角度无法由和的整数倍计算得到； 故答案为：①④⑥； （2）可以画出的角，理由如下： 先画三个角，拼接得到角， 再在这个角内部叠放一个角（使一边重合）， 剩余部分即为； （3）可以画出的线段长度为B.和D.， 理由：两把长度分别为和的无刻度的直尺，可构造的长度均为它们的最大公约数为3的整数倍， （不是3的倍数）， （是3的倍数）， （不是3的倍数）， （是3的倍数）， ∴只有B.和D.可以画出， 故答案为：BD． 9．综合与探究 已知点A在直线上，将一块直角三角尺的直角顶点放在点A处． (1)如图①，作射线，已知，，求的度数； (2)如图②，作射线，若，AE平分，试说明； (3)如图③，在的内部作射线，使，试探究与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）设，根据题意列得一元一次方程，解方程求解即可； （2）利用等角的余角相等求得，再利用角平分线的定义即可证明结论成立； （3）利用角平分线的定义结合角的和与差计算即可得到． 【详解】（1）解：设，则，． 由题意知，即． 解得． ∴的度数为； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴； （3）解：． 理由：如图，作平分，则． ∵， ∴． ∴ ． 又∵， ∴． ∴． 10．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，_____； (2)若将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)若将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则_____； (4)若将图1中的三角板绕点O按每秒钟的速度旋转一周，当恰好为的角平分线时，此时，三角板绕点O运动的时间可以为_____秒． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了角的和差，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键． （1）根据，，即可求得和的度数； （2）根据题意，利用，即可解答； （3）表示出，，作差即可； （4）分类讨论，即当绕点O顺时针旋转时或当绕点O逆时针旋转时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：；； （2）解：在图2中，， ， 故答案为：； （3）解：在图3中，， ， ， 故答案为：； （4）解：如图， ， 当恰好为的平分线时，， ， 当绕点O顺时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 当绕点O逆时针旋转时，旋转的角度为， 秒, 故答案为：或． 11．已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)如图3，当时，三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，列代数式，整式的加减运算，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再根据角平分线的定义进行列式计算，得，根据是直角，得出，即可作答． （2）由角平分线的性质得，，则，又因为是直角，故，整理得，故，即可作答． （3）理解题意，结合三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，进行分类讨论，且逐个情况作图，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分钝角． ∴， ∵是直角， ∴， （2）解：∵平分钝角． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是直角， ∴， 即， ∴， ∴， （3）解：∵， ∴与（1）同理得， ∵三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒 ∴（秒），（秒）， 当时，如图所示： ∴，， 则， 当时，如图所示： ∴，， 则， 当时，如图所示： ∴，， 则， 综上：当时，；当时，；当时， 12．已知点在直线上，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算： （1）根据，，即可求得答案； （2）设，可求得，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． 平分， ∴． ∴． （2）解：设． 平分， ∴，． ∴，． ∴． 13．已知在的内部，， (1)如图1，求的大小； (2)如图2，平分，平分，求的大小； (3)如图3，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合后停止运动，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设，运动的时间是t秒，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时，． 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数． （1）可证明，计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，，进而得到，计算可得； （3）需要分两种情况；和，分别画出图形列方程解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； 如图所示，当时， 则， 解得 如图所示，当时， 则， 解得； 综上所述，当或时，． 14．如图，点在直线上，点，与点，分别在直线两侧，且，． (1)如图，若平分，，求的度数； (2)如图，若，，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算和角平分线的相关计算，解一元一次方程，理清各角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和角的比值列方程并解方程即可； （2）设，，得到，，，再利用，即可求出答案． 【详解】（1）解：平分， ． ， 设，， ， 解得， ． （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简得， 即． 15．如图1，，，平分，平分． (1)如图2，当与重合时，其他条件不变，求的度数； (2)将图2中的绕点O顺时针旋转x度，其他条件不变． ①当时，试判断的大小是否发生改变，若不改变，请求出的度数；若改变，请说明理由； ②当时，直接写出的度数（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算、角的平分线的性质等知识点，理解角度之间的和差关系是解题的关键． （1）当与重合时，，易得，再根据角的和差的求解即可； （2）①如图：将图2中的绕点O顺时针旋转x度，，此时未到达，易得，再结合角平分线的定义可得，然后根据；②分和两种情况，分别画出图形并运用角平分线的定义以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图2：当与重合时，， ∴， 平分， ∴． （2）解：①如图：将图2中的绕点O顺时针旋转x度，， ∴未到达， ∴， 平分，平分， ∴， ∴， ∴． ②如图：当时，， ∴， ∴， 平分， ∴， ∴． 如图：当时，， ∴， ∴， 平分， ∴， ∴． 综上，当时，；当时，． 16．已知与共顶点，，且满足，平分．      (1)如图1，，射线在内．若，求和的度数； (2)如图2，在内（不与重合，不与重合）．请用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的角度计算； （1）先求出，结合，得到，，再根据角平分线得到，最后根据求解即可； （2）由，平分，得到，结合，得到，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）①，根据，，可得，即可求解； ②根据题意可得，设，则，，分射线在的内部，射线在的外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． 平分， ． ． （2）解：当时，， ， ． ． ， ． 平分， ． ． （3）解：①，理由如下： ， ． ， ． ②，， ． ． 设，则， ． 当射线在的内部时， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ，解得． ． 综上所述，的度数为或． 18．如图1，点O在直线上，作射线，，射线在内． (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)若射线在内，平分，， ①当时，求的度数； ②当时，试探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①或；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是注意分类讨论的思想． （1）分别求出，即可得到是的角平分线； （2）①分两种情况讨论，当在右侧或在左侧，根据角度之间的数量关系建立方程求解；②先确定在内部，设，则， 表示出，，则，，则，即可求解与的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）解：①如图，当在右侧时 ∵平分， ∴ ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，当在左侧时， ∵平分， ∴ ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上：的度数为或； ②与的数量关系为： ∵，， ∴在内部，如图： 设，则， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19．如图，，是内的两条射线，平分，平分，若，，则 ．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查角的和差运算，角平分线的性质，根据角的关系正确计算是关键． 根据角平分线的性质，分别表示出和，进而求出． 【详解】解：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ， ， ． 故答案为：． 20．已知点是直线上一点，，平分． (1)如图， 若 ，求的度数； (2)如图， 若，请直接写出与之间的数量关系； (3)如图， 若， （）中的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度和差计算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据角平分线的定义，角度和差即可求解； （）根据角平分线的定义，角度和差即可求解； （）根据角平分线的定义，角度和差即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，     ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，     ∵平分 ∴， ∵， ∴； （3）解：仍然成立，理由， ∵， ∴，     ∵平分， ∴， ∵， ∴． 21．【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图①，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 (1)如图②，，若射线是射线的伴随线，则______，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是____；（用含的代数式表示） (2)如图③，，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线． 【答案】(1)； (2)①t的值为15或30，理由见解析；②t为12秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了伴随线概念、角的和差运算以及方程思想的应用，熟练掌握伴随线定义，准确分析角之间的数量关系并合理运用方程求解是解题的关键． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线是射线的伴随线， ∴， ∵， ∴ 解得， ∵射线是射线的伴随线， ∴， ∴ 解得， ∵射线是的平分线， ∴， ∴ ， 故答案为：40，； （2）解：当射线与重合时，（秒）， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， 解得； 若在相遇之后，则， 解得； ∴综上所述，当t的值为15或30时，的度数是． ②相遇之前：如图1， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图2， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 相遇之后：如图3， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图4， 是的伴随线时，则， 即， 解得（舍去）， ∴综上所述，当t为12秒或秒或秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 22．【综合实践】 特例感知：（1）如图1，线段，C为线段上的一个动点，点D，E分别是，的中点．设，则线段的长为______cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探索：（3）平分，过点O在内部作射线，，分别平分和，与互补． ①若，求的度数； ②试探索：当k为何值时，的值是一个定值，直接写出定值k． 【答案】（1）；（2）；（3）①，②当k为时，的值是一个定值2． 【分析】本题主要考查了线段的和差、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据线段的和差、线段的中点求解即可； （2）由角平分线的定义以及角的和差可得，进而完成解答； （3）①先根据角平分线的定义、角的和差、互补的定义可得 ，再代入得到关于的方程可求得，再根据角平分线的定义、角的和差求解即可； ②由题意可得、，再代入，再根据的值是一个定值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴ ． （3）①∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴． ②由①可得， ∵， ∴ ， 设（n为定值）， ， ， ∴，解得， ∴当k为时，的值是一个定值2． 23．如图（1），． (1)若，则的大小是________，的大小是________． (2)将绕点O顺时针旋转至如图（2）所示的位置，设． ①的大小是________（用含的式子表示）； ②若平分，平分，当时，求的值． (3)将绕点O顺时针旋转至如图（3）所示的位置，其中，是直线左侧的一条射线．若，平分，平分，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，一元一次方程的其他应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，，进行列式计算，即可作答． （2）①先整理得，再代入数值到，即可作答． ②结合角平分线的定义得，再整理得，又因为，，故，再解出，即可作答． （3）根据平分，平分，得，又因为，得，，把数值代入，得，因为，得，整理得，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， 则； ②∵平分，平分，， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 则． 24．已知，． (1)如图1，当，求的度数； (2)将绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，射线在的内部，在的外部，试探究求与的数量关系，并说明理由； (3)将图2中的绕顶点O继续顺时针旋转至图3所示的位置，在的外部，且时，分别在和的内部画射线，，使， ，请直接写出的度数（这里的和均小于或等于平角）． 【答案】(1) (2)，理由见详解； (3) 【分析】本题考查角的运算，解题的关键是明确题意，利用数形结合的数学思想解题． （1）先求出，再根据计算即可； （2）根据，，计算即可； （3）设，则，，，求出，，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵，， 设，则 ∴，， ∴，， ∴ ． 25．问题情境： 无人机执行航拍任务时，从观测中心点出发的两条主要观测方向形成观测角．若在内部引两条辅助观测射线、，且这两条射线所成的角，则称为的“航拍辅助角”．如图①所示，若，则是的“航拍辅助角”． 问题探究： (1)如图①所示，无人机的观测角，且是的“航拍辅助角”，已知，求的度数； (2)如图②，已知观测角，将绕观测点按某一方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的“航拍辅助角”？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕观测点以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，在旋转一周的过程中，射线始终在的外部，射线，，，能否构成“航拍辅助角”？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由，并补充一个合理条件使它能构成“航拍辅助角”． 【答案】(1) (2) (3)能，旋转时间为秒或或秒 【分析】本题主要考查角的和差运算，一元一次方程的应用，关键是根据定义建立角的等量关系并解方程． （1）直接利用“航拍辅助角”的定义求出，再通过角的和差计算； （2）利用旋转的性质得到角的等量关系，结合“航拍辅助角”的定义建立方程求解； （3）分三种情况讨论，利用“航拍辅助角”的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的“航拍辅助角”，， ∴． 又∵，且， ∴； （2）解：∵旋转得到， ∴，且旋转角． ∵是的“航拍辅助角”， ∴． 由角的和差可知：，， ∴， 解得； （3）解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成“航拍辅助角”，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的“航拍辅助角”，， ∴， ∴， 解得：， 如图2，∵是的“航拍辅助角”，， ∴， ∴， 解得：， ， 如图3，是的“航拍辅助角”，， ∴， ∴， 解得：， ， 综上：旋转时间为秒或或秒． 26．探究题 已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． （1）根据角的和差以及角平分线的定义计算即可； （2）根据角平分线的定义，以及角的和差得到，，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 平分， ， ． 27．已知点O在直线上，，． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)将图1中绕点O顺时针旋转，使射线在的内部． ①在图2中补全图形； ②求与的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查角平分线，角的和差，根据角的和差求出角的度数是解题的关键． （1）由得到，根据角平分线的定义求得，进而根据即可求解； （2）①根据题意直接作图即可； ②根据角的和差得到，进而根据即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：①补全图形如图所示； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分（注：，，不重合）． (1)，，的位置如图1所示． ①若，， 补全求的度数的过程． 解：因为， 所以∠______=______°， 因为平分， 所以_______°， 所以∠______=______， ②已知条件Ⅰ． 条件Ⅱ． 请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)①，130，65，，；②说明见解析 (2)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差关系及角平分线的有关计算． （1）①首先根据角的和差关系求出，然后由角平分线的概念得到，进而求解即可； ②选择条件Ⅰ或条件Ⅱ，利用角平分线的概念和角的和差关系求解即可； （2）根据题意分在左侧和在右侧两种情况讨论，然后根据角平分线的概念和角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：①因为， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 故答案为：，130，65，，； ②选条件Ⅰ： 理由：因为平分，， 所以， 所以； 选条件Ⅱ： 理由：因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：的度数为或， 分两种情况讨论： ①如图1，当在左侧时， 由条件可知，，， 因为平分， 所以， 所以； ②如图2，当在右侧时, 由条件可知，， 因为平分， 所以， 所以， 综上所述，的度数为或． 29．综合与探究 问题情境：已知，射线始终在内部． 特例感知： （1）如图1，若，则与之间的数量关系是___________；与之间的数量关系是___________． 深入探究： （2）如图 ． ①试猜想与之间的数量关系及与之间的数量关系（用含的式子表示），并说明理由； ②若，请直接写出的度数． 【答案】（1）；；（2）①，；②． 【分析】本题主要考查了角的和差关系、角度的计算与方程思想的应用，熟练掌握角的和差关系并结合方程思想是解题的关键． （1）利用，通过角的和差推导与的关系；再通过推导与的关系． （2）①类比（）的方法，用替代，通过角的和差推导与、与的数量关系．②设为，根据表示出，再结合和，利用列方程求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）①∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴； ②设，则， ∵， ， ∴， 解得， ∴ 30．如图，为直线上一点，平分． (1)如图1，若与互余，，求的度数； (2)如图1，若，试探究与的数量关系，并求出当时，的度数； (3)在（2）问中所求度数的条件下，将图1中的射线绕顶点顺时针旋转一周，当时，请直接写出的度数，并写出求度数的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)，； (3)度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的计算，以及几何图形中角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）利用角平分线的定义求得，利用平角的定义求得，据此求解即可； （2）设，用含的代数式表示和，消去即可得到结论，再代入，即可求解； （3）根据题意求得，分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵与互余， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 整理得， 当时， ∴， ∴，代入， 得， 解得， ∴； （3）解：由（2）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵射线绕顶点顺时针旋转一周， 当时，， 此时射线只有两种可能： ①在内部，如图， ∴； ②在下方，如图， ∴； 答：度数为或． 31．已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图，若，，当，逆时针旋转到，处． 当，旋转时间时，____ 若平分，平分，求的度数． (2)如图，若，，分别在，内部旋转时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，在旋转的过程中，当，请直接写出的值． 【答案】(1)①30；② (2)，见解析 (3)或或或 【分析】本题考查的是角的和差运算，角的旋转定义，理解题意，利用一元一次方程解题是关键． （1）①先求出、，再利用角的和差关系计算即可得解；②先由角平分线求出，再求出，即； （2）设旋转时间为，表示出、，进而得到、的关系，再整理即可得解； （3）设旋转时间为，分四种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：①由角的旋转定义可得：，， ∴， 故答案为：30； 平分平分， ， ， 即； （2）解：，理由如下： 设，则， 旋转秒后，， ， ； （3）解：设旋转秒后， ①当与重合之前时，如图， 可得：， 解得：； ②当与重合之后，且没有到达时，如图， 可得：， 解得：； ③当旋转一周后，没有经过时，如图， ， 解得：； ④当旋转一周后，经过后时，如图， ， 解得：． 综上所述，所求的值为或或或． 32．【材料阅读】如图，数轴上的点表示的数分别为、6，C是线段的中点． （1）点C表示的数是 ； （2）若点P，Q分别从点C，B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P，Q表示的数分别是 、 （用含t的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若P，Q两点之间的距离为3，求t的值． 【方法迁移】 （4）如图，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （5）周末的上午，小明看到钟面显示9点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成？ 【答案】（1）2；（2）；；（3）或；（4）或；（5）10 【分析】（1）根据数轴上两点的中点公式求解即可； （2）用点C表示的数加上点P运动的路程可得点P表示的数，用点B表示的数加上点Q运动的路程可得点Q表示的数； （3）根据两点间的距离公式建立方程求解即可； （4）分，相遇之前与相遇之后两种情况，分别建立方程求解即可； （5）设经过t分钟后，分针与时针的夹角首次变成，9点整时时针指向数字9，分针指向数字12，那么当分针与时针的夹角首次变成时，分针要比时针多转，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上的点表示的数分别为、6，C是线段的中点， ∴点C表示的数为； （2）依题意，秒后，点、表示的数分别是；； 故答案为：；； （3）∵P，Q两点之间的距离为3， ∴， ∴， ∴或 ∴或； （4）∵∠，平分， ∴， 当重合前，则 解得； 当重合后，则， 解得； 综上所述，或； （5）设经过t分钟后，分针与时针的夹角首次变成， 由题意得，， 解得， ∴经过10分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，几何图形中角度的计算，钟面角，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $