2025-2026学年苏科版上册期末质量调研八年级数学测试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量调研测试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共24分）． 1. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在实数、 、（两个1之间一次多一个2）、 中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 正整数、分别满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 4. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（ ） A. 11尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 14尺 5. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，求点B的坐标（　　） A. B. C. D. 8. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 比较大小：_________6（填“＞”、“＝”或“＜”）． 10. 近似数精确到了_____________位； 11. 一次函数的图像与轴的交点坐标是________． 12. 直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为___________． 13. 如图，直线与相交于点，则二元一次方程组的解是______． 14. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 15. 如图，一束光线从点射出，照在经过，的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴再反射的光线恰好通过点，则点的坐标为_____． 16. 如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为_______ 三、解答题： 17. 计算：． ； ． 18. 如图，，．求证：． 19. 如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 20. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点B的坐标为________，点C的坐标为________； （2）的面积为________； （3）画出关于y轴对称的； （4）已知点P为x轴上一点，若使得的周长最小，P点坐标为________． 22. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 23. 甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数函数图像的一部分如图所示. （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画关于函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？ 24. 【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： （1）该一次函数的“友好函数”为 ； （2）已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； （3）当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； （4）已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 25. 阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．例如：如图，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，已知，直线：交x轴于点B，交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线经过点A， ①________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6； ②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至， ①求证：点E为直线：与直线：的关联点； ②对于直线：上任意两点M、N，始终有，直接写出m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量调研测试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共24分）． 1. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三角形三边、、满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．据此逐项验证即可． 【详解】解：A．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； B．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； C．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； D．∵， ∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形． 故选：D． （2025秋•南京期末） 2. 在实数、 、（两个1之间一次多一个2）、 中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数叫无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：在实数、 、（两个1之间一次多一个2）、 中， 无理数有，，（两个1之间一次多一个2），共3个， 故选：C． 3. 正整数、分别满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（ ） A. 11尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 14尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 5. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解： A、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，求点B的坐标（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据三线合一的性质和直角三角形斜边的中线的性质，得出，进而得出，即点的横坐标，然后把点的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段最短时，， ∵直线为， ∴当时，；当时，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H， 则， ∴， 即点的横坐标为， 把点的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，正确作出辅助线是解答本题的关键． 8. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度角的直角三角形，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，，，，再整理得，证明，故，，当时，值最小，然后根据30度角的直角三角形的性质进行作答即可． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形，，， ，，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 当时，值最小， 此时，，， ， 故选：． 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 比较大小：_________6（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】由，再根据即可得出答案． 【详解】解： 又 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，比较简单，中考易考题型． 10. 近似数精确到了_____________位； 【答案】万分 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法和精确度，将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一个有效数字的位置可确定精确度． 【详解】解：，最后一个有效数字7位于小数点后第四位，即万分位， 故精确到了万分位， 故答案为：万分． 11. 一次函数的图像与轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与坐标轴交点的求法，特别是与轴交点的坐标确定方法．关键在于理解轴上所有点的纵坐标（即值）都为0，因此将代入函数解析式，解出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】令，代入函数解析式得， 解得， 故交点坐标为． 故答案为: 12. 直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，先根据勾股定理算出斜边为，再结合斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和， ∴ ∴斜边为， ∴斜边上的中线长为， 故答案为：． 13. 如图，直线与相交于点，则二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点， 把代入， ∴， ∴， ∴， 二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 16. 如图，一束光线从点射出，照在经过，的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴再反射的光线恰好通过点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，作点关于轴的对称点，由光反射的性质得点，，，四点共线，分别求出直线与直线的表达式并联立，即可得点坐标． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于轴的对称点，如图所示． 由光反射的性质得：点，，，四点共线． ，，， ，． 设直线的表达式为， 将点，分别代入上式， 得，解得． 的表达式为， 设直线的表达式为， 将点，分别代入上式， 得，解得． 直线的表达式为． 令，解得， 将代入，得． 点． 故答案：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图象的交点与二元一次方程组的关系，轴对称的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16. 如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点， ， ， ， 为正三角形， ∴ ， ， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 17. 计算：．；． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用立方根、算术平方根和乘方进行计算，再计算加减法即可． 【详解】解： ； ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以4，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以2，再把方程两边开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 19. 如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出线段的长． 【小问1详解】 证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （ 1）设，然后把，代入求解即可； （ 2）把点代入表达式即可求出m的值． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将点代入表达式得 ， 解得：． （2025秋•苏州期末） 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点B的坐标为________，点C的坐标为________； （2）的面积为________； （3）画出关于y轴对称的； （4）已知点P为x轴上一点，若使得的周长最小，P点坐标为________． 【答案】（1）， （2） （3）图见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了点坐标、画轴对称图形、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据点的位置，写出它们的坐标即可得； （2）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得； （3）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （4）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵的顶点均在格点上，且， ∴，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：的面积为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问4详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∵，， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，则的周长最小， ∴与轴的交点即为所求， 由图可知，点的坐标为． 故答案为：． 22. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可求，把和代入一次函数，即可求解； （2）可求，由即可求解． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，， ， 把和代入一次函数，得 ， 解得， 一次函数解析式是； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数表达式是， 当时，， 当时，， 解得：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线交点及面积问题，待定系数法求一次函数解析式，掌握解法是解题的关键． 23. 甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数函数图像的一部分如图所示. （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画关于函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？ 【答案】（1）30米/分； （2）见解析； （3）当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米． 【解析】 【分析】（1）由图象可知t=5时，s=150米，根据速度=路程÷时间，即可解答； （2）根据图象提供的信息，可知当t=35时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有（1500-1050）=450米，甲到达图书馆还需时间；450÷30=15（分），所以35+15=50（分），所以当s=0时，横轴上对应的时间为50． （3）分别求出当12.5≤t≤35时和当35＜t≤50时的函数解析式，根据甲、乙两人相距360米，即s=360，分别求出t的值即可． 【小问1详解】 甲行走的速度：1505=30（米/分）； 【小问2详解】 当t=35时，甲行走的路程为：30×35=1050（米），乙行走的路程为：（35-5）×50=1500（米）， ∴当t=35时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有（1500-1050）=450米， ∴甲到达图书馆还需时间；450÷30=15（分）， ∴35+15=50（分）， ∴当s=0时，横轴上对应的时间为50． 补画的图象如图所示（横轴上对应的时间为50）， 【小问3详解】 如图2， 设乙出发经过x分和甲第一次相遇，根据题意得：150+30x=50x， 解得：x=7.5， 7.5+5=12.5（分）， 由函数图象可知，当t=12.5时，s=0， ∴点B的坐标为（12.5，0）， 当12.5≤t≤35时，设BC的解析式为：s=kt+b，（k≠0）， 把C（35，450），B（12.5，0）代入可得： 解得：， ∴s=20t-250， 当35＜t≤50时，设CD的解析式为s=k1x+b1，（k1≠0）， 把D（50，0），C（35，450）代入得： 解得： ∴s=-30t+1500， ∵甲、乙两人相距360米，即s=360， ∴20t-250=360或-30t+1500=360 解得：t1=30.5，t2=38， ∴当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米． 【点睛】本题考查了行程问题数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24. 【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： （1）该一次函数的“友好函数”为 ； （2）已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； （3）当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； （4）已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解答本题的关键． （1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当时，，从而当时，，进而可以得解； （2）依据题意，分和，结合点在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出，即可得解； （3）依据题意，分和，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可； （4）依据题意，画出一次函数的“友好函数”的图象，进而结合直线与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，根据“友好函数”的定义， 当时，， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，符合题意； 当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，不符合题意； 综上，； 【小问3详解】 解：当时，，随的增大而减小， 当时，有最大值为，当时，临近最小值为； 当时，，随的增大而增大， 当时，有最小值为，当时，有最大值为； 综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为； 【小问4详解】 解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下： 直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点， ． 25. 阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．例如：如图，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，已知，直线：交x轴于点B，交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线经过点A， ①________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6； ②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至， ①求证：点E为直线：与直线：的关联点； ②对于直线：上任意两点M、N，始终有，直接写出m的值． 【答案】（1）①，<；② （2）①见解析；②m的值为或 【解析】 【分析】（1）①把代入，即可求得m，把代入，得 ，再由，即可求得答案； ②利用勾股定理可得，作于点H，根据新定义可得，利用三角形面积求得，再运用待定系数法即可求得答案； （2）①根据中点坐标可得，将代入：中，可求得k的值，进而得出点P的坐标，过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，再证得，求得点E的坐标，得出，连接，则，根据新定义即可证得结论； ②根据题意可得，作，交于点L，作于J，作于K，证得，可得，再求得，联立方程求解即可求得答案． 【小问1详解】 ①解：把代入，得， 解得：， 把代入，得， ， ， ， ， 故答案为：，<； ②解：由①得：， 则直线的解析式为， ， 在中，， 作于点H，如图， 点B恰好为、的关联点， ， ，， ， ， ， ， 把代入，得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 ①证明：，D为中点， 则， 将代入：中，得：， 解得：， ， 点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点， 设，则， 解得：， ， 过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，如图， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故，， 连接，则， ，， 由题知， ， 点E为直线：与直线：的关联点； ②解：直线：交y轴于点C， ， ， ， 作，交于点L，作于J，作于K， 则，， 由①知，则直线：， 对于直线：上任意两点M、N，始终有， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质，新定义等，理解运用新定义是解题关键． 第23页/共27页 学科网（北京）股份有限 学科网（北京）股份有限公司 $