精品解析：湖北省华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高一上学期期末检测数学试题

2025-2026学年度上学期高一年级期末检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的概念和运算法则计算求解． 【详解】，解得， ， ，故B正确． 故选：B． 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故BC错误； 又因为，则，故D错误； 故选：A. 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合充分条件必要条件的判定即可判断. 【详解】，所以充分性成立， 反过来，，满足，但，故必要性不成立． 故选：A. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题得，解得．因为在定义域内单调递减， 所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增， 在定义域内，函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是． 故选：D． 5. 已知幂函数的图象经过点，则函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理求得结果. 【详解】设幂函数，则由题意得，解得， 所以．易知，函数的定义域为． 因为是增函数，是增函数，所以函数是上的增函数． 所以至多有一个零点， 又， 所以函数只有一个零点在区间内． 故选：B． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式，可得，再利用二倍角的正切公式，即得解 【详解】∵， ∴，可得， ∴ 故选：A 7. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质、对数函数和指数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为函数，定义域为，而且， 所以为偶函数，所以． 由指数函数与对数函数的性质可得，，且． 所以可得. 因为时，在上单调递增， 所以，所以． 故选：C. 8. 设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出时的范围，根据不等式对恒成立得到a的一个范围；求出时的范围，再次求出a的范围，取交集即可求出a的值． 【详解】当，， 若不等式，恒成立，则①； 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， ∴， 则，解得②； 综合①②得． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】根据扇形的周长公式和面积公式求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，解得或5. 故选：BC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 关于的不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答. 【详解】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，，， 对于A，图象向左平移个单位得到的图象，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B正确； 对于C，，的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由，得，则， 解得，D错误. 故选：ABC 11. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意实数均，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法求解即可.对于B，令，证即可.对于C，根据B可知求解即可证.对于D，利用函数单调性求解即可. 【详解】对于A，令，得， 整理得，解得或， 再取，得， 若，则，解得，则与条件中“当时，”矛盾， 故，所以，故A正确. 对于B，令，得， 代入，整理得， 所以的图象关于点对称，故B正确. 对于C，由可知， ， 因为，所以，故C错误． 对于D选项，下面证明在上单调递增， 条件， 可变形为． 令，则有，因为当时，， 所以当时，，的图象关于点对称， 故当时，，故在上恒成立， ， 有， 故， 又因为恒正，所以， 从而在上单调递增， ， 故. 故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：3. 13. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，） 【答案】## 【解析】 【分析】将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得. 【详解】由题知，当时，， 代入得，即， 所以，即. 故答案为： 14. 已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____ 【答案】 【解析】 【分析】方程在上恰有2021个零点，等价于存在，使在上恰有2021个交点，作出函数的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围. 【详解】由函数在上的解析式作出如图所示图像， 由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数， 若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当时，需使最后一个完整周期中的极小值， 即，解得，即 当时，需使最后一个极大值， 即，解得，即， 综上所述， 故答案为： 【点睛】方法点睛：作出函数图像，数形结合将问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，从而求得参数取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性并用定义证明． 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，则， ∵，又函数在上为增函数，∴ 所以，∴ 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解出； （2）利用定义法证明函数的单调性． 【小问1详解】 ∵为定义在上的奇函数， ∴，∴； 当时，，∴，满足为定义在上的奇函数综上所述：． 【小问2详解】 略 16. （1）已知正实数满足，求的最小值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式的性质计算即可. （2）根据已知条件求出和的值，进而根据和差角与倍角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）由题：，且， ∴； 由基本不等式． 故得：．当且仅当时等号成立． ∴的最小值为：． （2）由题可得：∵，∴， 又∵，∴， ∴； ∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∴． 17. 已知函数，且． （1）当时，求的最小正周期； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正弦余弦公式及辅助角公式化简，再应用周期公式计算； （2）根据正弦函数的单调增区间计算得，再应用集合间关系列式计算求参数. 【小问1详解】 由题可得：． 所以当时，，故其最小正周期为． 【小问2详解】 由题可得，其单调递增区间需满足． 解得， 取得到一个包含端点0的单调递增区间． 根据题意，区间需包含于某个单调递增区间内，即需要满足， 于是可得，解得，即的范围为． 18. 已知函数． （1）若， （i）求的值； （ii）解关于的不等式． （2）若函数，当时，对，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）． 【解析】 【分析】（1）(i)根据列出方程，再求解，最后验证解得的是否符合题意； (ii)根据对数函数的单调性可得，再解分式不等式即可； （2）由得到，设，由的范围得到的值域，设，由求出的值域，由对，函数在区间内总存在使得成立，得到，利用子集的定义列出关于的不等式组，计算得解. 【小问1详解】 （i）∵，∴， ∵，∴， ∴，整理得，解得或. 当不满足真数大于0，即不成立，故； （ii）∵，∴， 由，可得， 由，解得； 由，得，得或， 综上，取交集得，即解集为． 【小问2详解】 ， ， ，， ， ， 得， ， 设，，，的值域为， 设， 其对称轴为，∵，∴在处取最大值为， 又因为， 的值域为， ∵对任意的， 函数在区间内总存在使得成立， ，， ，得，即， ∴实数的取值范围为． 19. 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，即，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”． （1）判断是否是以为周期的正弦周期函数，并说明理由； （2）函数是否存在最小正周期？若存在，求出其最小正周期并证明；若不存在，请说明理由； （3）设函数是定义在上的增函数，值域为，且是以为正弦周期的正弦周期函数．若，且存在，使得，求的值． 【答案】（1）是，理由如下： ， 所以是以为周期的正弦周期函数． （2）存在，，证明如下： ，易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数，时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误．所以是的最小正周期． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦周期函数的定义，判断； （2）先找出函数的一个周期，再证明该周期是最小正周期； （3）根据正弦周期函数的性质以及函数的单调性，结合已知条件求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是周期函数，设是它的一个周期， ，又由题意， 因为，是递增函数， 所以，又时，， ，， 因为是递增函数，所以集合与是一一对应的， 又因为，因此． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高一年级期末检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象经过点，则函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 关于的不等式的解集为 11. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意实数均，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 13. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，） 14. 已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性并用定义证明． 16. （1）已知正实数满足，求的最小值； （2）已知，且，求的值． 17. 已知函数，且． （1）当时，求的最小正周期； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）若， （i）求的值； （ii）解关于的不等式． （2）若函数，当时，对，使得成立，求的取值范围． 19. 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，即，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”． （1）判断是否是以为周期的正弦周期函数，并说明理由； （2）函数是否存在最小正周期？若存在，求出其最小正周期并证明；若不存在，请说明理由； （3）设函数是定义在上的增函数，值域为，且是以为正弦周期的正弦周期函数．若，且存在，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $