第13讲 函数的概念及表示（3个知识点+12大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第13讲 函数的概念及表示（3个知识点+12大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 用描点法画函数图象 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知圆的周长C与半径r的计算公式为，则下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键． 根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：∵ 在公式 中， 和 是固定不变的常数，属于常量；是半径，可以取不同值，属于变量；是周长，随 的变化而变化，也属于变量， ∴ A、是变量，说法错误，不符合题意； B、是变量，说法错误，不符合题意； C、是变量，说法正确，符合题意； D、是常量，说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 单价 数量，金额 【分析】本题考查常量、变量的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据事物变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量求解即可． 【详解】解：加油过程中，单价×数量=总价，此时，单价是常量，数量和金额是变量． 故答案为：单价；数量，金额． 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，分析原式，即可得出答案． 【详解】解：函数有意义， ， ， 故选：A． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 . 【答案】x≠- 4 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：x≠- 4， 故答案为：x≠- 4． 知识点三：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 2．（2025·山东青岛·一模）已知，二次函数的部分对应值如下表，则时， ． 【答案】0 【解析】根据表中数值即可得到x=3时y的值． 【详解】解：由表中数值可得： x=3时,y=0， 故答案为0 ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，能够运用列表法表示函数是解题关键． 【核心考点一 用表格表示变量间的关系】 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，从表格中获取信息是关键．观察表格可知，第一行表示月份，第二行表示对应的平均气温，由表格可直接读出时对应的的值，对比各选项，即可得到答案． 【详解】解：当时，的函数值为． 故选：． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【答案】B 【分析】需先明确常量的定义，再判断购物小票中各量是否固定不变，从而选出常量对应的选项． 【详解】解：常量是在变化过程中固定不变的量： A、金额随购买数量变化，是变量，不符合题意； B、单价是每瓶矿泉水的固定价格，是常量，符合题意； C、数量是购买的瓶数，可随购买需求变化，是变量，不符合题意； D、金额是变量，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了常量的概念，掌握常量是在变化过程中固定不变的量是解题的关键． 【例3】（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 t s 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义． 根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化 【详解】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里， 因此路程s的变化依赖于时间t的变化， 故自变量是时间t，因变量是路程s． 故答案为：t，s． 【例4】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，掌握表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键．根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案． 【详解】解：由题意可知，蓄水池原有水，放水速度为， 所以当放水时间为时，水池中水量为： ． 故答案为：36． 【核心考点二 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了变量与常量的定义，掌握变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量是解题的关键． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，进行判断即可． 【详解】解：在球的体积公式 中， 和 的值随球的大小变化而变化，是变量； 和 的值固定不变，是常量，选项B正确． 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，根据乘车费用包括起步价和超过2公里部分的费用，列出关系式即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：， 【例4】（25-26八年级下·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数表达式，解题关键是找到台阶数量与侧面宽度、竖直高度的关系． 【详解】解：∵每个台阶宽，侧面宽度为， ∴台阶的数量． 又∵每个台阶高，竖直高度为， ∴． 将代入，得． 故答案为：． 【核心考点三 用图象表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级下·全国·周测）手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了变量、自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据变量、自变量、因变量的定义，判断三角形个数与火柴棒根数的变化关系，逐一验证选项的正确性． 【详解】解：变量是变化的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量：三角形个数和火柴棒根数都在变化，故都是变量，故选项A正确； 是主动变化的三角形个数，是自变量； 随的变化而变化，是因变量，故选项B、D正确，选项C错误． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小． 则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是： ． 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为 ，因变量为 ． 【答案】 时间 喷出水的高度 【分析】本题考查了自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据自变量和因变量的定义，判断喷出水的高度变化过程中，主动变化的量与随之变化的量． 【详解】解：在喷出水的高度y与音乐响起的时间t的变化过程中：时间t是主动变化的量， 故自变量为时间；喷出水的高度y是随着时间t的变化而变化的量，故因变量为喷出水的高度． 故答案为：时间，喷出水的高度． 【例4】（24-25八年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【答案】30 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 【详解】解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 【核心考点四 函数的概念】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）下列图像中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图像； B、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图像； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图像． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，对应两个变量x、y，若对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一的值与之对应，那么y是x的函数，据此可得答案． 【详解】解：由函数的定义可知，只有C选项不能表示是的函数， 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·河北保定·月考）在静止水体中，一般情况下随着水深的增加，水中含氧量降低．上述语段中，自变量是 ． 【答案】水深 【分析】本题主要考查了自变量的概念．根据自变量和因变量的定义，含氧量随水深的变化而变化，因此水深是自变量． 【详解】解：含氧量随水深的变化而变化，因此水深是自变量． 故答案为：水深． 【例4】（25-26八年级下·全国·周测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 由函数的概念求解即可． 【详解】解：①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，水面的高度的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； 故答案为：①④． 【核心考点五 函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数关系式的建立，关键在于理解清楚题意，需注意赛制是“单循环形式”，需要两两之间的比赛的总场数除以2． 设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，则每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即可建立函数关系式． 【详解】解：设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即： 故选：． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数表达式的判断，观察收入y与质量x之间的关系，进而可以得到答案． 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元， 故，经验证，符合表格中数据， 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克/个的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是 ． 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【分析】本题主要考查了函数解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的关系．根据题意每增加一个砝码，弹簧长度就增加1厘米，注意：1个砝码是50克，知弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是计算即可得到结论． 【详解】解：根据题意，每增加一个砝码，弹簧长度就增加1厘米，1个砝码是50克， 所以弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式，正确根据分段列式是解题的关键，根据分档计费标准，当停车时长在第二档（）时，停车费包括第一档的固定费用和第二档的超时费用，第一档3小时费用为6元，第二档对超过3小时的部分按元/小时计费． 【详解】解：当停车时长满足时， 第一档费用为（元），第二档费用为元， 因此总停车费 ， 故答案为：． 【核心考点六 求自变量的取值范围】 【例1】（2025九年级上·山东·专题练习）在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【分析】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意． 故选． 【例2】（24-25八年级下·福建福州·期中）要使有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：要使有意义，则， 解得， 故选：D． 【例3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可． 【详解】解：在函数中，分母， 解得． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是列函数关系式，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系确定出自变量的取值范围是解题的关键． 根据三角形的三边关系列出关系式，确定取值范围即可解题． 【详解】解：∵，且，， ∴． ∵即 解得． 故答案为：；． 【核心考点七 求自变量的值或函数值】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）按如图所示的运算程序，当输入的x的值为时，输出的y的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，函数值，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 根据数的大小选用合适的函数关系式求函数值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴输出的的值为. 故选：B. 【例2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数表示法，通过代入给定的x值计算y值，验证哪个函数解析式匹配所有对应值. 【详解】解：A、当时，，故此函数解析式不符合题意； B、当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； C、当时，故此函数解析式不符合题意； D、当时，，故此函数解析式不符合题意． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知函数，当时，函数值，则 ． （只填最后结果） 【答案】2 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入到函数表达式中进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：2． 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为 L． （2）行驶 km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为 L． 【答案】 50 100 38 【分析】本题考查了从表格数据中提取信息及行程耗油量的计算，掌握利用初始数据确定总量，通过单位路程耗油量计算剩余油量是解题的关键． （1）从表格初始数据确定油箱容量； （2）通过表格直接匹配行驶路程与剩余油量的对应关系，再计算单位路程耗油量，进而求出指定行驶路程的剩余油量． 【详解】解：（1）当行驶路程时，油箱处于加满状态，此时剩余油量为，故该轿车油箱的容量为． 故答案为：. （2）由表格可知，行驶时，油箱剩余油量为，每行驶，油量减少， 所以行驶时，油箱剩余油量为． 故答案为：，． 【核心考点八 函数图象识别】 【例1】（2026·湖北武汉·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数图象，根据点得到点A和点B关于y轴对称，排除A，C选项；根据点得到当时的函数值小于当时的函数值，进而求解即可． 【详解】解：∵点在同一个函数的图像上，且点A和点B关于y轴对称， ∴排除A，C选项； ∵点在同一个函数的图像上， ∴当时，，当时，，且 ∴当时的函数值小于当时的函数值，排除D选项，只有B选项符合题意． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了函数图象识别，函数的概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据函数的概念，对四个选项逐一分析，再作出判断． 【详解】解：表中数据符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故A不符合； 图中的点符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故B不符合； 图中的点符合“每一个值都有且对仅应唯一的一个值”， 是的函数，故C不符合； 图中的点不符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 不是的函数，故D符合； 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·天津·月考）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的定义，理解并掌握函数的定义是关键． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就把称为自变量，把称为因变量，是的函数，根据定义，结合图形分析即可． 【详解】解：图（1）中，任意一个确定的值，都有唯一确定的值对应，故是的函数，符合题意； 图（2）中，任意一个确定的值，值不唯一，故不是的函数，不符合题意； 故答案为：（1） ． 【例4】（24-25八年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 【核心考点九 用描点法画函数图象】 【例1】（25-26八年级上·福建三明·月考）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 【例3】（24-25八年级下·全国·课前预习）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 【答案】图象 【详解】用描点法画函数图象 略 【例4】（24-25八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 【核心考点十 从函数的图象获取信息】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）小明骑自行车去上学，所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（   ） A．小明家距学校4千米 B．小明提速后的速度为1千米/分钟 C．小明走完全程用了10分钟 D．小明上学的平均速度为0.4千米/分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是理解图象所表示的实际意义；因此此题可根据函数图象逐一判断选项即可． 【详解】解：由图象可知：小明家距学校4千米，且走完全程用了10分钟，故A、C正确； 前6分钟小明骑行了2千米，所以速度为（千米/分钟），后4分钟走了2千米，所以速度为（千米/分钟），故小明提速后的速度为0.5千米/分钟，故B错误； 小明上学的平均速度为（千米/分钟），故D正确； 故选B． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图是一只小鸟在飞行过程中离地面的高度与飞行时间的对应变化情况，则这只小鸟前5秒飞行的最高与最低位置相差（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的应用，掌握从图象上获取信息的方法是关键． 图象上的最高点对应的纵坐标即小鸟的最高位置，最低点的纵坐标即小鸟的最低位置，两者作差即可． 【详解】解：由图可知，这只小鸟前5秒飞行的最高位置为，最低位置为，两者相差． 故选：B． 【例4】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知y关于x的函数图象如图所示，则当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息．由时，可得图象在x轴下方，进一步求解即可． 【详解】解：当时，图象在x轴下方， ∴自变量x的取值范围分两个部分是或． 故答案为：或 【例4】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，则梯形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查动点问题的函数图象，掌握函数图象上点的实际意义是解题的关键．根据题意得，，再由，即可得出答案． 【详解】解：根据题意结合函数图象可得，，， ∵， ∴梯形的面积． 故答案为：10． 【核心考点十一 动点问题的函数图象】 【例1】（2025·甘肃金昌·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点A作于，根据函数图象可知：，，所以 ，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于点，如解图， 由题意得，，， ， ， ， ， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，学校的环形跑道是由两个直道和两个弯道组成，其中每个直道长约为，每个弯道长约为．小明在该环形跑道上晨练时，从一段直道的起点出发沿着的路线跑一圈后回到点．已知小明在每个直道上以的速度匀速跑步，在每个弯道上以的速度匀速跑步，下列函数图象中能够大致描述小明跑步的路程与跑步时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据跑步的速度与各段图象的陡峭程度的关系、各段所用时间判断即可． 【详解】解：∵在每个直道上跑步的速度为，在每个弯道上跑步的速度为， ∴段的图象平行于段的图象，段的图象平行于段的图象，且、段的图象比、段的图象要陡， ∴在、段所用时间均为， 在、段所用时间均为， ∴在、段所用时间约为在、段所用时间的2倍， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示． （1）当时， ． （2）当时， ． 【答案】 3 6或1/1或6 【分析】本题考查了动点问题与函数图像的结合，长方形的性质．理解函数图像与动点的关系是解题的关键． （1）当，在上，根据长方形对边相等及三角形面积公式，得到； （2）当时，分在上（面积公式）和在上（面积公式），解得或6． 【详解】解：（1）由图2可知，时面积开始不变， 又动点的速度为， ， 从到，用时， ， 四边形是长方形， ， 当点在上运动时，的高为， ，且保持不变， 时，， 故答案为3． （2）①在上运动 此时， 的面积， 解得（符合）； ②在上运动 ，从到用时2秒，总运动用时到时停止， 总路程为， ， 的面积， 解得（符合）； 故答案为6或1． 【例4】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 【答案】3 【分析】本题考查用图象表示变量的关系，读懂图象获取有效信息是解题的关键．根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变，即当点P运动到点A时，的面积即a的值，再根据点P沿运动到D时的路程为，求得b的值即可． 【详解】解：根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变， ∴当点P运动到点A时，， ∵在长方形中，，， ∴， 由图可知，当点P运动到点D时，此时点P的运动路程为， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 【核心考点十二 函数的三种表示方法】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 【例3】（24-25八年级·全国·假期作业）设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是 、 、 ． 【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图象法 【分析】直接根据函数的定义和表示法解答即可． 【详解】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，表示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法． 故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念和函数的三种表示法是解答本题的关键． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是 ． 【答案】52 【分析】本题考查一次函数的应用． 根据题意和表格中的数据，可以计算出每分钟升高的温度和min时的温度. 【详解】解：由题意和表格中的数据可知，每分钟升高（℃）， min时的温度是（℃）. 故答案为：. 【变式训练1 用表格表示变量间的关系】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 【答案】190 【分析】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），将已知数据代入上式即可求得要求的量． 【详解】解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加 5件， ∴降价之前的日销量为件， ∴日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价）， ∴售价为440元时，日销量件， 故答案为：190． 【点睛】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【答案】(1)150 (2)航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大 (3)反比例关系 【分析】本题考查变量之间的关系，掌握反比例关系的特点是解题的关键． （1）用任意一组数据中的速度乘以时间即可； （2）根据所给数据变化趋势可得答案； （3）根据可得答案． 【详解】（1）解：甲、乙两地相距， 故答案为：150； （2）解：由所给数据可得：航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大． （3）解：∵甲、乙两地距离固定为， ∴v与t满足， ∴轮船的速度v与航行时间t之间成反比例关系． 4．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：； （2）解：∵随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为． 【变式训练2 用关系式表示变量间的关系】 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式             A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x与氢原子数y的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式． 先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的原子数）与原子数）对应值：甲烷、乙烷、丙烷、丁烷；再将对应值代入各选项，或根据“每增1个C原子增2个H原子”的规律，推导x与y的关系式，进而判断正确选项． 【详解】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系： 甲烷：时，； 乙烷：时，； 丙烷：时，； 丁烷：时，． A、若，当时，，此选项不符合题意； B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意； C、若，当时，，此选项不符合题意； D、若，当时，，此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为 ．    【答案】5 【分析】根据程序流程图，分别求出自变量的值是2和时的因变量值，根据因变量值相等进行计算即可． 【详解】解：由图可知：当时，，当时，， ∵输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查求因变量的值，解题的关键的读懂流程图，正确的进行计算． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 【答案】(1)的长，阴影部分的面积 (2)； (3)点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 【分析】该题考查了变量、函数关系式，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意即可解答； （2）根据梯形面积公式即可求出y与x的函数关系式； （3）直接将代入（1）中所得的关系式，从而可求得x的值． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是阴影部分的面积； （2）解：因为， 所以图中阴影部分的面积为：， 所以阴影部分的面积与之间的关系式为； （3）解：由题意得，则， 解得：， 所以， 即点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】(1) (2)2.7； 8.1； 21.6 (3)小明家这几项二氧化碳排放量的总和为 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）用耗油量乘以即可得到答案； （2）根据开私家车的二氧化碳排放量耗油量可得第一空答案；根据（1）所求函数关系式，分别求出时和时的函数值即可得到答案； （3）根据对应的二氧化碳排放量计算公式分别求出对应的二氧化碳排放量，再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：∵开私家车的二氧化碳排放量耗油量， ∴耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加； 在中，当时，；当时，； ∴当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从增加到． （3）解： ． 答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为． 【变式训练3 用图象表示变量间的关系】 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 3．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）小丽的爸爸开车回家，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系．    (1)根据图象判断，这辆汽车行驶的路程和耗油量成 比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 【答案】(1)正；；50 (2)这些油不能够使这辆汽车开到目的地，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，从图象中获取准确信息是关键． （1）根据图象信息直接填空即可； （2）先计算出汽车的油耗，再计算300公里所需的汽油量，与30升汽油比较即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，这辆汽车行驶的路程和耗油量成正比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是升：当耗油量达到6升时，汽车行驶50千米． 故答案为：正；；50； （2）解：汽车的耗油量为（升/千米）， （升）， ∵， ∴这些油不能够使这辆汽车开到目的地． 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 【变式训练4 函数的概念】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A、在所给的数据中，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，不符合题意； B、是一次函数，所以能表示是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，可能有两个或三个值，所以不是的函数，符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，所以能表示是的函数，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【答案】（1）是函数，是函数，是函数，（2）见详解，答案不唯一 （3）①，x可为任意实数；；； ②；；． 【分析】本题考查函数的定义，自变量取值范围及函数值的定义，解题的关键是熟练掌握各式有意义的条件． （1）根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可逐一判断． （2）根据函数的定义列举即可 （3）①根据整式有意义的条件：全体实数，分式有意义的条件：分母不为0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解；②将分别代入各式计算即可． 【详解】解：（1）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； （2）例如：、等对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数． （3）①∵整式有意义的条件是全体实数， ∴有意义时自变量x取值范围是全体实数， ∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴有意义时自变量x取值范围，即， ∵二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0， ∴有意义时自变量x取值范围，即； ②将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况． 速度v(千米/时) 50 100 b 400 视野f(度) a 40 20 10 (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____； (2)结合图象，表格中_____， _____； (3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______； (4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量． 【答案】(1)高铁的速度，司机的视野 (2)， (3)千米/时 (4)某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得出答案； （2）由表格可得，计算即可得出答案； （3）由函数图象即可得出答案； （4）写出生活中的例子即可． 【详解】（1）解：由图象可得：在这个变化过程中，自变量是高铁的速度，因变量是司机的视野； （2）解：由表格可得：， ∴，； （3）解：由函数图象可得，若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是千米/时； （4）解：某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可） 【变式训练5 函数解析式】 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形．为了方便进出，在边上留了一个米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．    【答案】 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据题意和图形可以得到与的函数关系式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】由题意得：， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． (1)写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； (2)6h后池中还有多少水？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入可得函数值． 【详解】（1）解：∵池中有水，每小时抽出 ∴剩余水的体积与时间之间的关系式是； （2）当时， 答：6小时后，池中还有的水． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）将若干张长的长方形纸条，按如图所示的方法粘合成长纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整： 纸的张数 1 2 3 4 …… 10 …… 纸条的长度 40 116 154 …… …… (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①直接写出与间的表达式： ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ⑧小明能否用这样的小纸条粘合出长为的纸条，若能，通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸，若不能，请说明理由． 【答案】(1)78，382 (2)①；②；③能，至少需要70张这样的长方形纸 【分析】本题考查了函数关系式，理解纸条的粘贴规律是解此题的关键． （1）根据纸条的粘贴规律进行计算即可； （2）①根据纸条的粘贴规律进行计算即可；②把代入①中的函数关系式计算即可；③把代入①中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：当纸的张数为张时，纸条的长度为， 当纸的张数为张时，纸条的长度为， 补全表格如下： 纸的张数 1 2 3 4 …… 10 …… 纸条的长度 40 78 116 154 …… 382 …… （2）解：①由题意可得：； ②当时，； ③能，理由如下： 当时，， 解得：，即至少需要70张这样的长方形纸． 【变式训练6 求自变量的取值范围】 1．（24-25八年级上·重庆北碚·月考）函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件； 根据二次根式有意义，被开方数非负，分式有意义分母不为零得出不等式组，求解即可． 【详解】解：由得：且， 解得：且， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是列函数关系式，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系确定出自变量的取值范围是解题的关键． 根据三角形的三边关系列出关系式，确定取值范围即可解题． 【详解】解：∵，且，， ∴． ∵即 解得． 故答案为：；． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【答案】(1)见解析 (2)x与y，5 (3)，周长，一边，另一边 【分析】本题考查了用表格和关系式表示变量之间的关系，关键是根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，及常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． （1 ）根据：（长宽）周长，填表可得； （2 ）常量是长方形的长宽和．变量是长方形的边长； （3 ）由（1 ）可得长方形另一边长y关于一边长x的关系式，根据长宽均大于0可得x的范围． 【详解】（1）解：填写表格如下： 一边长 3 4 x 另一边长 2 1 （2）解：在以上这个过程中，变量是x与y，不变化的量5； （3）解：用含x的式子表示y，，x的取值范围是， 这个问题反映了矩形的周长不变，一边随另一边的变化过程． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 自变量x的取值范围是． （2）解：当时，． ∴当时，此时两正方形的面积和S为10． 【变式训练7 求自变量的值或函数值】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 【答案】(1) () (2)70L 【分析】本题考查函数关系式以及函数的表示方法，理解数量之间的关系以及函数的意义是解题的关键． （1）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与之间的关系式； （2）求汽车行驶后，油箱中的剩余油量即求当时，的值． 【详解】（1）解：由题意得：汽车每行驶小时，油量减少， 则剩余的油量为： ()． （2）解：当时， 故行驶后，油箱中剩余的油量为． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． (1)2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； (2)若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； (3)当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 【答案】(1)， (2) (3)总长度为的链条由40节组成 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，解题的关键是正确的列出函数关系式： （1）根据题意可知每增加一节，增加，进行求解即可； （2）根据（1）中结论，列出函数关系式即可； （3）令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：每增加一节，链条增加， 2节链条的总长度， 3节链条的总长度， 故答案为：，； （2）； （3）当时， 解得， 总长度为的链条由40节组成． 【变式训练8 函数图象识别】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：如图： 从函数图象可以看出：段上升最慢，段上升较快，段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）．          【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·四川乐山·月考）一列动车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，两车同时出发，行驶的时间为 x（小时），两车之间的距离为y（千米） ，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离为 千米； (2)请解释图中点 B的实际意义； (3)动车和快车都匀速行驶，求动车和快车的速度；（保留解答过程） 【答案】(1) (2)两车出发小时后相遇 (3)快车的速度为千米/时，动车的速度为千米/时 【分析】本题主要考查了函数的图象．熟练掌握函数图象关键数据表示的意义，路程与速度和时间的关系，相遇问题特点，是解题的关键． （1）由A点的纵坐标表示甲、乙两地之间的距离即可得到答案； （2）由B点的纵坐标为，说明此时刻动车和快车之间的距离为，解答即可； （3）由图象知，快车小时行驶千米，动车小时行驶千米，根据速度路程÷时间求出两车的速度即可． 【详解】（1）解：根据A点坐标为，得出甲、乙两地之间的距离为千米， 故答案为：； （2）解：∵B点坐标为，横坐标为， ∴点B的实际意义为：两车出发小时后相遇； （3）解：根据图象可知行驶小时，快车到达甲地， ∴快车的速度为千米/时， 由图象可知动车行驶小时到达乙地， ∴动车的速度为千米/时． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，甲，乙两名短跑运动员在一次100米赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：    (1)甲，乙两人中先到达终点的是 ； (2)乙在这次赛跑中的速度为 m/s． (3)当先到达终点运动员冲线瞬间，另外一名运动员与他的距离是 米． 【答案】(1)甲 (2)8 (3)4 【分析】对于（1），根据达到终点的时间判断即可； 对于（2），根据路程除以时间即可求出答案； 对于（3），根据时间乘以速度求出答案． 【详解】（1）根据图象可知甲运动员用了12s，乙运动员用了12.5s跑完100m，所以甲运动员先到达终点； 故答案为：甲； （2）根据图象可知乙运动员的速度是. 故答案为：8； （3）根据图象可知，甲运动员12s时冲线，乙运动员与甲的距离是． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【变式训练9 用描点法画函数图象】 1．（2025·浙江丽水·一模）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p．根据下表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70ml时，压力表读出的压强值最接近（    ） 体积V 压强 100 60 90 67 80 75 70 60 100 A．80kPa B．85kPa C．90kPa D．100kPa 【答案】B 【分析】根据表格信息可知，随着体积V的减小，压强P会增大，而且根据数值可以发现，体积越小，压强增大的幅度越大． 【详解】根据表格信息可知，压强随着体积的减小在增大，且体积值越小，增加的压强越多， 体积从90降到80时，压强增加了8kpa；体积从80降到60时，压强增加了25kPa，则体积从80降到70时，压强应该增加值在8到12.5之间；所以a的值接近于85kpa， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了统计表格数据分析信息的处理、估算等相关知识，观察数值变化规律和趋势并合理运用估算是解决问题的关键． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图1，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活．如图2是杆秤的示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如下一组数据，已知表中有一组数据错了． 秤砣到秤纽的水平距离（） 1 2 4 7 12 秤钩所挂物体重量（斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.50 若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为 斤． 【答案】4.5 【分析】在平面直角坐标系中描点，连线，画出图像，从图中发现（4，2.00）这组数据错了，利用正确的数组，列方程组，求出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式，利用自变量为16是，求函数值即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中描出点（1，0.75），（2，1.00），（4，2.00），（7，2.25），（12，3.50）， 从图中发现（4，2.00）这组数据错了， 设秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为， 代入两组正确的数组得， 解得， 秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为， 当x=16时，， ∴秤钩上所挂物体的重量为4.5斤． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查描点法画函数图像，利用图像发现错误数组，一次函数表达式，会求函数值，掌握描点法画函数图像，利用图像发现错误数组，一次函数表达式，会求函数值是解题关键． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 k ①______． ②若为该函数图像上不同的两点，则_______． (2)描点并画出该函数的图像． (3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为________． ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质：________． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)①；②该函数的图像是轴对称图形；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了函数的图像及性质，从函数图像获取信息是解题的关键． （1）①已知，将的值代入即可求得的值；②，为该函数图像上不同的两点，则将代入解析式即可求解； （2）描点连线画图即可； （3）①观察图像可得；②观察图像可得． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：； ②，为该函数图像上不同的两点，即， 解得（舍去）或， 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：①由图像可得当，该函数的最大值为1， 故答案为：； ②观察图像可得：该函数的图像是轴对称图形；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数，当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 24 35 43 m 50 51 52 53 54 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为______时，y的值首次超过30； (2)写出表中______，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于40个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？ ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的5日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这5日中应安排小腾先进行几日的模拟练习？ 【答案】(1)4 (2)；画图见解析 (3)①；②1 【分析】（1）找图象上y的值首次超过30时的值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，观察前几日的增长规律即可得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，y的值首次超过30； 故答案为：4 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变， 第3日，， 第4日，， 第5日，， 第6日，， ∴ 画出时的曲线： （3）解：①单日制成不少于40个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， 故小云最早在完成理论学习后的第日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：6； ②当模拟练习日时， 5日内的试制时间日， 5日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 5日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 5日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 5日内的试制时间日， 2日的合格产品是24，； ∴合格产品共有； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的5日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这5日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 【变式训练10 从函数的图象获取信息】 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（    ） A．5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟 【答案】D 【分析】本题主要考查从函数图象中获取有用信息的能力，求出小海变速前的速度为，可得小海变速后的速度为，加速后所用时间为，再列式计算即可． 【详解】解：小海变速前的速度为， ∵小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍， ∴小海变速后的速度为， ∵， ∴小海在超市购物用了； 故选：D． 2．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客（中途有折返去商店购买礼物），下图是她本次去舅舅家所用的时间（单位：）与离自己家距离（单位：）的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的路程是____________，小红在商店停留了____________． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？ 【答案】(1)1500，4 (2)在速度最快，为． (3)共行驶了，共用了． 【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在商店停留的时间； （2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小红骑车速度最快的时间段，进而可得其速度； （3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间． 【详解】（1）解：，． 根据图象舅舅家纵坐标为，小红家的纵坐标为，故小红家到舅舅家的路程是米； 据题意，小红在商店停留的时间为从到，故小红在商店停留了分钟． （2）解：根据图象，时，直线最陡，故小红在这一时间段速度最快，为． （3）解：小红共行驶了，共用了． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）如图是甲乙两车分别从A、B两地相向开出，所行驶路程和花费时间统计图． (1)甲车的速度是______千米/小时． (2)乙车开出去几小时两车相遇？ (3)两车相距多少千米？ 【答案】(1)； (2)乙车开出小时后两车相遇； (3)时两车相距千米． 【分析】本题主要考查了从函数的图象获取信息． （1）根据统计图可得甲车到达目的地的时间，以及A、B两地的距离，再根据速度等于路程除以时间即可求出甲车的速度； （2）同（1）求出乙车的速度，进而可求出相遇的时间； （3）求出时两车行驶的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：由统计图可得，甲车从A到B需要4小时，乙车从B到A需要3小时，且A、B两地相距360千米， ∴甲的速度为千米/小时， 故答案为：； （2）解：乙的速度为千米/小时， 小时， 答：乙车开出小时后两车相遇； （3）解：千米，千米， 千米， 答：时两车相距千米． 【变式训练11 动点问题的函数图象】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏·月考）如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、函数图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键．过点作于点，先根据函数图象可得，，，再利用勾股定理可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由函数图象可知，，，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴的面积是． 故答案为：84． 3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． (1)小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； (2)当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． (3)求小丽出发多长时间后，两人相距． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，能从图象获取信息是解题的关键． （1）由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形，据此根据路程等于速度乘以时间先求出小丽的速度，进而求出小明的速度即可； （2）根据（1）所求分别求出小明和小丽到达终点需要的时间，再求出小明到达终点时，小丽的出发时间，以及此时二人的距离，据此补全函数图象即可； （3）分三种情况求解：①小丽出发，而小明还未出发；②小明出发，但两人还未相遇；③小明追上小丽后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形， ∴小丽的速度为， ∴小明的速度为； 故答案为：；． （2）解：小明到达终点需要的时间为， 小丽到达终点需要的时间为， ∴小丽出发6小时时，小明到达终点，此时二人相距， 如图所示，即为所求． （3）解：当小丽出发，而小明还未出发，若两人相距，小丽已经出发了； 当小明出发，但两人还未相遇时，若两人相距，则 ，解得； 当小明追上小丽后，若两人相距，则， 解得； 综上所述，小丽出发或或时，两人相距． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 【变式训练12 函数的三种表示方法】 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【详解】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 2．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【答案】(1)随着的升高，在降低 (2)3 (3)， 【分析】本题主要考查函数的表格表示法的识别能力，函数的表示法有：解析式法，图象法，表格法，都需要熟悉并熟练掌握． （1）根据表格数据，距离地面越远，温度越低，所以随着h的升高，t在降低； （2）根据表格求解即可； （3）根据规律，高度每升高1千米，温度降低求解即可． 【详解】（1）解：随着的升高，在降低． （2）解：由表格可知，当高空温度是，此时距离地面3千米． （3）解：∵根据表格可得，高度每升高1千米，温度降低， ∴， 当千米时，℃； 4．（2025·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)六五折 【分析】（）根据表格，描出其余各点，再用平滑曲线连接起来即可； （）根据（）中的图形即可判断求解； （）根据表格数据得出A商品八折时的销售涨幅，再根据这个数据对照表格即可求解； 本题考查了函数的图象及应用，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，随的增大涨幅变化很大，随的增大涨幅比较平缓， ∴商品是必需品， 故答案为：； （3）解：由图象可知商品八折时，即时的值约为，而当的值约为时，值约为，所以商品打六五折． 1．（24-25八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此分析每一选项即可得出答案． 【详解】A． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；   B． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；    C． 对于x的每一个取值（），y都有两个值，不是函数，故选项正确，符合题意；   D． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了函数的定义，一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下表反映的是某地区用电量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系： 用电量x（千瓦时） 1 2 3 4 … 应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 … 下列说法：①x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数；②用电量每增加1千瓦时，应交电费增加0.55元；③若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元；④若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时，其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断①，通过表格求出应交电费与电量的变化规律求出每一千瓦时的电费，然后判断②③④三项即可． 【详解】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y随x的变化而变化，故y是x的函数，此项正确； ②从表格可以看出，用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故此项正确； ③若用电量为8千瓦时，则应交电费元,故此项正确； ④若所交电费为2.75元，则用电量千瓦时，故此项不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的相关知识，题目难度不大，根据图表列出函数关系是解决本题的关键． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①，故原说法错误； ②，正确，符合题意； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意； ④函数中，当时，，正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数． 5．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图所示，长为2宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形；设穿过的时间为t，正方形除去矩形面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，分三个阶段分析，得出解析式，进而结合选项中的函数图象即可求解． 【详解】解：根据题意，①矩形向右未完全穿入大正方形，减小； ②矩形穿入大正方形但未穿出大正方形，不变； ③矩形穿出大正方形，增大． ④完全与大正方形没重合时，不变； 分析选项可得，A符合． 故选：A． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 7．（24-25八年级下·重庆江津·期末）某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数与入库所需的天数之间关系如下表： 每天入库吨数 500 250 100 50 … 入库所需天数 1 2 5 10 … 用式子表示与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，理解表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值的变化规律是正确解答的关键． 根据表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值的变化规律进行解答即可． 【详解】解：由表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值可得，，即入库的天数d与每天入库的吨数v的乘积相等， 所以入库的天数d与每天入库的吨数v成反比例关系， 设，所以， 所以入库的天数d与每天入库的吨数v的关系式为， 故答案为：． 8．（24-25八年级·全国·假期作业）农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为 米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【答案】840 【分析】观察表格数据可得y=20x，可得施工8天后y的值，进而求出未铺设的管道长度． 【详解】解：观察表格数据可知： y＝20x， 当x＝8时，y＝160， 所以未铺设的管道长度为：1000﹣160＝840（米）． 故答案为：840. 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 9．（2025·湖北武汉·二模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 10．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为x米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米．    （1）写出买地砖需要的钱数y（元）与x（米）的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）； （2）当时，地砖的费用为 元． 【答案】 8820 【分析】（1）先求出小路的面积，然后根据买地砖需要的钱数小路的面积每平方米地砖的价格，进行计算即可解答； （2）把代入（1）中所求的关系式进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得：两条小路的面积为：米， ， 故答案为：； （2）当时，（元， 答：当时，地砖的费用为8820元． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题目的已知条件结合图形求出小路的面积是解题的关键． 11．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 【答案】(1)圆柱的高；圆柱的体积 (2) (3)体积增加 【分析】（1）根据函数的自变量，因变量分析解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算解答即可； （3）根据时，；时，；计算体积增加解答即可． 本题考查了函数的自变量，因变量，圆柱体积，正确额定义，掌握圆柱体积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得自变量是圆柱的高；因变量是圆柱的体积， 故答案为：圆柱的高；圆柱的体积． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据题意，得当时，； 当时，； 故体积增加． 12．（25-26九年级上·陕西西安·月考）按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x来表示餐桌的张数，y来表示可坐人数，则随着餐桌数的增加： (1)写出y与x之间的关系式； (2)当时，求可坐人数． 【答案】(1) (2)当时，可坐34人 【分析】本题考查探究规律，列函数关系式，求函数值．根据图中所给出的图形，得出规律是解答本题的关键． （1）根据所给图形总结规律，每增加一张桌子，增加4张椅子，据此可得到y关于x之间的关系式； （2）把代入（1）中的式子，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时，； 当时，； 当时，； 由此类推，每增加一张桌子，增加4张椅子，可得， ∴y与x之间的关系式为． （2）解：当时，， 即当时，可坐34人． 13．（24-25八年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【答案】(1)22 (2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致 (3)18分钟 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系， （1）根据表格可知从55min开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果； （2）根据表格数据描述特点； （3）结合表格数据分析求解． 【详解】（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃， ∴当天的室温大概是22℃； 故答案为：22． （2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． 14．（24-25八年级下·河北唐山·期末）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车在上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小明出发后，到达离乙地的地方，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)求小明骑车在上坡、平路、下坡的速度分别为多少； (2)小明在乙地休息了多少h； (3)直接写出点C、D、E、F的坐标． 【答案】(1)上坡，平路，下坡 (2) (3)；；； 【分析】对于（1），根据上坡所用的时间0.2h，路程为6.5-4.5=2km，求出速度，即可得出平路和下坡的速度； 对于（2），先求出平路所用时间再乘以2，再求出下坡所用时间，然后用总时间减去各段时间，即可求休息时间； 对于（3），根据上述解答过程确定各点的横纵坐标即可． 【详解】（1）小明骑车上坡的速度为：， 小明在平路上的速度为：， 小明在下坡的速度为：； （2）小明在平路上所用的时间为：， 小明在下坡所用的时间为：， 所以小明在乙地休息了：； （3）点C的横坐标是0.2+0.3=0.5，点D的横坐标是0.5+0．1=0.6，点E的横坐标是0.6+0.3=0.9，纵坐标是4.5，点F的纵坐标是6.5， 所以；；；． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，从图像中获取信息是解题的关键． 15．（2025·北京房山·一模）如图，为半圆，O为圆心．点C是半圆上一动点，过点C作于点D．已知，设弦的长为x，的面积为y（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表： x 0 1 1.5 2 2.5 3 3.45 3.5 3.8 3.9 4 y 0 0.12 0.39 0.87 1.52 2.23 2.60 2.59 2.13 1.62 m m的值为________； (2)建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为2时，的长度约为________（精确到0.01） 【答案】(1)0 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，正确的画出函数图象是解题的关键： （1）当时，点与点重合，即可得出的值； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象进行估算即可． 【详解】（1）解：当时，点与点重合， ∴； 故答案为：0； （2）描点，连线，画出函数图象，如图： （3）由图可知：当的面积为2时，则或 的长度约为或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的概念及表示（3个知识点+12大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 用描点法画函数图象 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知圆的周长C与半径r的计算公式为，则下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 . 知识点三：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·一模）已知，二次函数的部分对应值如下表，则时， ． 【核心考点一 用表格表示变量间的关系】 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【例3】（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 【例4】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水 ． 【核心考点二 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 【例3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ． 【例4】（25-26八年级下·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是 ． 【核心考点三 用图象表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级下·全国·周测）手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 【例2】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为 ，因变量为 ． 【例4】（24-25八年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【核心考点四 函数的概念】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）下列图像中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·河北保定·月考）在静止水体中，一般情况下随着水深的增加，水中含氧量降低．上述语段中，自变量是 ． 【例4】（25-26八年级下·全国·周测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是 （填序号）． 【核心考点五 函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克/个的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是 ． 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【例4】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为 ． 【核心考点六 求自变量的取值范围】 【例1】（2025九年级上·山东·专题练习）在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 【例2】（24-25八年级下·福建福州·期中）要使有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【核心考点七 求自变量的值或函数值】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）按如图所示的运算程序，当输入的x的值为时，输出的y的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知函数，当时，函数值，则 ． （只填最后结果） 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为 L． （2）行驶 km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为 L． 【核心考点八 函数图象识别】 【例1】（2026·湖北武汉·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【例3】（24-25八年级下·天津·月考）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【例4】（24-25八年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 【核心考点九 用描点法画函数图象】 【例1】（25-26八年级上·福建三明·月考）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·全国·课前预习）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 【例4】（24-25八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【核心考点十 从函数的图象获取信息】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）小明骑自行车去上学，所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（   ） A．小明家距学校4千米 B．小明提速后的速度为1千米/分钟 C．小明走完全程用了10分钟 D．小明上学的平均速度为0.4千米/分钟 【例2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图是一只小鸟在飞行过程中离地面的高度与飞行时间的对应变化情况，则这只小鸟前5秒飞行的最高与最低位置相差（    ）． A． B． C． D． 【例4】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知y关于x的函数图象如图所示，则当时，自变量x的取值范围是 ． 【例4】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，则梯形的面积为 ． 【核心考点十一 动点问题的函数图象】 【例1】（2025·甘肃金昌·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【例2】（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，学校的环形跑道是由两个直道和两个弯道组成，其中每个直道长约为，每个弯道长约为．小明在该环形跑道上晨练时，从一段直道的起点出发沿着的路线跑一圈后回到点．已知小明在每个直道上以的速度匀速跑步，在每个弯道上以的速度匀速跑步，下列函数图象中能够大致描述小明跑步的路程与跑步时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示． （1）当时， ． （2）当时， ． 【例4】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 【核心考点十二 函数的三种表示方法】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【例3】（24-25八年级·全国·假期作业）设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是 、 、 ． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是 ． 【变式训练1 用表格表示变量间的关系】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 4．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【变式训练2 用关系式表示变量间的关系】 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式             A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为 ．    3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【变式训练3 用图象表示变量间的关系】 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 3．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）小丽的爸爸开车回家，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系．    (1)根据图象判断，这辆汽车行驶的路程和耗油量成 比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【变式训练4 函数的概念】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 4．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况． 速度v(千米/时) 50 100 b 400 视野f(度) a 40 20 10 (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____； (2)结合图象，表格中_____， _____； (3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______； (4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量． 【变式训练5 函数解析式】 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形．为了方便进出，在边上留了一个米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．    3．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． (1)写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； (2)6h后池中还有多少水？ 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）将若干张长的长方形纸条，按如图所示的方法粘合成长纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整： 纸的张数 1 2 3 4 …… 10 …… 纸条的长度 40 116 154 …… …… (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①直接写出与间的表达式： ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ⑧小明能否用这样的小纸条粘合出长为的纸条，若能，通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸，若不能，请说明理由． 【变式训练6 求自变量的取值范围】 1．（24-25八年级上·重庆北碚·月考）函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【变式训练7 求自变量的值或函数值】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 4．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． (1)2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； (2)若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； (3)当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 【变式训练8 函数图象识别】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）．          3．（24-25八年级下·四川乐山·月考）一列动车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，两车同时出发，行驶的时间为 x（小时），两车之间的距离为y（千米） ，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离为 千米； (2)请解释图中点 B的实际意义； (3)动车和快车都匀速行驶，求动车和快车的速度；（保留解答过程） 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，甲，乙两名短跑运动员在一次100米赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：    (1)甲，乙两人中先到达终点的是 ； (2)乙在这次赛跑中的速度为 m/s． (3)当先到达终点运动员冲线瞬间，另外一名运动员与他的距离是 米． 【变式训练9 用描点法画函数图象】 1．（2025·浙江丽水·一模）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p．根据下表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70ml时，压力表读出的压强值最接近（    ） 体积V 压强 100 60 90 67 80 75 70 60 100 A．80kPa B．85kPa C．90kPa D．100kPa 2．（2025·江苏无锡·一模）如图1，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活．如图2是杆秤的示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如下一组数据，已知表中有一组数据错了． 秤砣到秤纽的水平距离（） 1 2 4 7 12 秤钩所挂物体重量（斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.50 若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为 斤． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 k ①______． ②若为该函数图像上不同的两点，则_______． (2)描点并画出该函数的图像． (3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为________． ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质：________． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数，当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 24 35 43 m 50 51 52 53 54 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为______时，y的值首次超过30； (2)写出表中______，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于40个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？ ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的5日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这5日中应安排小腾先进行几日的模拟练习？ 【变式训练10 从函数的图象获取信息】 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（    ） A．5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟 2．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客（中途有折返去商店购买礼物），下图是她本次去舅舅家所用的时间（单位：）与离自己家距离（单位：）的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的路程是____________，小红在商店停留了____________． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？ 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）如图是甲乙两车分别从A、B两地相向开出，所行驶路程和花费时间统计图． (1)甲车的速度是______千米/小时． (2)乙车开出去几小时两车相遇？ (3)两车相距多少千米？ 【变式训练11 动点问题的函数图象】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 2．（25-26八年级上·江苏·月考）如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． (1)小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； (2)当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． (3)求小丽出发多长时间后，两人相距． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【变式训练12 函数的三种表示方法】 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 2．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 4．（2025·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 1．（24-25八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下表反映的是某地区用电量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系： 用电量x（千瓦时） 1 2 3 4 … 应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 … 下列说法：①x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数；②用电量每增加1千瓦时，应交电费增加0.55元；③若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元；④若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时，其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图所示，长为2宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形；设穿过的时间为t，正方形除去矩形面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 7．（24-25八年级下·重庆江津·期末）某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数与入库所需的天数之间关系如下表： 每天入库吨数 500 250 100 50 … 入库所需天数 1 2 5 10 … 用式子表示与的关系为 ． 8．（24-25八年级·全国·假期作业）农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为 米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 9．（2025·湖北武汉·二模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 10．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为x米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米．    （1）写出买地砖需要的钱数y（元）与x（米）的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）； （2）当时，地砖的费用为 元． 11．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 12．（25-26九年级上·陕西西安·月考）按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x来表示餐桌的张数，y来表示可坐人数，则随着餐桌数的增加： (1)写出y与x之间的关系式； (2)当时，求可坐人数． 13．（24-25八年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 14．（24-25八年级下·河北唐山·期末）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车在上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小明出发后，到达离乙地的地方，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)求小明骑车在上坡、平路、下坡的速度分别为多少； (2)小明在乙地休息了多少h； (3)直接写出点C、D、E、F的坐标． 15．（2025·北京房山·一模）如图，为半圆，O为圆心．点C是半圆上一动点，过点C作于点D．已知，设弦的长为x，的面积为y（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表： x 0 1 1.5 2 2.5 3 3.45 3.5 3.8 3.9 4 y 0 0.12 0.39 0.87 1.52 2.23 2.60 2.59 2.13 1.62 m m的值为________； (2)建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为2时，的长度约为________（精确到0.01） 学科网（北京）股份有限公司 $