精品解析：湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

高二数学期末 命题人：肖伟军 审题人：师鑫龙 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列中，，，，则（ ） A. B. 9 C. D. 13 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为 A. B. C. D. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（ ） A. 的面积最大值为8 B. 的周长为12 C. 最小值为3 D. 的最大值为16 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左到右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，则下列说法正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B. C. 在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 D. 的前项和为 11. 已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为 B. 直线与抛物线有两个交点 C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中的常数项为______. 13 当直线与直线平行时，______. 14. 双曲线的光学性质为：如图1，从双曲线的右焦点发出的光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，分别为双曲线的左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则___________，该双曲线的离心率为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD中点，平面，，M为PB的中点. （1）求证：直线平面PCD； （2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值. 16. 设函数，曲线点处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数的极值点. 17. 已知等比数列为递增数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，证明：． 18. 如图，已知椭圆离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末 命题人：肖伟军 审题人：师鑫龙 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 数列中，，，，则（ ） A. B. 9 C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式依次推出第四项即可. 【详解】由，，，可得， 故选：A 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标. 【详解】由抛物线可得，故焦点坐标为. 故选：C. 3. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为，则，∵， ∴切线的斜率，则. 故选：B 4. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为第一排的站法有种，第二排的站法有种， 所以不同的站法有种. 故选：B. 5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内， ，所以点到平面的距离是. 故选：C 6. 过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出直线l的方程，求圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可． 【详解】过点且倾斜角为的直线为y-1=即, ∵圆，∴圆心（0，3），半径r=3， 圆心到直线l：的距离d==1， ∴直线被圆截得的弦长l=2=． 故选D． 【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式． 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，构造函数， 因为，由，得到， 由，得到，所以在区间上单调递减， 因为，，， 因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确， 故选：B. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（ ） A. 的面积最大值为8 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左到右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，则下列说法正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B. C. 在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 D. 的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前n项和记为，然后对各选项逐一分析即可. 【详解】在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是，A选项正确； 从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以， 为等比数列，，所以，故B错误； ， 所以的前n项和为 ，故D正确； 在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 ，故C正确. 故选：ACD. 11. 已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 抛物线焦点到准线的距离为 B. 直线与抛物线有两个交点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的坐标代入，解得，所以抛物线：， 对于A，焦点到准线的距离为，所以A正确； 对于B，由，，得直线的方程为， 联立得，得， 故直线与相切，只有一个公共点，所以B错误； 对于C，设直线：，，. 将：与：联立，得， 所以，，， 所以，所以C正确； 对于D，因为，所以D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中的常数项为______. 【答案】375 【解析】 【分析】根据展开式的通项计算. 【详解】展开式的通项为， 令，解得，故常数项为. 故答案为： 13. 当直线与直线平行时，______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行的条件列方程，再验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，两直线重合，所以. 故答案为：. 14. 双曲线的光学性质为：如图1，从双曲线的右焦点发出的光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，分别为双曲线的左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则___________，该双曲线的离心率为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，再由勾股定理结合正切值用表示出，从而建立关系式求出（用表示），可求得；然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率． 【详解】第一空：由题可知三点共线，，三点共线，如图，连接，， 设，则，因为，所以， 又，所以，， 所以，，所以， 得，则． 第二空：又，且，所以， 化简得，所以双曲线的离心率． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点. （1）求证：直线平面PCD； （2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为,连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案. 【小问1详解】 取的中点为,连接，则,且, ∴四边形是平行四边形，， 平面,平面, ∴直线平面. 【小问2详解】 因为平面PAB，平面PAB，则，， 以原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 设，则，．，则． ，，，，，, ，， 设平面的一个法向量为，则， 即 不妨令，得，，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 16. 设函数，曲线在点处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数的极值点. 【答案】（1） （2）极大值点为2，极小值点为 【解析】 【分析】（1）对函数求导，代入极值使导函数等于0，求实数，最后验证. （2）代入第一问，对函数求导，令导函数等于0，根据单调性验证极值. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， 因为在点处取得极值， 所以，所以，解得， 当时，，， 当时，，当时，， 所以为函数的极值点，满足题意，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 当时，，函数在区间上单调递减； 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 故的极大值点为2，极小值点为. 17. 已知等比数列为递增数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等比数列基本量的运算及为递增数列即可求解； （2）由（1）求出，然后利用错位相减求和法求出即可证明. 【小问1详解】 解：由题意，，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ① ② 得， 所以， 又因为，所以， 所以. 18. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为 （Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立， 【解析】 【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2. 又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1. 由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝. 因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4. 因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1. (3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0， 显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝. 同理可得|CD|＝. 则， 又k1·k2＝1， 所以. 故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|. 因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立． 考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得和，结合曲率的定义，即可求解； （2）根据题意，求得和，结合曲率的计算公式，求得，即可得到结论； （3）求得和，根据，得到，，令，得到和，转化为证明（注意），构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则， 所以． 【小问2详解】 解：由半圆，可得，则， 所以曲率， 即曲率是半径的倒数，由反比例函数的性质知，圆的半径越小曲率越大． 【小问3详解】 解：由函数， 可得，则， 由已知得，所以， 所以，， 两式相除，令， 则，，， 所以，同理可得：， 由， 所以即证，只需证（注意）， 设， 可得， 所以在递增，所以，所以成立， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $