20.2勾股定理的逆定理及其应用同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，则以a，b，c为边的三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 3．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学：．乙同学：和互余． 丙同学：线段的长为点到直线的距离． 丁同学：直线与直线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 5．如图，在中，，，，和的平分线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，．为的角平分线，的长度为(   ) A．2 B． C．3 D． 7．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 9．以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 11．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 12．分别以为边长作一个三角形，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 二、填空题 13．如图，在四边形中，，，，则度数为 ． 14．一个三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 . 15．如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为 ． 16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 17．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 三、解答题 18．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 19．在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由． (1)，，． (2)，，． 20．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 21．如图，在四边形中，，，，且． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求四边形的面积． 22．某校开设创意编程、3D模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 【素材一】如图所示，四边形是模型零件平面图． 【素材二】通过扫描测量，已知，，，，． 【问题解决】根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 23．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 24．如图，在中，，点为上一点，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 《20.2勾股定理的逆定理及其应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A A C A C A A 题号 11 12 答案 B B 1．B 【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求出a、b、c的值，求出，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】 以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 故选∶B． 【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出． 2．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，连接，根据网格特点，结合勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离，以及平行线的性质，进行判断即可． 【详解】解：连接， 由图可知：，故甲同学说法正确； 由勾股定理，得：， ， ∴， ∴不是直角三角形，是直角三角形， ∴和不是互余关系，故乙同学说法错误， ∴， ∴线段的长为点到直线的距离；故丙同学说法正确； ∵， ∴， ∴直线与直线互相垂直；故丁同学说法正确； ∴结论正确的有3个． 故选C． 4．A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 5．A 【分析】根据勾股定理逆定理，可以得出是直角三角形，，根据平分，平分，即可得出答案． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的定义，熟练掌握性质灵活运用是本题的关键． 6．C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到两边的距离相等以及勾股定理即可进行解答． 【详解】解：过点作于， ，，． ，， ， 是直角三角形， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理列出等式求解． 7．A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 9．A 【分析】根据勾股定理的逆运用即可求解． 【详解】解：选项，，不能构成直角三角形，符合题意； 选项，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项，，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆运用判定直角三角形，掌握勾股定理逆定理的运算方法是解题的关键． 10．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， 分两种情况： 如图1， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东， 如图2， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西， 故选：A． 11．B 【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数． 【详解】解：如图，找出点关于的对称点，连接、， ∵点关于的对称点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键． 12．B 【分析】本题考查三角形分类，勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理判断三角形类型． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故该三角形为直角三角形． 故选：B． 13． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14．84 【分析】根据得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式解答即可. 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，熟练掌握定理是解题的关键. 【详解】解：由， 故该三角形是直角三角形， 故直角三角形的面积为， 故答案为：84. 15．/45度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．/45度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，，， ∴且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 17．4 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 18．(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； （2）用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，则即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在中，， ∴， ， 在，， ∴， ， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）解：在中，， ， ∴是直角三角形，， ， ∴喷泉B到小路的最短距离为． 19．(1)是直角三角形．是直角．理由见解析 (2)是直角三角形．是直角．理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可； （2）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且 （2）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且． 20．(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可； （2）根据等积法求出线段的长即可． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：在中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知是直角三角形，且， 因为， 所以． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 又， ， ； （3）解：． 22．该模型零件平面图的面积为． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理.连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， 在中，，， ， 是直角三角形，． ， 即该模型零件平面图的面积为． 23．(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形田地的面积为，代入计算即可． （2）过点作于点．由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ． 在中，由勾股定理，得， （负值已舍去）． ， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为 ； （2）解：如图，过点作于点． 由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度． ， ， ， 解得， 这条水渠的最短长度为． 24．(1)是直角三角形，见解析 (2)的周长为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，从而得到，进而有，即可判断是直角三角形； （2）设，则，由已知得到，结合勾股定理得到方程，解方程得到，即，根据，从而得到的周长为． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由如下：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）设，则， ∵， 在中，，即，解得， ∴， ∴的周长为，即的周长为． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理及勾股定理是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $