第十九章二次根式 单元练习 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．当时，______． A．0 B．6 C． D． 2．若代数式有意义，则a的取值范围应是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形（无重叠、无间隔），已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 5．下面一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 9．计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 10．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．比较大小： ； （填“”或“”或“”） 14．计算的结果是 ． 15．若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ． 16．已知，那么＝ ． 17．分母有理化： ． 三、解答题 18．（1） （2） 19．计算： (1) (2) 20．计算： （1）；           （2）． 21．计算： (1) (2) (3) (4) 22．计算： (1)； (2)； (3)． 23．计算： (1)； (2). (3) (4) 24．阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 《第十九章二次根式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D A C C D C D 题号 11 12 答案 B C 1．A 【分析】先化简原式得，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴当x=-2时，原式， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式，绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数必须是非负数求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴a是非负数，即． 故选：D． 3．C 【分析】现将多项式化简，然后代入求解即可． 【详解】解：， 当时， 原式 ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查整式的化简求值及完全平方公式与二次根式的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 4．D 【分析】根据题目中的数据分别求出大长方形的长、宽、周长和面积，以此即可解答． 【详解】解：∵小长方形的长为、宽为， ∴大长方形的长为（故选项A正确）， 大长方形的宽为（故选项B正确）， 大长方形的周长为（故选项C正确）， 大长方形的面积为（故选项D不正确）． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式的性质及运算法则是解题关键． 5．A 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故此选项符合题意； B、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A ． 6．C 【分析】根据立方根的定义、算术平方根的定义、二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】A. ，故本选项不正确，不符合题意； B. ，故本选项不正确，不符合题意； C. ，故本选项正确，符合题意； D. ，故本选项不正确，不符合题意； 故选择：C 【点睛】本题考查立方根、算术平方根、二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 7．C 【分析】根据二次根式的性质以及运算法则求解即可． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质以及运算法则，熟练运用二次根式的性质化解是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，完全平方公式的非负性等知识点． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此建立方程，根据非负性求解，再验证解是否满足最简二次根式的条件，最后代入计算所求表达式的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查二次根式的运算；根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A． ，而非，错误． B． 表示算术平方根，结果为，而非，错误． C． ，正确． D． ，结果应为正数，而非，错误． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 11．B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数必须非负，解不等式即可． 【详解】要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数非负，即： 解得： 故选：B． 12．C 【分析】根据正方形面积求出阴影部分的长和宽，再求面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的长为＝4＝3（cm）， 宽为：cm， ∴阴影部分的面积为：3×＝6（）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是求出阴影部分的长和宽，准确运用二次根式乘法法则进行计算． 13． 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据可得第一空答案；根据，则，据此可得第二空答案． 【详解】解：∵， ∴；， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 14． 【分析】此题考查二次根式的乘法法则，直接利用计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于或等于0． 16． 【分析】根据代入计算即可； 【详解】∵， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值和分母有理化，准确利用平方差公式计算是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为： 18．（1）  （2） 【分析】（1）首先运算乘法和化简，再进行合并即可求解． （2）首先利用平方差公式以及完全平方公式化简求出即可． 【详解】原式 ； （2）原式 【点睛】此题考查实数的运算，二次根式的混合运算，正确应用乘法公式是解题关键． 19．(1)12 (2) 【分析】（1）原式先计算二次根式的乘方，再计算除法，最后合并即可； （2）原式先计算二次根式的乘方，再计算除法，最后合并即可． 【详解】（1） = = =； （2） = = 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．（1）；（2）2 【分析】（1）分别化简各项，再作加减法即可求解； （2）利用平方差公式展开，再作加减法即可求解． 【详解】（1）； ； （2）． ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用． 21．(1)2 (2)0 (3)-6 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可； （2）根据立方根，算术平方根的计算法则求解即可； （3）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，实数的计算，熟知相关计算法则和乘法公式是解题的关键． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题主要查了二次根式的乘法，二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)首先把括号内的二次根式化简，再合并，最后进行二次根式的除法运算，即可求得结果； (2)首先根据完全平方公式及二次根式的乘法进行运算，再合并，即可求得结果； (3)首先根据平方差公式、零指数幂的运算法则、二次根式的化简，进行运算，再合并，即可求得结果； (4)首先根据去绝对值符号法则，去绝对值符号，再进行二次根式的加减运算，即可求得结果. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及去绝对值符号法则，熟练掌握和运用二次根式各运算法则是解决本题的关键. 24．(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 学科网（北京）股份有限公司 $