江苏省镇江中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

江苏省镇江中学2024级高二上学期期末考试 数学 2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.三个数1,4，m成等比数列，m的值为() A.2 B.8 C.16 D.±16 2已知圆C+y少=1和C:x-分+)-}， 则两圆的位置关系是() A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 3已知椭圆c: =1的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是() 6+m4-m A.（1,4) B.(1,4) C.(-6,4) D.（-l,+o) 4.已知抛物线y2=2px(p>O)的焦点为F,抛物线上一点P(1,)满足PF=2,则抛物线方 程为() C.y2=2x D.y2=4x 5.函数y=(x)的导函数y='(x)图象如左图所示，则该函数y=∫(x)图象可能是() 扫描全能王创建 6.若函数f(x)=ax-x2+a在[山，2]上单调递减，则a的取值范围是（) A.[,+) B.(0.] c.居o) 7已知数列a,}满足a=-2,号品6≥2eN.则aw的值为() A.-2026×22026B.-2026×22m5 C.-2025×22026 D.-2025×22025 8已蜘双曲线C苦茶=o>06>0)的左顶点为4，左，右货点分别为，5，且5 关于它的一条渐近线的对称点为P,若以P为圆心，PF为半径的圆过原点，则双曲线的离 心率为（) A.2 B.5 c.5+1 D.√5+1 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知曲线C:3x2+4y=48,C,:x2-上=1，则() 3 A.C,的长半轴长为4 BC的渐近线方程为y=士5： C.C,与C,的离心率互为倒数 D.C,与C,的焦点坐标相同 10.下列求导正确的有() A 2xe2r-e2x B.[cos(2x+3)]=-2sin(2x+3) C.(log2x++3y=1-1 xIn2 x2 D.(x2sinx)=2xsinx+x2cosx 11.已知函数f(x)=xnx,则下列结论正确的是() A.函数∫(x)有且只有一个零点 B.若0<x<x2,则x+f(x)<x2+f(x2) C.若8(x)=f(x)a有两个极值点，则0<a< D.若f(x)≥ar-c2在(0，+o)上恒成立，则a≤-1 器 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，年小题5分，共15分 12.若两条直线2x+3y+1=0和x-my+4=0互相垂直，则实数m的值为 13.已知直线y=2x+1是曲线y=lnr+x+a的一条切线，则a= 14,已知椭圆二+上=1Om>0)的上，下焦点分别为F,万，抛物线2=2pp>0)的焦 m 9 16 点与椭圆的上焦点重合，过的直线交椭圆于A,B两点，AB最小值为5，则m的值为 点(xn,yn(n∈N)是该抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴 的交点为(x1,0),若x=2,则x206的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知函数f(x)=x3-x2, (1)求曲线y=f(x)在点(L,∫I)处的切线方程： (2)求函数f(x)的极值 16.已知圆C的圆心在直线2x+y-4=0上，且与y轴相切于点O(0,0), (I)求圆C的方程： (2)过点A,2V2)的直线与圆C相切，一个切点为M,求切线长AM: (3)已知过点P(1,3)的直线1被圆C截得的弦长为2√5，求直线/的方程， 器 扫描全能王创建 17.已知等差数列{an}的前n项和为Tn,a,=1，T;=25,数列{bn}的前n项和为sn, 3b=2S +1 ()求数列{an},{b}的通项公式： (2)求数列{an·bn}的前n项和Pn 注：(2)结果形式：（An+B)g”+C B配知猫圆E。+Q>b>0过点化码，腐心率为，直线与椭圆E相交FAB 两点，椭圆右顶点为C. (I)求E的方程： (2)直线经过椭圆上顶点，且斜率为-1时，求△CAB的面积： (3)当kc·kc=-2时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说 明理由， 19.函数f(x)=(x-1)e+m2,a∈R. (1)已知f'(I)=0,求a的值 (2)讨论∫(x)的单调性： (3)a<-1时，若f(x)的极小值点为， 证明：f(x)存在唯一的零点x1,且x-x。≥ln2. 器 扫描全能王创建 17.已知等差数列{an}的前n项和为Tn,a,=1，T;=25，数列{bn}的前n项和为sn, 3b=2S +1 ()求数列{an},{b}的通项公式： (2)求数列{an·bn}的前n项和Pn 注：(2)结果形式：（An+B)g”+C 8.已知椭圆E:× +点=(a>6>0)过点(L马)，离心率为5，直线与椭圆B相交于A,B 两点，椭圆右顶点为C. (I)求E的方程： (2)直线经过椭圆上顶点，且斜率为-1时，求△CAB的面积： (3)当kc·kc=-2时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说 明理由， 19.函数f(x)=(x-1)e+m2,a∈R. (1)已知f'(I)=0,求a的值 (2)讨论(x)的单调性： (3)a<-1时，若f(x)的极小值点为， 证明：f(x)存在唯一的零点x1,且x-x。≥ln2. 器 扫描全能王创建 江苏省镇江中学2024级高二上学期期末考试 数学答案 2026.1 1-5 CCADB 6-8 BAA 9.ACD 10.BCD 11.ACD 2.3 13.2 14.8,(204 四.解答题 15.(1)f(x)=x3-x2,f'(x)=3x2-2x,…2分 则f()=0,∫'()=1， …4分 所以点(，f()处的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0;…5分 (2)令f'(x)=0，=0,五=3 …7分 (法一： (-0,0) 0 2 f'(x) 0 0 f(x) 所以了倒的极小值为=-=子， 极大值为f(0)=0.…13分 (法二： 由了(>0，有x<0或x>子，区间(o,0叭.，+o)上/单词递增，…9分 由了()<0，有0<x<号，故在在@，上单调递减， …11分 所以f)的极小值为了原=-2=27，极大值为/o)=0.…13分 器 扫描全能王创建 16.【详解】(1)解：因为圆C与y轴相切于点O(0,0),所以圆心C在直线y=0上， 又因为圆C的圆心在直线2x+y-4=0上， 2x+y-4=0 x=2 由 ,解得 0即c20, … …2分 y=0 圆C的半径r=|0C=√22+02=2，…3分 所以，圆C的方程为(x-2)+y2=4.…5分 (2)AC=3,… …7分 切线长√… …8分 （3)解：设图心C到直线的距离为d,则d=仁-(2y=V2-3=1,…9分 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=1,此时d=1,满足条件：…11分 当直线1的斜率存在时，设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-3=k(x-), 即-y+3-k=0.… 因为圆心为C(2,0),所以圆心C到直线1的距离为d= 2k+3-_k+3到=1， Vk2+1Vk2+1 4 整理可得k2+6k+9=k2+1,解得k= 3 …13 所以，直线1的方程为4x+3y-13=0.…14 综上所述，直线l的方程为x=1或4x+3y-13=0.…15分 17.（1)d=2,…2分 所以an=a1+(n-1)d=2n-1:…3分 由3bn=2Sn+1, n=1,b=1 …4分 则3bm-1=2Sm-1+1(n≥2)， 两式相减可得3bn-3bn-1=2b,即bn=3bn-1,…5分 b1=1,所以L=3(n≥2)，…6分 bn-1 扫描全能王创建 {b}是以1为首项，3为公比的等比数列…7分 所以bn=3n-1…8分 (2)Tn=1×30+3×32+…+(2n-1)3n-1, 则3T= 1×31+3×32+…+(2n-3)3n-1+(2n-1).3n,…9分 得-2Tn=1×30+2×31+…+2×3n-1-(2n-1).3n, 则-2Tn=1+2×3x4-3m--(2n-1)·3m=-2+(2-2m·3m,…12分 1-3 所以Tn=1+(n-1)3.… …15分 18.【详解】(1)a=2,C=√3，…3分 则有b2=a2-c2=4-3=1, 所以椭圆E的方程为+y2=1……4分 (2)设直线：y=-x+1, 联立直线与椭圆方程得 (y=-x+1 x2+4y2=4 ,整理得5x2一8x=0…5分 83 0,,B(,-白6分 S=. …9分 (3)当直线斜率不存在时，直线的方程为x=号，过点（信，0）…10分 当直线斜率存在，设直线：y=kx+n,联立直线与椭圆方程得 {x2+4y2=4,整理得(1+4k2)x2+8x+4n2-4=0, (y=kx+n △=16(4k2-n2+1)>0, 名+双=器x=0 1+4k2 …l2分 knc kgc=y yakxia+kn)+n =-2 x1-2x2-2x1x2-2(x1+x2)+4 器 扫描全能王创建 4n2k2-4k28k2n2 =1+4k2-+4z+n2 n2-4k2 4n2-4, 16kn 4n2+16kn+16k2 1+4z+1+4软2+4 整理得28k2+32kn+9n2=0,即(14k+9n)(2k+n)=0, 所以n=-号k或n=-2k,…15分 当n=-2k时，直线：y=kx-2k过点(2,0)，不满足题意， 当n=-普k时，直线：y=kx-号k=k(x-)过定点（信，0） 综上可知，直线过定点（告，0小… …17分 (3)法二：依题直线AB不过点C,则设直线AB方程为 m(x-2)+y=1,A(x,h),B(2:y2) 方程x2+4y2=4化为(x-2)+2+4y2=4,整理有(x-2)2+4(x-2)+4y2=0 联立直线方程，(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+y]+4y2=0 ……12分 整理可得： 4、y2 4ny。+1+4m=0, (x-2)2 x-2 从而1222=+m=-2,解得m= …15分 x1-2x2-24 4 9 所以直线AB的方程为-三(x-2)+y=1, 4 所以直线EF过定点台o。 17分 19.(1)f'(x)=xe+2ar=x(e*+2a）…1分 a=-…2分 2 (2)f'(x)=xe+2ax=x(e+2a), ①若a≥0，由e+2a>0,则x∈(0，+oo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： x∈(-oo,0)时，"(x)<0,f(x)单调递减： …3分 扫描全能王创建 a<0时，令f'(x)=0,得x=0或x=ln(-2a), …4分 ②若a<,则xe(-o,0)或x∈a(-2a,+o)时，f)>0,f)单调递增： x∈(0，ln(-2a)时，f()<0,f(x)单调递减： …5分 ®若a=-之，则f)≥0在R上恒成立，f)在R上单调递增： …6分 ④若-2a<0,则x∈(-0，血-2@》或x∈0，o)时，∫(>0，单调递增 x∈(n(-2a),0)时，f"(x)<0,f(x)单调递减.…7分 (3)由(1)知，a<-1时，f(x)在(-o,0),在(0，ln(-2a)上单调递减，极大值 f(0)=-1<0,故f(x)在x∈(-o,n(-2a)上无零点，…8分 f(x)在(n(-2a)+o∞)上单调递增，至多一个零点；…9分 又f(I)=a<0, …10分 因为x>0,二=02，故≥ >1，,则e>x2 4 f1-a)=-a(e-)-(1-a))>0, …12分 (其他找点酌情给分) 又f(x)在(1，+o)上图象不间断，所以f(x)存在唯一的零点x,且x>1,…13分 满足f(x)=(x1-1)e+ax2=0, 化简得，2(x-1)e=-2ax2, .ln(2x-2)+x=ln(-2a)+2lnx,即ln(-2a)=n(2x-2)+x,-2lnx, x-x=x-ln(-2a)=2lnx-ln(2x1-2),…15分 设g(x)=2nx-ln(2x-2),x>1, gx)=2-1=x-2 xx-1x(x-1)' 当x∈(2，+o)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 器 扫描全能王创建