8.3实数及其简单运算 同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

8.3实数及其简单运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．实数，3.14，0，，，，0.1616616661，在这7个数中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 3．下列四个数：，，，，其中最小的数是（    ） A． B． C． D． 4．对实数a、b，定义运算，已知，则m的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 5．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 6．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．定义一种运算：当时，；当时，．如，．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 9．已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的值 ． 12．规定一种新运算：，例如：．若，则的值为 ． 13．计算：（1） ； （2） ． 14．计算：= ． 15．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 三、解答题 16．把下列各数填在相应的大括号内： -2.5，0，，，-2，－0.，8，1.121121112…，． 无理数集合：{                           …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合{                           …}． 17．下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 18．如下图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，并把下列实数用“”连接起来． ，，0，，2， 19．把，，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“＜”号连接． 20．对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 21．如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点． (1)图中点表示的数为________，点表示的数为________． (2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ． (3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值． 22．估算下列数的大小： （1）（结果精确到）； （2）（结果精确到）． 《8.3实数及其简单运算》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D B B C B B A 1．D 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数为：，， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查实数与数轴，根据实数与数轴上的点一对一对应，进行判断即可． 【详解】解：与数轴上的点一一对应的数是实数 故选D． 3．A 【分析】本题考查实数的大小比较，比较负数的大小，绝对值越大，值越小，因此计算各数的绝对值并比较大小即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴， 故最小的数是 ． 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了新定义运算，利用平方根解方程，解题的关键是根据题意得出m的方程．根据题意列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在3到4之间， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了新定义，解不等式，分若，即和若，即两种情况分析即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：若，即恒成立， ∴， ， 若，即， ∴， ∴无解， 综上可得：， 故选：． 9．B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 11．5 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、有理数的加减运算，掌握算术平方根的定义、立方根的定义是解决此题的关键．本题先依次计算36的算术平方根、27的立方根、的算术平方根，再将结果加减即可. 【详解】解：原式 ； 故答案为：5 ． 12． 【分析】本题考查的知识点是新定义下的实数运算及解一元一次方程，解题关键是理解新运算的计算方法，求出所求式子的值． 先根据题目中的新运算，建立一个关于的方程，再解方程即可求解． 【详解】解：， 即， ， ． 故答案为：． 13． 1 【分析】本题主要考查了实数的运算． （1）先计算出立方根，算术平方根，然后再计算减法即可． （2）先计算出立方根，算术平方根，然后再计算减法即可． 【详解】解：（1） （2）， 故答案为：1；． 14．/ 【分析】本题考查了主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．首先因为，所以，又因为，所以可得：原式，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查了实数的大小比较． 先估算出的范围，再与比较即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．见解析 【分析】根据无理数为无线不循环小数，整数包括正整数、0、负整数；负分数包括负有限小数与无限循环小数等，依次判断即可． 【详解】解：无理数集合：{，1.121121112…}； 整数集合：{0，-2，8}； 负分数集合{-2.5，－0.，}． 【点睛】题目主要考查有理数的分类，理解无理数、整数及负分数的定义是解题关键． 17．见解析 【详解】解：①第一个错．因为0.0662＝0.004 356，所以估算错误． ②第二个错．因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，即小于10，所以估算错误 ③第三个错．因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以应比60小，所以估算错误 18．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是0，点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是．． 【分析】首先估算无理数，然后根据数轴上的点与实数的对应关系写出答案即可． 本题考查了数轴上的点与实数的对应关系，数轴上每个点都表示一个实数，反过来，每个实数都可以用数轴的一个点表示． 【详解】根据题意得，点表示的数是0，点表示的数是2， ∵ ∴点表示的数是， ∵ ∴ ∴点表示的数是， ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数是， ∵ ∴点表示的数是 ∴由数轴得，． 19．数轴见解析，． 【分析】利用绝对值和无理数的近似值化简再用数轴上的点表示各数，利用数轴上的数右边的总比左边的大用“＜”号将个连接即可． 【详解】解：∵， ∴将各数在数轴上表示出来如下： 将各数用“＜”号连接如下： ． 【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值，实数大小的比较，利用数轴上的数右边的总比左边的大解答是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 21．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了运用数轴上的点表示无理数，平方根，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先由题意得该半圆的半径为，再运用数轴知识进行求解即可； （2）先求出大正方形的面积为，再减去两个长方形的面积求得中心小正方形的面积，最后运用平方根知识进行求解即可； （3）先利用平方根的以及二次根式的性质等知识求得、、，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积为， 小正方形的对角线为， ， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，大正方形面积为，两个小长方形面积为， 小正方形的面积为， 小正方形的边长为，即小长方形的对角线的长度为； （3）解：，，均为实数，且满足，， ，， 为图中拼成的正方形的边长的小数部分， ， 当，，时，； 当，，时，； 综上所述，的值为或． 22．（1）约为；（2）约为． 【分析】（1）根据无理数的估算方法，先估算在哪两个整数之间，再取中间值计算逐步进行估算即可； （2）先估算在哪两个整数之间，再取中间值计算进行判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $