寒假作业05函数的基本性质-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

寒假作业05 函数的基本性质 要点回顾 知识点1 函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 (1)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. (2)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (3)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 3.利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 知识点2 函数的最大值和最小值 1.函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m；(2)∃x0∈D，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 2.利用单调性求最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 知识点3 函数奇偶性的概念 1.偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 3.判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法. (2)图象法 (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 4.函数奇偶性的图像对称性的拓展 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ f(a＋x)＝－f(b－x) 知识点4 函数奇偶性的应用 1.利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 2.根据函数的奇偶性求函数的解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 3.函数的奇偶性与单调性的综合应用 类型1　比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 5.比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2　解不等式 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 题型巩固练 一、题型一 单调性的定义与证明 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 3．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是一次函数，且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明． 二、题型二 已知单调性求参数 5．命题在上为单调增函数. 命题（）在R上为单调递增函数，则命题P是命题Q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 7．若是上的单调函数，则实数的取值范围为 . 8．已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为 ． 三、题型三 利用单调性比较大小 9．已知函数的定义域为，则“在区间上单调递减”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 四、题型四 利用单调性求最值 12．函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 13．若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 14．函数在区间上的最大值为 . 15．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 五、题型五 奇偶性的定义 16．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 17．下列判断正确的是（    ） A．函数既是奇函数又是偶函数 B．函数是非奇非偶函数 C．函数是偶函数 D．函数是奇函数 18．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 19．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 20．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为 六、题型六 图像问题 21．函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 22．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 23．函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 24．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 七、题型七 解不等式 25．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是 . 29．已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 30．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值；(2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 能力提升练 一、单选题 1．下列四个函数中，是偶函数又在是单调递增的为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 3．设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（    ） A．4 B．-4 C．10 D．-10 4．已知二次函数的图象关于轴对称，且在区间上为增函数，下列关于，，之间的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知奇函数在上是增函数，且，，则函数在上的最大值是（    ） A．6 B． C．7 D． 6．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 9．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是减函数 三、填空题 10．函数的单调递增区间为 ． 11．已知偶函数的定义域为，且当时，，当， ． 12．定义在的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 ． 四、解答题 13．已知奇函数的定义域为R，当时，． (1)求的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 14．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围. 15．已知定义在上的函数满足：①；②当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为减函数； (3)求不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业05 函数的基本性质 要点回顾 知识点1 函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 (1)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. (2)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (3)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 3.利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 知识点2 函数的最大值和最小值 1.函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m；(2)∃x0∈D，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 2.利用单调性求最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 知识点3 函数奇偶性的概念 1.偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 3.判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法. (2)图象法 (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 4.函数奇偶性的图像对称性的拓展 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ f(a＋x)＝－f(b－x) 知识点4 函数奇偶性的应用 1.利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 2.根据函数的奇偶性求函数的解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 3.函数的奇偶性与单调性的综合应用 类型1　比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 5.比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2　解不等式 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 题型巩固练 一、题型一 单调性的定义与证明 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 2．已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【分析】根据函数的图象，利用单调性、值域与图象的关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 3．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 4．已知函数是一次函数，且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用“待定系数法”求函数的解析式. （2）先判断函数在给定区间上的单调性，再利用单调性的定义证明. 【详解】（1）因为函数为一次函数，可设，. 由， 由. 所以. （2）由题意：，在上单调递增，证明如下： 设， 则 . 因为，所以，， 所以，所以，即. 所以函数在上单调递增. 二、题型二 已知单调性求参数 5．命题在上为单调增函数. 命题（）在R上为单调递增函数，则命题P是命题Q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】由二次函数在给定区间上的单调性可得，解得；根据分段函数的单调性判断方法可得，最后由充要条件的判断方法即得答案. 【详解】由在上为单调增函数， 因，则需使，解得，又，故得 即命题等价于； 而由（）在R上为增函数， 可得函数在上单调递增，在上单调递增， ，则，即命题Q等价于. 故命题P是命题Q的充要条件. 故选：C. 6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的图像求解. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故答案：. 7．若是上的单调函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由反比例函数和一次函数的单调性判断. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以函数是上的单调递减函数， 故在上单调递减， 所以，且， 即. 故答案为： 8．已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在 上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1） 在 上恒成立； （2） 在 上单调递减. 二次函数 开口向下，对称轴为 ， 为使 在 上单调递减，只需； 同时， 在 上恒成立， 由于 时 在 上递减，最小值在 处取得， 故需 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 . 故答案为： 三、题型三 利用单调性比较大小 9．已知函数的定义域为，则“在区间上单调递减”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合函数单调性的定义判断. 【详解】若在区间上单调递减，且，则，充分性成立； 若，则在区间上不一定单调递减，如函数， ，满足，但在上单调递减，在上单调递增，故必要性不成立， 故“在区间上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 11．已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 四、题型四 利用单调性求最值 12．函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 13．若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 14．函数在区间上的最大值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性，结合最大值的定义进行求解即可. 【详解】，该二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以该二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为， 所以， 因此该二次函数在区间上的最大值为. 故答案为： 15．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由函数的值域为，分三种情况结合对勾函数性质求解即可. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 五、题型五 奇偶性的定义 16．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性可判断ABC选项；利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数，且在定义域内不单调，A不满足条件； 对于B选项，函数为非奇非偶函数，且在上为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数为奇函数，且在上为减函数，C不满足条件； 对于D选项，设，该函数的定义域为， ，，故函数为奇函数， 因为，则函数在、上均为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为增函数，D满足条件. 故选：D. 17．下列判断正确的是（    ） A．函数既是奇函数又是偶函数 B．函数是非奇非偶函数 C．函数是偶函数 D．函数是奇函数 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义和性质，逐项判断即可. 【详解】解：对于A，，所以，故函数是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 所以，则为奇函数，故B错误； 对于C，函数定义域满足，定义域不关于原点对称， 则函数非奇非偶，故C错误； 对于D，函数的定义域为， 所以，则函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 18．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 19．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：1 20．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为 【答案】 【分析】根据题意，由函数是定义在上的奇函数，得到，求得当时，的解析式，进而求得的解析式，得到答案. 【详解】设，可得， 因为当时，，可得， 又因为是定义在上的奇函数，则， 所以当时，可得， 所以在上的解析式为 故答案为：. 六、题型六 图像问题 21．函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义判断该函数为奇函数，可以排除C，D选项，通过计算得到函数一个零点为，再取区间内的特殊值验证函数值正负即可判断选项A，B. 【详解】因为，且， 所以为奇函数，故选项C，D错误； 令，即，解得或， 取，则，通过图像判断选项A正确， 故选：A. 22．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A 23．函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 24．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象，结合各个选项的函数，逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，由，得，不符合函数图象，所以选项A错误， 对于选项B，因为，且的定义域为， 关于原点对称，所以是奇函数，不符合函数图象，所以选项B错误， 对于选项C，因为的定义域为，不符合函数图象，所以选项C错误， 对于选项D，解析式符合图象特征. 故选：D. 七、题型七 解不等式 25．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，且函数是定义在上的减函数， 则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B 26．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 27．已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 28．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】首先求解和的解集，再求解不等式或. 【详解】由条件可知，在单调递增，且在单调递减， 所以，或， 所以不等式，等价于或， 解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 29．已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可得b值，将点坐标代入，可得a值. （2）由（1）得的解析式，利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，即可得证 （3）根据的奇偶性和单调性，结合定义域，可得不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）因为在定义域上为奇函数， 所以，解得， 又，所以，解得. （2）由（1）得，， 则在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增 （3）因为在上单调递增，且为奇函数， 由，得， 所以，解得. 30．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2)函数是偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 能力提升练 一、单选题 1．下列四个函数中，是偶函数又在是单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对ABC，根据解析式由函数性质判断即可；对D，由定义判断奇偶性，在，即可判断单调性. 【详解】对A，为指数函数，不是偶函数，在单调递增，A错； 对B，为余弦函数，是偶函数，周期为，故在无单调性，B错； 对C，为幂函数，是奇函数，在单调递增，C错； 对D，，由得函数为偶函数，在，单调递增. ，D对. 故选：D 2．已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和性质求解计算即可. 【详解】因为当时，， 当时，，此时. 因为为奇函数，所以，所以. 即时. 所以. 故选：C. 3．设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（    ） A．4 B．-4 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可得，进而求值即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且时， 所以，解得，故时，， 所以. 故选：A 4．已知二次函数的图象关于轴对称，且在区间上为增函数，下列关于，，之间的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由二次函数关于轴对称可知，再由函数在区间上单调递增得出结果. 【详解】因为二次函数的图象关于轴对称， 所以； 因为函数在区间上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 5．已知奇函数在上是增函数，且，，则函数在上的最大值是（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的单调性和奇函数的定义进行求解即可. 【详解】因为奇函数在上是增函数， 所以函数在上也是增函数. 所以函数在上的最大值是. 故选：B 6．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性的性质，结合一次函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以. 故选：D 二、多选题 8．已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D. 【详解】对于A，由题意知，是奇函数， 当时，则，所以， 故此时，A错； 对于B，因为是上的奇函数，所以，B正确； 对于C，由上述可知时，， 任取，且， 则 ， 因为， 所以，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减，C正确； 对于D，当时，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 9．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是减函数 【答案】ACD 【分析】对于选项B，令，，代入，计算得解；对于选项A，令，，代入，计算得解；对于选项C，令，代入，计算得，求出，根据奇函数的定义得解；对于选项D，将转化为，由从而得到的单调性. 【详解】， 对于选项B，令，，则有， 即，解得，又，故； 令，，则有， 即：，又， 则，即，又，则，故B错误； 对于选项A，令，，则有， ，又，则，即，故A正确； 对于选项C，令，则有， 即，，， ，，为奇函数，故C正确； 对于选项D，，， 是单调递减函数，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【分析】先求出函数定义域，构造反比例函数，利用反比例函数性质得出的单调性，进而得出的单调性及单调区间． 【详解】函数中，故定义域为和， 令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减， 在定义域和内单调递增， 的单调递增区间为和． 故答案为：和． 11．已知偶函数的定义域为，且当时，，当， ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 12．定义在的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据题设条件判断函数在上的单调性，得，将所求不等式变形为，分、两种情况讨论，利用函数的单调性求解即得. 【详解】因为定义在的奇函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 因为，则， 则等价于， 当时，由，解得，则； 当时，由，解得，则. 因此不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知奇函数的定义域为R，当时，． (1)求的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用函数的奇偶性求解分段函数的解析式； （2）通过分析函数的单调递减，结合奇偶性将不等式转化为求解二次不等式恒成立问题，从而求解参数的取值范围． 【详解】（1）奇函数的定义域为，当时，， 当时，，则， 所以，则； （2）当时，，求导， 则在上单调递减， 因为是定义域为的奇函数，所以在上单调递减， 若对任意的，不等式恒成立， 则恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 所以，故实数的取值范围为． 14．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数为奇函数，证明详见解析 (2)证明详见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）根据函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为. 因为， 所以函数为奇函数. （2）任取，且， . 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数. （3）根据奇函数的性质，不等式可变形为， 因为函数在区间上是减函数，， 所以，即，解得. 故实数的取值范围为. 15．已知定义在上的函数满足：①；②当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为减函数； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，令，得到； （2）根据条件利用作差法以及函数单调性的定义证明即可； （3）因为函数在上单调递减，将等价为，再求解即可. 【详解】（1）令，代入得，故. （2）证明：任取，且，则，由于当时，， 所以，即，因此，所以函数在区间上是减函数． （3）因为函数在上单调递减，所以不等式等价于 ，解得，故原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $