四川泸州市2026届第二次教学质量诊断性考试数学试题

高2023级第二次教学质量诊断性考试 数学参考答案及评分意见 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查 内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；：如果后继部分的 解答有较严重的错误，就不再给分， 3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 答案 B B A C C D 0 C BD ACD BCD 二、填空题： 12.-2; 13.3; 14.(1,5). 三、解答题： 15.(1)设等差数列{an}的公差为d,则%=4+2d=5, ① …2分 因为a2是a和a5的等比中项， 所以a22=aa5,即(a+d)2=a1(a+4d), ②… …4分 将①代入②得，(5-d)2=(5-2d)(5+2d,… …5分 解得d=2（d=0舍去)，… …6分 所以4=1，所以an=a41+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1;…7分 (2)因为6=1=1 =11）,…9分 anam+1(2n-I0(2n+1)22n-12n+1 所以Sn=b+b2+…+bn, ）…10分 2 2n-12n+1 ）…11分 2n-12n+1 =1-,1 …13分 2 2n+12n+1 16.解：(1)由题意可知x=3,y=10,…2分 ∑4-0y-刃=2x3+1x2+1x1+2x4=,…3分 立6-识-2P+04P-2=10 4分 之6-0-列 所以6= =1.7, 10 …5分 立时 a=-6标=10-1.7×3=4.9. …6分 所以y关于x的线性回归方程为少=1.7x+4.9,…7分 令=17+49>20，得x>号，所以x的最小整数为9,2020+9=2029。 所以该工坊油纸伞的销量最早在2029年能超过20万把：…8分 2)2023年每把油纸伞线上售出的概率为p名0- …9分 …10分 所议PX=0=c839°=高 …11分 P(x-D- …12分 Px=2=c9- …13分 PX=-3)=C 27 …14分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 36 54 27 P 125 125 125 125 …15分 17.解：(1)因为四边形ABCD为正方形， 所以CD L AD,… …1分 且平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,…3分 4 所以CD⊥AE,…4分 又因为AD=AP,E是PD的中点， 所以AE L PD,…5分 且CD∩PD=D,CDc平面PCD,PDc平面PCD, 所以AEL平面PCD;…6分 (2)因为CD⊥平面PAD、ABIICD, …·“·如面D4D,所以AB⊥AD,AB⊥PA,7分 所以∠PAD是二面角P-AB-D的平面角，即∠PAD=I20°，…8分 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-)z, 则A(0.0.0)、B(2,0.0),C(2,2,0)、D(0.2,0)、P0.-1.V3), 所以AB=(2,0,0),DP=(0.-3.V3)、CP=(-2,-3,V3),…9分 设DE=2DP=(0,-32,V32)、2∈[0.， 则AE=AD+DE=(0.2-3元，V32),…10分 设面ABE的法向量为m=(x,y,z), m·AB=2x=0 则 mAE=(2-32)y+V3z=0 设y=V3以，则m=(0,V32,32-2), …12分 记直线CP与平面ABE所成的角为O. -352+5(32-2) s如0-os<m>2+3+W×5列+6a-29 5 …13分 4V32-3λ+1 5 所以当入=时，sim0有最大 43x(2-3x+1 2, …14分 所以直线CP与平面ABE所成的角的最大值为60°.…I5分 18.解：0因为/约=a6x-0.1分 当a≤0时，∫'(x)>0,所以(x)在(-l,+o)上单调递增：…2分 1 当a>0时，由'(x)>0得：-1<x<-1+ …3分 a 所以了)在(-1，-1+上单调递增，在(-1+，四)上单调递减： …4分 (2)(i)g(x)=f(x)-asinx+ax=In(x+1)-asinx, 8(x)=1 -acosx............................... …5分 x+1 有ca,=+asmr在0受上单调递指，…6分 1 令h(x)= 二诊·数学答案第3页共6页 因为0=-1<0，分= +a>0 +12 …7分 所以存在k∈(0，使h)=0,当x∈(0，k)时，()单调递减，当x∈K,时， h(x)单调递增， …8分 因为g'(0)=1-a<0, g5= 1>0g)<g'(0)<0,.9分 +1 所以8)在区间(0，存在唯一的极值点0， 当x∈哈，)时，g>0、所以g()在，丙不存在极值点， 综上知g()在区间(0，)上存在唯一的极值点：…10分 (i)由(i)知0∈k,,所以2(2k,), 因为g(x)=ln(x+l)-asinx,所以g(2x)=ln(2x+l)-asin2x, 由()知g')=】 1 -acos,由g'(x)=0得a= …12分 +1 (xo+1)cosxo 所以g(2x)=ln(2x+1)- 2sinxo …13分 x+1 当0<x<时，设y=x-six,则y=l-cosx>0,所以y=x-sinx单调递增， 所以x-sinx>0,x>sinr, 所以g2,)>1hn(2+1)-26， …14分 x0+1 令t=h2x+0若，其中xec0, 品2an-a0 2x2 >0恒成立，…15分 所以m(,在(0，上单调递增，所以m(x)>m(0)=0, 即g(2x)>0成立. …17分 19.解：（1)直线1的方程为y=V3(x-1),…1分 联立y2=4x,得3x2-10x+3=0,…2分 二诊·数学答案第4页共6页 0 设4x,0>0)，B(x2,202<0),则为+为=3 …3分 所以Al=+2+2=10+2= …4分 3 (2)直线BE过定点(，0，证明如下： 设直线AB:x=my+1,直线DE:X=m2y+1,直线AD:：X=y+2, 分别联立y2=4x,得y2-4my-4=0,y2-4m2y-4=0, y2-4y-8=0,… …5分 设D(x3,3)0<0),E(x4y404>0), 所以+y2=4m,y2=-4,片+为=41，=-8， y3+y4=412,y3y4=-4,…6分 所以y2y4=-2,… …7分 设直线BE:x=my+Q,联立y2=4x,得y2-4my-4a=0,…8分 所以24=-4a=-2,得到a= …9分 所以直线BE过定点(，0)： …10分 (3)法-：p=4+2=2m1,则xp=2m2+1,得P2m2+1,2m), 2 同理可得0(2m22+1,2m2),设直线Pg:x=y+b,…11分 2m2+1=2mn+b,即m,m是方程2m2-2mm-b+1=0的两根， 则 2m22+1=2m2n+b1 所以%+m=n,mm=-b+ …13分 2 %专二1 由(2)知：m=当-， …14分 所以m+m=五+当=_4+12+1 少为 3 =21+%+h=21+红=3 …15分 为 -82 mm=1.专-1-+09+_1⅓+04+为)+121-b+1 4为 3 282 所以6=3-2， 4 SAapQ=12-bllyp-yo H2-blm-m2I-2-bl(m+m2)2-4mm2 =g2+3 2428 上（当且仅当1=0时，等号成立），…16分 所以Saae的取值范围为3W5 ,0∞）.…17分 二诊·数学答案第5页共6页 法二：先证公式：若O=),O丽=6，以)，则S0B=U2-, Ssin OB--0SZOB (04.8 =✉+a2+⅓)-6+0% =2V6G2P-2(D)+6Gy =26为-P=2k%-,…11分 由(2)知=-8，y2=-4,y24=-2, 所以为=2y4,为=2y,…12分 由，丝好+名空.6， 2244 8 8 m=+2-16+%）,M0=凸+2-16当+4，…14分 8 2 8 2 所以△MPQ的面积： s-非c+-102s+002+必2-1009*n】 =豆4+-162%+w)-4y2+2-162+2 =30-g+7%0s-%)4160-% =部0c-%)-140-g+160-2 =03-%+20y-g =602-%+04-½小 …15分 ≥+1-言*65- 8 当且仅当y4=-2=2时，等号成立， 所以咖心的取位范围为，切。 …17分 二诊·数学答案第6页共6页高2023级第二次教学质量诊断性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,3,4},则(CA0∩B= A.{3 B.{2,4} C.{2,3,4,6} D.{1,3到 2.在复平面内，复数牛对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.己知1og2(2“+2)=3,则44+4a= A.62 B.64 C.79 D.81 4.在等比数列{an}中，a2=3,ag=24,则a12= A.48 B.72 C.96 D.192 5.己知随机变量X服从正态分布N(4,o2),若P(X<5)+P(X≤-1)=1，则4= B.1 C.2 D.4 二诊·数学第1页共4页 6。已知(：-二》展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为 A.-60 B.-15 C.15 D.60 7,已知函数闭=(x+孕， 则下列结论正确的是 A,f(x)的最小正周期为1 B.+争是偶商数 C.f)的图象关于直线x=名对称 3 D.)在区间（号0）上单调递增 8.三棱锥P-ABC的底面ABC为正三角形，侧棱PA⊥底面ABC,若PA+AB=2,则该三棱锥外 接球表面积的最小值为 A. 3元 B. C. 16π D.327m 7 147 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知两组样本数据，2，为，x和，为，为，x4,y,其中y是x,为，为，x的中位 数，则这两组样本数据的 A.极差不相等 B.中位数相等 C.平均数相等 D.标准差可能相等 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=b(2cosA+1),则 A.A=2B B.a>2b C.a2=b2+bc D.1<9+2cosB<5 6 山.过双钱C:等若-a>Q6>0左货点P的直模！与园0：+=相切于点小与C 的一个交点为P,则 A.I与C一定有两个交点 B.点A在C的一条渐近线上 C.若|FAHAP,则C的离心率为√5 D.若FP=3AF,则S△oP=2ab 二诊·数学第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a=(x,),b=(1,1),若(2a+b)⊥b,则实数x= 13.已知椭圆C: x2,y2 京+厅=1a>b>0)的左、右焦点分别为R,R,上顶点为A,直线B与C 的另一个交点为B,若1BHB51,则B距的值为 IBFI 14.已知函数f(x)= 〔x-3x-xx>0,若函数g)=了-(-)恰有4个零点，则k的取值范 c,x<0 围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知{an}是公差不为0的等差数列，43=5，a2是a1和a5的等比中项 (I)求{an}的通项公式： 1 (2)记bn= 一，求数列{bn}的前n项和Sn, anan 16.(15分) 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长。该工坊 为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x(x=t-2020)》 1 2 3 4 5 销量万把 8 10 11 14 (1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测 该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： (2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023 年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量X的分布列. 24-0,-列 附：=x+ā为回归直线方程，= a=y-旅. 4-可 二诊·数学第3页共4页 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD,己知AD=AP=2, E是棱PD上的点. (I)若E是棱PD的中点，求证：AE⊥平面PCD: (2)若二面角P-AB-D的大小为120°，求直线CP与平面ABE 所成的角的最大值。 18.(17分) 已知函数f(x)=ln(x+l)-ax. (I)讨论f(x)的单调性： (2)设g(x)=f(x)-asinx+ar,且a>1.证明： (i)g(x)在区间(O,π)存在唯一的极值点xo: (i)对于(i)中的0，g(2xo)>0. 19.(17分) 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点(A点在x轴上方)， 点M(2,0),直线AM与C的另一个交点为D,直线DF与C的另一个交点为E, 1)若1的倾斜角为二，求|AB: 3 (2)探究直线BE是否过定点，若是，求出定点的坐标：若不是，请说明理由： (3)若线段AB,DE的中点分别为P,Q,求S△MPQ的取值范围. 二诊·数学第4页共4页