寒假作业：数列-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

寒假作业《数列》 2025-2026学年高二上学期人教A版数学选择性必修第二册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、数列的概念与简单表示法 1．已知数列，则是这个数列的第（    ）项 A．13 B．14 C．15 D．16 2．数列满足，则（    ） A． B． C． D． 3．数列，若，，则 . 4．已知数列满足，，则 ． 5．（多选）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 二、等差数列 6．已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 7．等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 8．已知数列的前项和是，且，求的通项公式. 9．下列说法中正确的是（    ） A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列， D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 10．已知为等差数列，，，则 ． 11．（多选）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（    ） A． B． C．(为常数) D． 12．已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 13．设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 14．在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； 15．设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（    ） A．13 B．35 C．49 D．63 16．已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 17． 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． 求的通项公式； 三、等比数列 18．等比数列中，已知，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 19．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则= A． B．7 C．6 D． 20．等比数列中，，，则与的等比中项是　　 A． B．4 C． D． 21．设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 22．记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列． 23．已知数列满足 (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求的前项和 四、数列求和 24．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 25．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《数列》课时训练 参考答案 题号 1 2 5 7 9 11 12 13 15 答案 A B BC D C BCD A C D 题号 18 19 20 21 答案 A A A A 1．A 【分析】由题可得数列通项公式，据此可得答案. 【详解】由题可得数列通项公式为：. 则令. 故选：A 2．B 【分析】根据递推数列先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，进而求得数列的通项公式，从而得出结果. 【详解】由题意，，又， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，. 故选：B. 3．43 【解析】根据题意，利用累加法求得. 【详解】由可得， ， ， ， 上式相加得，又， 可得 故答案为：43 【点睛】本小题主要考查累加法，考查运算求解能力，属于基础题. 4．/ 【分析】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ． 【详解】，， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， 所以． 故答案为：． 5．BC 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可. 【详解】对于A，，数列为递减数列，A错误； 对于B，，数列为递增数列，B正确； 对于C，，数列为递增数列，C正确； 对于D，， ，当为偶数时，， 数列不是递增数列，D错误. 故选：BC. 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题设易得，即可得到，结合等差数列的定义即可求证； （2）结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 7．D 【分析】设公差为d，根据条件，联立求得，代入公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D 8．（1）（2） 【分析】 （1）由数列的前项和公式求通项公式即可得出结论； （2）由与关系求通项公式即可得出结论； 【详解】（1）由可得， 当时，， 当时，, ∴经验证，当时也成立. 所以. （2）∵① ∴，得. ∴② ②－①得：，∴即， ∴，，，…，， ∴. 经验证，当时也成立. 所以. 9．C 【分析】选项A、B、D举反例即可判断，选项C可用等差数列的定义判断 【详解】对于A选项，成等差数列，但不成等差数列，故A错误； 对于B选项，成等差数列，但为不成等差数列，故B错误； 对于C选项，由于a，b，c成等差数列，故，则，即a+2，b+2，c+2成等差数列，C正确； 对于D选项， 成等差数列，但不成等差数列, 故D错误 故选：C 10． 【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可. 【详解】根据题意，可设等差数列的公差为， 又由，则，即， ，则，即， 则公差， 则， 所以． 故答案为： 11．BCD 【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解. 【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意； 对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意； 对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列， 故为等差数列，故选项C符合题意； 对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意， 故选：BCD. 12．A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以， 故选：A 13．C 【分析】根据题意可判断也是等差数列，进一步可判断数列为常数列，得解. 【详解】因为，都是等差数列，所以也是等差数列． 又因为，， 所以数列的公差为0，即数列为常数列． 所以的第37项为100. 故选：C． 14． 【答案】(1)，． (2) 15．D 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算即可. 【详解】∵为等差数列，∴， ∴. 故选：D. 16．(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列. 故，，故； （2）， ， 两式相减，得 ， ， ， ， 故. 17． 【分析】利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 18．A 【分析】由，，，成等比数列即可求解. 【详解】因为数列是等比数列， 所以，，，成等比数列， 且公比为，所以． 故选：A 19．A 【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝ 故答案为 考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想． 20．A 【分析】 利用等比数列的性质可得，即可得出． 【详解】 解：设与的等比中项是． 由等比数列的性质可得，． 与的等比中项． 故选：． 【点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 21．A 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由题意，，，，成等比数列，其公比为， 则. 故选：A. 22．（1）；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列． 试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，.故的通项公式为. （2）由（1）可得. 由于， 故，，成等差数列. 点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 23．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题干条件构造出，结合等比数列定义证明结论； （2）先求出的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，∴， ∵，∴， ∴ 令 两式相减， 所以 所以， 又， ∴ 24．(1) (2) 【分析】（1）利用数列通项和前n项和公式求解； （2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】（1）解：因为， 当时，， 两式相减得，因为，可得，， 令，可得，满足， 所以的通项公式为； （2）， 所以. 25．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用数列的递推关系式求出数列的通项公式. （2）利用错位相减法求出数列的和，根据不等式的性质可证明. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，两式相减得； 所以是，的等比数列， 故． （2）证明：因为， 所以① ，② ①-②得 所以．因为，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $