5.4 随机事件的独立性 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

5.4　随机事件的独立性 一、必备知识基础练 1.现有航天员甲、乙、丙三个人,进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务,工作时间不超过10分钟,如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务,10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人,每个人只派出一次.已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为,每个人能否完成任务相互独立,该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出,则试验任务成功的概率为(　　) A. B. C. D. 2.甲、乙两队进行羽毛球决赛,甲队只要再胜一局就获得冠军,乙队需要再胜两局才能获得冠军,若每局甲队获胜的概率为,则甲队获得冠军的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(多选题)下列各对事件中,M,N是独立事件的有(　　) A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数” B.袋中有5个白球、5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球” C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4” D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面” 4.(多选题)分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),设事件M=“第一枚骰子的点数为奇数”,事件N=“第二枚骰子的点数为偶数”,则(　　) A.M与N互斥 B.M与N不对立 C.M与N相互独立 D.P(M∪N)= 5.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　　.  6.(北师大版教材习题)在某项1 500 m体能测试中,甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是,且甲、乙两人是否通过体能测试互相独立.求: (1)两人都通过体能测试的概率; (2)恰有一人通过体能测试的概率; (3)至少有一人通过体能测试的概率. 二、关键能力提升练 7.某市某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则一名同学投篮得2分的概率为(　　) A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32 8.(2025甘肃兰州高一月考)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投,先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响,则甲获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 9.甲、乙两队进行排球比赛,采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中,甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以2∶0领先,则下列结论正确的是(　　) A.甲队获胜的概率为 B.乙队以3∶0获胜的概率为 C.乙队以3∶1获胜的概率为 D.乙队以3∶2获胜的概率为 10.现有5个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机抽取两次,每次抽取一个球,记:事件A表示“第一次取出的球数字是2”,事件B表示“第二次取出的球数字是3”,事件C表示“两次取出的球的数字之和为8”,事件D表示“两次取出的球的数字之和为6”.下列选项正确的是(　　) A.事件A和事件C相互独立 B.事件B和事件C相互独立 C.事件B和事件D相互独立 D.事件C和事件D相互独立 11.(多选题)甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是(　　) A.目标恰好被命中一次的概率为 B.目标恰好被命中两次的概率为 C.目标被命中的概率为 D.目标被命中的概率为1- 12.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是　　　　.  13.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为　　　　.  14. (人教B版教材例题)某同学在参加一次考试时,有三道选择题不会,每道选择题他都随机选了一个答案,且每道题他猜对的概率均为. (1)求该同学三道题都猜对的概率; (2)求该同学至少猜对一道题的概率. 15.某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动,某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 三、学科素养创新练 16.某工厂调试壹号、贰号、叁号三条生产线各自独立地生产同一种零件.已知壹号生产线生产的零件是合格品且贰号生产线生产的零件是非合格品的概率为,贰号生产线生产的零件是合格品且叁号生产线生产的零件也是合格品的概率为,壹号生产线生产的零件是合格品且叁号生产线生产的零件也是合格品的概率为,记事件A,B,C分别为壹号、贰号、叁号三条生产线各自生产的零件是合格品. (1)分别求出事件A,B,C的概率P(A),P(B),P(C); (2)从壹、贰、叁三条生产线上生产的同一种零件中随机各取1个进行检验,记事件D,E分别为三个零件中合格品为1个、2个,分别求出事件D,E的概率P(D),P(E). 参考答案 1.D　试验任务成功的事件M是甲成功的事件M1,甲不成功乙成功的事件M2,甲乙都不成功丙成功的事件M3的和,事件M1,M2,M3互斥,P(M1)=,P(M2)=(1-)×,P(M3)=(1-)×(1-)×,所以试验任务成功的概率P(M)=P(M1+M2+M3)=P(M1)+P(M2)+P(M3)=. 故选D. 2.D　甲队获得冠军包含下面两种情况: ①第一场比赛甲赢,概率为; ②第一场乙赢,第二场甲赢,概率为, 则甲队获得冠军的概率为.故选D. 3.CD　在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,M,N不是独立事件;在C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是独立事件.故选CD. 4.BCD　事件M与N是可能同时发生的,故M与N不互斥,故A不正确; 事件M与N不互斥,不是对立事件,故B正确; 事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响,M与N相互独立,故C正确; 事件M发生的概率为P(M)=,事件N发生的概率为P(N)=,P(M∪N)=1-P()P()=1-,故D正确.故选BCD. 5.　甲、乙两人都未能解决的概率为(1-)×(1-)=. 6.解记“甲通过体能测试”为事件A,“乙通过体能测试”为事件B,则事件A与事件B相互独立,且P(A)=,P(B)=. (1)两人都通过体能测试的概率为P(AB)=P(A)P(B)=. (2)恰有一人通过体能测试的概率为P(AB)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B)=. (3)因为两人都未通过体能测试的概率为P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=,所以至少有一人通过体能测试的概率为P=1-P()=. 7.B　设“第一次投进”为事件A,“第二次投进”为事件B,则得2分的概率为P=P(A)+P(B)=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.故选B. 8.C　甲获胜分为三种情况, 甲第一次即投中,此时概率为p1=; 甲第一次没有投中,第二次投中,乙没有投中, 此时概率为p2=(1-)×(1-)×; 甲前两次没有投中,第三次投中,乙两次均未投中, 此时概率为p3=(1-)2×(1-)2×. 故甲获胜的概率为p1+p2+p3=.故选C. 9.B　对于A,在乙队以2∶0领先的前提下,若甲队获胜,则第三、四、五局均为甲队获胜, 所以甲队获胜的概率为()3=,故A错误; 对于B,若乙队以3∶0获胜,则第三局乙获胜,概率为,故B正确; 对于C,若乙队以3∶1获胜,则第三局甲获胜,第四局乙获胜,概率为,故C错误; 对于D,若乙队以3∶2获胜,则第五局为乙队获胜,第三、四局甲队获胜,所以乙队以3∶2获胜的概率为,故D错误.故选B. 10.C　P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(AC)=0,P(BC)=,P(BD)=,P(CD)=0, 因为P(AC)=0≠P(A)P(C),P(BC)=≠P(B)P(C),P(BD)==P(B)P(D),P(CD)=0≠P(C)P(D),故事件B和事件D相互独立.故选C. 11.BD　甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为,甲、乙两人各射击一次,目标恰好被命中一次的概率为,故A错误; 由独立事件概率乘法公式得,目标恰好被命中两次的概率为,故B正确; 在C,D中,目标被命中的概率为1-(1-)×(1-)=,故C错误,D正确.故选BD. 12.　由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)P(),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)], ∴P(A)=P(B). 又P()=, ∴P()=P()=, ∴P(A)=. 13.0.864　本题考查独立事件发生的概率,可以用直接法将事件分为KA2+KA1+KA1A2或用对立事件的概率:P(K)[1-P()]. (方法1)由题意知,K,A1,A2正常工作的概率分别为P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8. ∵K,A1,A2相互独立,∴A1,A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96, ∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. (方法2)∵A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P()=1-(1-0.8)×(1-0.8)=0.96, ∴系统正常工作的概率为P(K)[1-P()]=0.9×0.96=0.864. 14.解 记事件Ai:该同学第i题猜对了,其中i=1,2,3, 则P(A1)=P(A2)=P(A3)=. (1)三道题都猜对可以表示为A1A2A3, 又因为A1,A2,A3相互独立,因此P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=. (2)“至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”,后者可以表示为,所以P()=P()P()P()=(1-)3=, 因此所求概率为1-P()=1-. 15.解(1)记“甲回答对这道题”“乙回答对这道题”“丙回答对这道题”分别为事件A,B,C,则P(A)=, 且有 即 解得P(B)=,P(C)=. (2)有0个家庭回答正确的概率为P0=P()=P()P()P()=, 有1个家庭回答正确的概率为P1=P(A C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()·P(C)=. 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P=1-P0-P1=1-. 16.解(1)事件A,B,C分别为壹号、贰号、叁号三条生产线各自生产的零件是合格品,事件分别为壹号、贰号、叁号三条生产线各自生产的零件是非合格品, 由题意 解得P(A)=,P(B)=,P(C)=. (2)由(1)知,P()=,P()=,P()=, 所以P(D)=P(A)+P()+P(C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C) = =, P(E)=P(AB)+P(AC)+P(BC) =P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C) =. 5 学科网（北京）股份有限公司 $