5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

坚持全人教育，培养走向世界的π型人才 5.2.2同角三角函数的基本关系 1 学习目标 掌握并且会推导同角三角函数的基本关系式. 熟练运用同角三角函数基本关系式进行化简求值.（重点） 能化简含同角的三角函数式并掌握基础同角三角函数题型. (难点） 03 02 01 明德尚行 学贯中西 课前导入 3 明德尚行 学贯中西 复习回顾 问题1：上一节我们已学习了任意角三角函数定义，如图所示，任意角α三角函数在单位圆中是如何定义的呢？ . 4 明德尚行 学贯中西 复习回顾 问题2：三角函数值在各象限的符号如何？ Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 问题3：上一节的学习中，我们得到了公式一，同学们还记得吗？ 即终边相同的角的 同一三角函数值相等. 其中 5 明德尚行 学贯中西 探究新知 探究1：公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢? 0° 0 1 0 30° 45° 60° 1 1 1 1 1 0 1 6 明德尚行 学贯中西 探究新知 探究2：同角三角函数间的关系， ℸ M 由勾股定理知，OM2+MP2=1.因此，x2+y2=1，即 显然，当α的终边与坐标轴重合时，上述公式也成立。 根据三角函数定义有： 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 如图，设点P(x,y) 是角α的终边与单位圆的交点。过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP=1 注意：sin2α是(sinα)2的简写， 读作“sinα的平方”. 7 明德尚行 学贯中西 学习新知 同角三角函数的基本关系： （1）平方关系： （2）商数关系： 即同一个角α 的正弦与余弦的平方和等于1，商等于角α 的正切. 注意：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立. 8 明德尚行 学贯中西 学习巩固 思考：结合平方关系和商数关系可作哪些变形？ 变形 变形 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切． 9 明德尚行 学贯中西 题型探究 题型一 sinα，cosα，tanα知一求二 解：由得 因为是第三象限角，那么 于是， 从而 例 10 明德尚行 学贯中西 题型巩固 变式1.已知求的值. 解:因为,所以是第三或第四象限角. 由得 如果是第三象限角，那么 于是，从而 如果是第四象限角，那么 于是， 没有说明α是第几象限角，怎么办呢？ 11 明德尚行 学贯中西 方法总结 12 明德尚行 学贯中西 题型探究 题型二、弦切互化求值 例题2（1） 已知tan α＝－4，求sin2α的值. 例题2（2） 整体代换 “1”代换 13 明德尚行 学贯中西 题型巩固 变式2 已知tan α＝－4，求下列各式的值. (2)3sin αcos α； (3)cos2α－sin2α； （2） （3） 14 明德尚行 学贯中西 方法总结 15 明德尚行 学贯中西 课堂演练 1.若tan α=2，则的值为 A.0 B. C.1 D. √ . 解析 16 明德尚行 学贯中西 课堂演练 2.已知tan α=α∈则cos α的值是 A.± B. C.- D. √ 由tan α=可得 又sin2α+cos2α=1，可得cos2α+cos2α=1， 解得cos2α=因为α∈ 所以cos α=-. 解析 17 明德尚行 学贯中西 课堂演练 3.若2sin α+cos α=0，则=　　. = ==- ∵2sin α+cos α=0，∴tan α=- ∴原式==-8. 解析 -8 18 明德尚行 学贯中西 课堂小结 同角三角函数 的基本关系 易错提醒 基本关系式成立的条件是“同角”，还要注意成立时角的范围 平方关系： 商数关系： 知一求二：（注意三角函数值的符号） 核心知识 弦切互化求值 方法总结 方法总结 19 明德尚行 学贯中西 THANKS 感谢您的聆听！ 20 x＝cos α y＝sin α ＝tanα sin2α＋cos2α＝1 ＝tanα sin2α＝＝＝＝. (1). ＝＝＝. cos2α－sin2α＝＝＝＝－. 3sin αcos α＝＝＝＝－. (1). 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1) 对于形如或的分式， 分子 分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值. (2)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值. $