精品解析：河北唐山市路北区2025～2026学年上学期学业水平终期评价 九年级数学(人教版)

2025～2026学年度第一学期学业水平终期评价 九年级数学（人教版） 2026.1 注意事项： 1.本次评价满分100分，时间为90分钟． 2.答卷前，务必在答题卡上用0.5mm黑色字迹的签字笔填写自己的学校、班级、姓名及考生号，并用2B铅笔把对应考生号的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用0.5mm，黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答在试卷上无效． 4.必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据cos60°=进行计算即可得解 【详解】2cos60°=2×=1． 故选：A 2. 用配方法解一元二次方程时，方程两边同时（ ） A. 加6 B. 减6 C. 加36 D. 减36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．根据完全平方公式和进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， 则用配方法解一元二次方程时，方程两边同时加， 故选：C． 3. 如图，滑雪道坡度，水平距离长，则坡顶到坡底的竖直高度的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坡度，先理解滑雪道坡度，得，再结合长，得出的长度为，即可作答． 【详解】解：∵滑雪道坡度， ∴， ∵的长， ∴的长度为， 故选：B． 4. 抛物线的对称轴是，则的值为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线方程为顶点形式，对称轴由顶点横坐标决定． 【详解】解：∵ 抛物线可写为， ∴ 顶点坐标为 ，对称轴为， ∴ ． 故选：D． 5. 夕夕家到学校的路程为，到校所需时间（单位：h）随平均速度（单位：）的变化而变化，则与的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，根据路程、速度和时间的基本关系，时间t等于路程除以速度v，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵夕夕家到学校的路程为，到校所需时间（单位：h）随平均速度（单位：）的变化而变化， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，扇形纸片圆心角，半径，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，根据扇形的面积公式，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 故选C． 7. 如图，在中，，，延长至，使，连接，交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，即得，进而由即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 8. 已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. －4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，熟练掌握性质是解题的关键． 利用点在双曲线上得，然后求点关于轴的对称点，代入另一双曲线得，计算值即可． 【详解】解：∵点 在上， ∴ ∵点关于轴的对称点在双曲线上， ∴，代入得： ， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，正五边形内接于，连接、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，再根据三角形内角和定理即得出答案. 【详解】解：∵正五边形内接于, ∴,, ∴, 故选：C． 10. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 11. 将一根长为的铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，要使这两个正方形的面积之和为，则较大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，等量关系是：两个正方形的面积之和．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设较大的正方形边长为a，较小的正方形边长为b，根据铁丝总长得出，再根据面积和列出关于a的方程，求解a，取较大值． 【详解】解：设较大的正方形边长为a，较小的正方形边长为b， ∵铁丝总长为， ∴，即， ∴， ∵面积之和为， ∴，即， 解得或， ∵a为较大边长， ∴． 故选：C． 12. 如图，直径的半圆形纸片，其圆心为，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿直线向右翻滚至位置．其中，位置Ⅰ中的平行于直线，且半与直线相切于点，位置Ⅱ中的与直线垂直，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，理解题意，得，因为位置Ⅰ中的平行于直线，得，再根据弧长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵半与直线相切于点， ∴， ∵位置Ⅰ中的平行于直线， ∴， ∵ ∴， ∴线段的长， 故选：A． 二、填空题（本大题有4个小题，共13分．13～16题各3分，16题每空2分．） 13. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是______． 【答案】1:4 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得. 【详解】∵两相似三角形的相似比为1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案为：1：4. 【点睛】本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键. 14. 抛物线与轴的交点为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标．求抛物线与y轴的交点，即令，代入方程求解y值，即可作答． 【详解】解：抛物线与y轴的交点P，其横坐标， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，三角函数的意义等知识，根据勾股定理求出、、，由勾股定理逆定理得是直角三角形，则，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：． 16. 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，一次函数与反比例函数相交于、两点． （1）________； （2）图中阴影部分（不含边界）所含整点的个数为________． 【答案】 ①. 6 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数与反比例函数的交点，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，即可作答． （2）理解题意，结合一次函数与反比例函数相交于、两点．以及横、纵坐标都是整数的点叫做整点，代入数值到和中，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，把代入，得， 解得， 故答案为：6； （2）由（1）得 ∴， ∵一次函数与反比例函数相交于、两点． 把代入，得 把代入，得， 此时在图中阴影部分（不含边界）， 把代入，得 把代入，得， 此时在图中阴影部分（不含边界）， 把代入，得 把代入，得， 此时在图中阴影部分（不含边界）， 把代入，得 把代入，得， 此时没有满足题意的点在图中阴影部分（不含边界）， 综上：，，在图中阴影部分（不含边界）， 故答案为：3． 三、解答题（本大题有8道小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的网格中，线段的端点和均为格点（网格线的交点）． （1）将线段绕点逆时针旋转得到，连接； （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1） 解：，如下图所示： （2） 解：如下图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形以及位似图形． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据题意可知是以点为位似中心，在点O的左上方将放大2倍的图象，对此画位似图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若，解此方程； （2）若方程没有实数根，求的最小整数值． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）若，则方程为：，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由方程没有实数根得，得到关于k的一元一次不等式，解之，然后取最小整数值即可． 【小问1详解】 解：若，则方程为：， ， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵方程没有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的最小整数值为2． 19. 如图，在中，点是边上的点（不与顶点重合），且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两组角相等的两个三角形是相似三角形，得， （2）先整理得，因为，再把数值代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴． 20. 如图，点、、在上，，分别过点、作直线、相切于，交射线于、，，． （1）求圆心角的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式． （1）根据切线的性质得，由，可得，，再由求解即可； （2）直接根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线、相切于， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：． 21. 如图，点在反比例函数的图象上，点． （1）求的表达式； （2）将线段向右平移得到，当点落在的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质和平移的性质，求出反比例函数解析式是解决本题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）设平移后点的坐标为，将代入中，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得， ∴的表达式为； 【小问2详解】 解：设平移后点的坐标为， 将代入中， 得， 解得， ∴平移的距离为：． 22. 如图，的直径长为2，于点，且，点是上一动点． （1）若点与点重合，求线段的长； （2）若，判断直线与的位置关系并证明，并直接写出此时的度数．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 解：直线与相切，理由如下： 由题得，，，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切． 如下图有2种情况： 的度数为15°或165°． 【解析】 【分析】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，勾股定理，三角函数等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理即可得出． （2）先利用勾股定理逆定理证明直线与相切，再根据可得出，进而分两种情况求． 【小问1详解】 解：连接，如下图： ∵， ∴， 在中， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 当Q点在点A左侧时，即， 当Q点在点B左侧时，， 则的度数为：或． 23. 某棉花加工厂通过传送带将棉块传送到仓库，下图是传送棉块的截面图，矩形是棉块，，，，，为水平地面．（，，，结果精确到） （1）求传送带的长； （2）当点运动到的中点时，求点到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）在中，，代入相应的数值即可求的长； （2）过作，交于点，先推出，再分别解直角三角形和得出、、，再根据，求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，即， ∴， ∴求传送带的长； 【小问2详解】 解：如图2，过作，交于点， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴点到地面的距离为． 24. 某陶瓷厂有甲、乙两条生产线生产一款茶碗．两条生产线共投入资金40万元，设投入甲生产线的资金为（万元），根据调查得知，甲生产线的产量（万件）与投入生产线的资金的平方成正比，乙生产线的产量，总产量（万件）为甲、乙两条生产线的产量之和．当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）请你推断总产量的变化幅度是否会超过8.5万件； （3）受市场影响，生产线产能缩减，减少量恰好是投入甲生产线资金的倍，减产后的总产量为减（万件）． ①若减产后的总产量不低于4万件，直接写出的最大值； ②若投入甲生产线的资金不低于35万元，使得减随x的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）会超过 （3）①2；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）设与之间的函数关系式为：，把，代入即可得出与之间的函数关系式． （2）根据的图象和性质即可求解． （3）①根据题意，且，根据对称轴的位置分三种情况求出m的取值范围，即可得出答案． ②根据，由已知条件结合函数图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为：， 把时，代入， 则， 解得：， 则． 【小问2详解】 解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，P有最小值7，当时，P有最大值16， ∵万件， ∴总产量的变化幅度会超过8.5万件． 【小问3详解】 解：①， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴分三种情况 当对称轴在0的左边，则， 解得：， 此时最小值在，此时此时处，把符合条件， 当对称轴在的取件，则， 解得：， 此时最小值在对称轴处，把代入，， 解得 结合， 则 当对称轴在40的右边，则， 解得：， 此时最下值在处，把代入，， 解得，与不符， 故的最大值为2． ②， 则对称轴为直线， ∵投入甲生产线的资金不低于35万元，使得随x的增大而增大， 且二次项系数，函数图象开口向上， ∴对称轴， 解得， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期学业水平终期评价 九年级数学（人教版） 2026.1 注意事项： 1.本次评价满分100分，时间为90分钟． 2.答卷前，务必在答题卡上用0.5mm黑色字迹的签字笔填写自己的学校、班级、姓名及考生号，并用2B铅笔把对应考生号的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用0.5mm，黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答在试卷上无效． 4.必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 用配方法解一元二次方程时，方程两边同时（ ） A. 加6 B. 减6 C. 加36 D. 减36 3. 如图，滑雪道坡度，水平距离长，则坡顶到坡底的竖直高度的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴是，则的值为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 5. 夕夕家到学校的路程为，到校所需时间（单位：h）随平均速度（单位：）的变化而变化，则与的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，扇形纸片圆心角，半径，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，延长至，使，连接，交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. －4 9. 如图，正五边形内接于，连接、，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 11. 将一根长为的铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，要使这两个正方形的面积之和为，则较大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直径的半圆形纸片，其圆心为，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿直线向右翻滚至位置．其中，位置Ⅰ中的平行于直线，且半与直线相切于点，位置Ⅱ中的与直线垂直，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题（本大题有4个小题，共13分．13～16题各3分，16题每空2分．） 13. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是______． 14. 抛物线与轴的交点为，则点的坐标为________． 15. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则________． 16. 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，一次函数与反比例函数相交于、两点． （1）________； （2）图中阴影部分（不含边界）所含整点的个数为________． 三、解答题（本大题有8道小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的网格中，线段的端点和均为格点（网格线的交点）． （1）将线段绕点逆时针旋转得到，连接； （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若，解此方程； （2）若方程没有实数根，求的最小整数值． 19. 如图，在中，点是边上的点（不与顶点重合），且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，点、、在上，，分别过点、作直线、相切于，交射线于、，，． （1）求圆心角的度数； （2）求的长． 21. 如图，点在反比例函数的图象上，点． （1）求的表达式； （2）将线段向右平移得到，当点落在的图象上时，求平移的距离． 22. 如图，的直径长为2，于点，且，点是上一动点． （1）若点与点重合，求线段的长； （2）若，判断直线与的位置关系并证明，并直接写出此时的度数．（参考数据：） 23. 某棉花加工厂通过传送带将棉块传送到仓库，下图是传送棉块的截面图，矩形是棉块，，，，，为水平地面．（，，，结果精确到） （1）求传送带的长； （2）当点运动到的中点时，求点到地面的距离． 24. 某陶瓷厂有甲、乙两条生产线生产一款茶碗．两条生产线共投入资金40万元，设投入甲生产线的资金为（万元），根据调查得知，甲生产线的产量（万件）与投入生产线的资金的平方成正比，乙生产线的产量，总产量（万件）为甲、乙两条生产线的产量之和．当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）请你推断总产量的变化幅度是否会超过8.5万件； （3）受市场影响，生产线产能缩减，减少量恰好是投入甲生产线资金的倍，减产后的总产量为减（万件）． ①若减产后的总产量不低于4万件，直接写出的最大值； ②若投入甲生产线的资金不低于35万元，使得减随x的增大而增大，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $