精品解析：四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 本考试满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　（　 　） A. B. C. D. 2. 从1到20，这个数中任取一个数，这个数能被2整除或被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 4. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 5. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 6. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，则（ ） A. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. B. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. C. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. D. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. 8. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人.为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在［10，50］的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为35 C. 该场观众年龄分位数的估计值为36 D. 该场观众年龄平均数的估计值为34 10. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ） A. 设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线 B. 设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线与椭圆有相同的焦点 11. 设集合，则下列说法正确的有（ ） A. 原点在所表示的曲线上 B. 是由无数个圆心在抛物线上的圆组成 C. 存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧 D. 存在直线，使得集合中存在无数点在上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为_________． 13. 在等差数列中，，则__________. 14. 为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点． （1）求证：平面EFGHKL； （2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值． 16. 已知是等差数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）求； （3）证明： 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．在每一轮比赛中甲乙都猜对的概率为，甲乙都猜错的概率为. （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中恰好猜对3个成语的概率. 18. 已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点. （1）求拋物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：为线段BM的中点. （3）已知圆为上一点，过作圆的两条切线分别于轴交于，求面积的最小值. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线相交于点，且它们的斜率乘积为，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）已知为线段AB上一点.点满足CM平分的内角. （I）过点的直线与曲线交于P，Q两点，，求证：； （II）设直线CM与曲线的一个交点为（异于点），求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 本考试满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意得到直线的斜率，根据倾斜角为可得所求关系． 详解：由题意得直线的斜率存在，且为， 又直线的倾斜角为， ∴， ∴， ∴． 故选A． 点睛：本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，解题时利用直线的斜率存在且倾斜角为θ时有求解即可． 2. 从1到20，这个数中任取一个数，这个数能被2整除或被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】1到20，这20个数中能被2整除的有个，能被3整除的个，能同时被和整除的有个，所以能被2整除或被3整除的有个，由此可求出能被2整除或被3整除的概率. 【详解】1到20，这20个数中能被2整除的有个； 能被3整除的有，共个； 能同时被和整除的有，共个，所以能被2整除或被3整除的有个. 因此，从1到20，这个数中任取一个数，这个数能被2整除或被3整除的概率为. 故选：A. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】比较圆心距与两圆半径和与差大小关系可判断选项正误. 【详解】圆心为，半径为5，圆心为，半径为. 两圆圆心距为：. ， 注意到，从而，; ， 注意到，则，, 从而，两圆相交. 故选：B 4. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 5. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心与半径后，结合外切定义与双曲线的定义可得答案． 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 6. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用共线向量的线性表示法，结合线段的比例关系确定点的位置向量，然后利用向量加法的线性运算，通过逐步表示从已知点出发的路径向量，最终将所求向量用已知基底表示. 【详解】因为是中点，在线段上，满足，在线段上，满足， 所以，， 于是， 已知，所以，于是：， 所以. 故选：A 7. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，则（ ） A. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. B. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. C. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. D. 这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. 【答案】D 【解析】 【分析】设这组平行直线的方程为，并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系、判别式，求得中点坐标，消参可得直线的方程. 【详解】设一组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，可得， 即为， 由判别式大于0，可得，解得， 则有，所以截得的线段中点的横坐标为， 代入直线方程可得线段中点的坐标为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 故选：D 8. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以 ，故C为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人.为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在［10，50］的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为35 C. 该场观众年龄分位数的估计值为36 D. 该场观众年龄平均数的估计值为34 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由各矩形面积之和为1结合题设可判断选项正误；对于BCD，由频率分布直方图计算平均数，中位数，众数方法可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，高度最高矩形的底边中点对应横坐标为35，即众数为35，故B正确； 对于C，所求即为中位数，前２个矩形面积之和为， 前3个矩形面积之和为，则中位数在30到40之间. 设中位数为，则，即中位数为35，故C错误； 对于D，平均数为， 故D正确. 故选：ABD 10. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ） A. 设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线 B. 设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线与椭圆有相同的焦点 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义可判断A选项的正误；根据直角三角形的几何性质可判断B选项的正误；求出方程的两根，结合椭圆和双曲线离心率的取值范围可判断C选项的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若动点的轨迹为双曲线，则，即， 但与的大小关系未知，A选项错误； 对于B选项，由可得， 可得，所以，点为线段的中点， 如下图所示： 当为圆的一条直径时，与重合； 当不是圆的直径时，由垂径定理可得， 设的中点为，由直角三角形的几何性质可得（定值）， 所以，点的轨迹为圆，B选项错误； 对于C选项，解方程，可得，， 所以，方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确； 对于D选项，双曲线的焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦距为，焦点坐标为，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法： （1）直接法：根据题设条件直接列出方程； （2）定义法：根据圆的定义写出方程； （3）几何法：利用圆的性质列方程； （4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 11. 设集合，则下列说法正确的有（ ） A. 原点在所表示的曲线上 B. 是由无数个圆心在抛物线上的圆组成 C. 存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧 D. 存在直线，使得集合中存在无数点在上 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将代入，通过判断方程解的个数可判断选项正误；对于B，注意到时，对应图形是点，据此可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，结合题设与极限角度可判断选项正误. 【详解】对于A，将代入，可得， 易得为方程的1个解，则时，曲线方程为，表示点， 从而原点在表示的曲线上，故A正确； 对于B，由A分析可得时， 对应图形是点，不是圆，故B错误； 对于C，取直线，当时，原点显然在下方. 当时，表示以为圆心，半径为的圆. 若，则到圆心距离为， 因，则，又， 则时，表示的曲线在下方； 若，由上述分析，，，. 因，则，又， 则时，表示的曲线在上方. 由对称性可知，当时，表示的曲线在下方；当时，表示的曲线在上方, 综上所述，存在直线使内的点，均不在其上，且在两侧，故C正确； 对于D，设直线，到直线距离满足：， 当时，，则此时， 则对于任意直线，只有有限个与对应的圆与直线有交点， 从而不存在直线，使中有无数个点在其上.故D错误. 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为_________． 【答案】2 【解析】 【详解】 13. 在等差数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的公式即可求出. 【详解】由题意，设等差数列中首项为，公差为， 则，即，解得， 故， . 故答案为：. 14. 为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为___________. 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：设样本数据为： 若样本数据中的最大值为11，不妨设，由于样本数据互不相同，与这是不可能成立的，若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知两式均成立，此时样本数据中的最大值为 10 考点：1．总体分布的估计；2．极差、方差与标准差 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点． （1）求证：平面EFGHKL； （2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值． 【答案】 （1）如图所示建立空间直角坐标系， ， 则，所以 为平面EFGHKL的两条相交直线， 所以平面EFGHKL； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，可由证得； （2）利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面EFGHKL的法向量为 ， 因为， 求与平面EFGHKL所成角的余弦值为. 16. 已知是等差数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）求； （3）证明： 【答案】（1）； （2）； （3） 由（1）得， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出公差，进而求出通项公式. （2）利用等差数列的前项和公式求解. （3）利用裂项相消法求和，结合放缩法推理得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得. 【小问3详解】 略 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．在每一轮比赛中甲乙都猜对的概率为，甲乙都猜错的概率为. （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中恰好猜对3个成语的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，求解可得的值； （2）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知，所以. 所以是方程的两根. 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为. 所以甲在两轮中恰好猜对一个成语的概率为，猜对两个成语的概率为； 乙在两轮中恰好猜对一个成语的概率为，猜对两个成语的概率为. 所以“星队”在两轮活动中恰好猜对3个成语的概率为. 18. 已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点. （1）求拋物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：为线段BM的中点. （3）已知圆为上一点，过作圆的两条切线分别于轴交于，求面积的最小值. 【答案】（1）；； （2） 由题意可知，直线的斜率存在且不为， 故设，， 联立，得，则， 则， 直线，直线，则，， 因为 ， 所以为线段BM的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点求出抛物线方程，进而得出焦点坐标和准线方程； （2）设，与抛物线方程联立，进而求出坐标，即可求证； （3）过点的切线方程为，根据点到直线的距离公式以及同构思想可得，，再根据化简，令，再求复合函数的值域即可. 【小问1详解】 由题意得，，则拋物线的方程为， 焦点坐标为，准线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，且圆的半径为，圆心，所以过点的切线斜率必存在， 设过点的切线方程为，即， 则圆心到切线的距离， 即， 设直线的斜率分别为， 则是方程的两根， 则， 因为， 所以 因为，所以， 则， 令，则，则， 则， 故面积的最小值为. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线相交于点，且它们的斜率乘积为，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）已知为线段AB上一点.点满足CM平分的内角. （I）过点的直线与曲线交于P，Q两点，，求证：； （II）设直线CM与曲线的一个交点为（异于点），求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （I）如图：设 当直线的斜率为时，，满足题意； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为：，由得 ，所以 综上： （II） 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，直译法即可求解； （2）（I）问题转化为证明即可； （II）设，，平分.所以，解得，，设出直线的方程，将它与椭圆方程联立，表示出及，消去，利用换元法及函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 设由题意得，化简得. 动点的轨迹方程为： 【小问2详解】 （I）略 （II）如图：设，，， 消去得，又， 所以. 因为平分，所以，即，解得， 代入，解得，其中. 设直线的方程为：，，， ，由消去得， 则， 所以 ，令，， 所以， ， ，当且仅当时，即时取等号， 故，当且仅当时取等号.又 所以， 令，，由对勾函数的单调性知在上单调递增 ，所以. 所以当时，的面积取得最大值，最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $