19.1 二次根式及其性质 同步预习讲义 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

19.1 二次根式及其性质（同步预习讲义） 2025-2026学年八年级数学人教2024版下册 【学习目标】 · 概念识别：能准确判断二次根式，理解其双重非负性。 · 性质掌握：熟练运用= (≥0) 和 = | | 进行计算与化简。 · 灵活应用：能在现实情景与代数推理中综合运用二次根式的概念与性质。 【知识点一】二次根式：从“形”到“神”的认知 1. 概念解码 · 定义：形如 (≥0) 的式子。“形如”是关键，意味着只要最终形态符合即可。 · 内涵（双重非负性）： · 身份准入 (≥0)：被开方数必须非负，这是它存在的“资格”。 · 结果保证 (≥0)：其算术平方根的结果也非负，这是它的“本性”。 2. 典例精析（情景化） 例1（智能设备）：某款物联网芯片的待机功耗（单位：微瓦）可表示为。若该芯片功耗值为实数，则参数的取值范围是______。 【考查点】：二次根式有意义的条件（身份准入）。 【解析】：芯片功耗为实数，即式子有意义，需被开方数≥ 0，解得≥5。 【易错预警】：学生易忽略“二次根式有意义”与“值为非负数”之间的直接关联。 3. 举一反三（递进训练） 题1：以下哪一个是二次根式？（ ） A. B. C. （AI为实数） D. 【解析】：A：被开方数 < 0，否。 B：根指数是3，否。 C：AI² ≥ 0恒成立，是。 D：()² = 4 > 0，是。 注：本题有两个正确选项 C和D，旨在打破“唯一答案”思维，强化概念本质。 题2（环保情景）：某共享单车智能锁的电池寿命（小时）计算公式为 ，其中 为环境系数。求电池寿命 。 【解析】：两个二次根式 与 需同时有意义。故 ≥ 0 且 ≥ 0，联立得 = 9。代入得 = ++100 = 100（小时）。 【教学价值】：训练双重非负性的综合运用，并呈现“零和非零”模型。 题3（参数讨论）：已知式子 是二次根式。 (1) 求 的取值范围。 (2) 当 取 (1) 中范围内的最小整数时，求这个二次根式的值。 【解析】： (1) 由定义，被开方数需满足 ≥ 0，解得 ≥。 (2) 满足 ≥ 的最小整数是 。当 时，。 【知识点二】核心性质一：= (≥0) 1. 性质阐述 · 公式：= (≥0) · 本质：平方运算与开平方运算的互逆关系。前提是本身有意义（≥0）。 2. 典例精析 例2（数据分析）：在短视频传播模型中，某个关键指数 满足 ，其中为时间（天）。化简指数 的表达式。 【考查点】：性质的直接应用。 【解析】：由 ≥ 4 > 0，恒满足 ≥0 的条件。 直接应用性质：。 【升华】：强调“先判存在，再施运算”的步骤。虽然这里恒成立，但步骤逻辑不能省。 3. 举一反三 题4（直接应用）：计算 + 。 【解析】：原式 = 0.49 + 7 = 7.49。注意 =0.7，但直接运用性质更快捷。 题5（逆向应用与书写规范）：将下列非负数写成算术平方根平方的形式： (1) 5 = ( )²； (2) (≥0 ) = ( )²。 【解析】：(1) 5 = ()²； (2) = ()² (前提≥0)。 题6（含条件化简）：已知 > 3，化简 ()² + 1。 【解析】：∵ > 3，∴ > 0，满足性质条件。∴ 原式 = + 1 = 。 【知识点三】核心性质二： = | | 1. 性质阐述 · 公式： = | | · 本质：先平方后开方，结果取绝对值。 为任意实数，这是与性质一的根本区别。 · 去绝对值法则：. 2. 典例精析（数形结合） 例3：实数 ， 在数轴上的位置如图。化简：。 数轴示意图： 【考查点】：=| | 的应用及数轴识图。 【解析】：由图知，>0， <0， <0。 =| |= ， =| |= ，= | | = ，∴原式 = = 。 【教学要点】：引导学生“依图判号，依号去绝”。 3. 举一反三 题7（分类讨论基础）：化简 。 【解析】： = | |。 1 当 ≥ 3 时，原式 = 。 2 当 < 3 时，原式 = ( ) = 。 题8（隐含条件判断）：若 = ，则 的取值范围是 ______。 【解析】：∵ = ||，且已知， ∴ ||= . 由绝对值定义知， ≥ 0，即 ≥ 2。 题9（综合化简）：化简 ，其中 < 0 < 。 【解析】：由条件知 < 0， > 0，∴ = | | = ， = | | = ， ∴ 原式 = 。 【同步练习】 一、选择题（共10题，每题3分） 1. （概念识别）下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【解析】：根据定义，二次根式需要满足被开方数非负。A选项的被开方数为负数，不是二次根式；B选项的被开方数≥0恒成立，一定是二次根式；C选项的被开方数可能为负，也就可能不是二次根式；D选项的根指数为3，不是二次根式。 【答案】B 2. （双重非负性）若 有意义，则能取的最小整数是（ ） A. B. C. D. 【解析】：由被开方数非负得 ≥0 ，解得 ≥。故最小整数为，A正确。 【答案】A 3. （性质辨析）下列计算正确的是（ ） A. = B. = ± C. = D. = ± 【解析】： A选项被开方数为负，无意义；B、D选项结果应为非负数，所以不正确；C选项=，正确。 【答案】C 4. （情景应用）一款手机屏保图案由许多面积为2平方厘米的正方形像素点组成。每个像素点的边长为（ ）厘米。 A. B. C. D. 【解析】：设边长为厘米，则，所以。D正确。 【答案】D 5. （数值估算）与 最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【解析】： =6，=7，40更接近36，所以最接近6。B正确。 【答案】B 6. （条件判断）若 | | = ，则满足（ ） A. >0 B. ≥0 C. 为任意实数 D. ≤0 【解析】：根据二次根式的性质，对于任意实数 ，都有=||，因此，等式||=恒成立，所以可以是任意实数。C正确。 【答案】C 7. （非负应用）已知 ，则的值为（ ） A. B. 2 C. -1 D. 1 【解析】：由非负数和为0得 ， ，故 。A正确。 【答案】A 8. （数形结合）实数 、在数轴上的位置如图，则 可化简为（ ） A. B. C. D. 【解析】：由图可知，>0，>0。原式=||||=（）。D正确。 【答案】D 9. （新运算探究）规定运算：＊。则＊的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】：根据新运算规则，＊。A正确。 【答案】A 10. （综合判断）下列说法：①是二次根式；②= ；③若=，则=；④的平方根是±。正确的有（ ）个。 A. B. C. D. 【解析】：①≥0时才成立；②≥0才成立；③ b均为非负数才成立；④=3，3的平方根是±，正确。仅④对，A正确。 【答案】A 二、填空题（共5题，每题4分） 11. 使 有意义的的取值范围是 ______。 【解析】：由被开方数非负得≥，解得 ≤ 1.5 。 【答案】 ≤ 1.5（或 ≤） 12. 计算： = ______。 【解析】：原式＝. 【答案】10 13. （情景）某新能源车每公里耗电量（度）为 ，行驶500公里总耗电量为50度，则系数______。 【解析】：总耗电量=500×=50 ，即 = 0.1，两边同时平方得，解得 。 【答案】1 14. 若 有意义，则 ______。 【解析】：由被开方数非负得≥0且≥0，∴ =1，故 。 【答案】1 15. 化简：（ <3）= ______。 【解析】：原式。∵<，∴<，故原式. 【答案】 三、解决问题（共5题，共50分） 16. （8分）（代数推理） 已知实数满足等式：。 （1）求的值； （2）求的值。 【解析】：（1）∵，，且它们的和为零， ∴且，解得 ，。 （2）。 【答案】（1），；（2）。 17. （8分）（项目式学习：社区标识牌设计） 某社区需要制作一个矩形宣传标识牌。设计师给出了两种尺寸方案： 方案甲：长为 米，宽为米。 方案乙：长为米，宽为米，且要求长至少是宽的倍。 （1）若选择方案甲，且要求标识牌的面积为8平方米，求的值。 （2）若选择方案乙，且要求标识牌的长、宽在实数范围内有意义，求的取值范围。 【解析】：（1）由面积公式：，易知，两边同时平方得，故。 （2）长、宽有意义，要被开方数同时为正，即，解得，又要求长至少是宽的倍，即，两边同时平方（两边均为正）得，解得，故的取值范围是。 【答案】（1）；（2）。 18. （10分）（发现式学习：从“条件”到“最值”的发现之旅） 背景：我们知道，二次根式有意义的条件是。这个看似简单的条件，有时能帮助我们找到式子的最大值或最小值。 探索过程： （1）初步观察：对于式子， 思考①：要使这个式子有意义，实数必须满足什么条件？这个条件本身是否暗示了可以无限大或无限小？ 思考②：在式子有意义的范围内，被开方数的值在什么范围？由此，你能直接说出的取值范围吗？它的最小值是多少？ （2）逆向思考：对于式子。 思考③：先确定 的取值范围。 思考④：在这个取值范围内，被开方数 的最小值是多少？此时，整个式子 的值是多少？ 思考⑤：你认为有最大值吗？为什么？ （3）核心发现： 归纳⑥：观察以上两例，你认为对于一个形如 （其中 是一个关于 的代数式）的二次根式，它的最小值通常会在什么情况下取得？它的最大值呢？（请用一句话概括你的发现） （4）应用发现：不进行求导或复杂变形，直接运用你的发现解决以下问题。 问题⑦：式子 在实数范围内有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______。 问题⑧：式子 在实数范围内有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______。 【答案与解析】： 思考①：要使 有意义，需 ，即 。这个条件说明 不能无限大（它有一个最大值3），但可以无限小。 思考②：当 时，。因此，根据算术平方根的定义，。它的最小值是 0（当 ，即 时取得）。 思考③：要使 有意义，需 ，即 。 思考④：当 时，被开方数 ，其最小值为 0（当 时取得）。此时，。 思考⑤：因为当 时， 可以无限增大，所以 也可以无限增大，从而导致整个式子没有最大值。 归纳⑥：概括发现：对于形如 的二次根式，在其有意义的范围内，当被开方数 A 取到最小值时， 取到最小值；由于被开方数 A 可以无限增大， 通常没有最大值。 问题⑦：有意义条件：，即 。当 （即 ）时，被开方数取最小值 0，故 有最小值，这个值是 0。 问题⑧：先看 。有意义条件：，即。当 （即时， 取最小值 0。此时，整个式子取得最大值，这个值是 10。 19. （12分）（跨学科应用：物理中的阻尼振动） 在物理学中，某阻尼振动的振幅衰减模型里，第 次振动与第 1 次振动的振幅之比 η 满足：，其中 ζ 为一个小于 1 的正常数（阻尼比）。 （1）当 ζ = 0.1， =3 时，求 η 的值（结果保留根号）。 （2）为了保证振动有意义（振幅比为实数），阻尼比 ζ 需要满足什么条件？（用含 的不等式表示） （3）若某次实验中，测得第 2 次与第 1 次的振幅比 η =，请求出该系统的阻尼比 ζ。 【答案与解析】： （1）。（答案暂不要求化为最简根式） （2）由 η 为实数，得 ，即，即，又∵ n, ζ > 0， ∴ ，∴，∴，∴。 （3）当 ，η = 时，有 ，两边同时平方得：， ∴，∴。 ∵ ζ > 0， ∴ ζ = = 0.25。 20. （12分）（阅读理解与规律探究） 阅读材料：||，例如 ， 。在后续的学习中，我们还将遇到这样的公式：（）。 应用与探究： （1）化简：。 （2）发现规律：观察下列等式： ... 根据上述规律，写出 （共 个相加）的结果，并证明你的结论。 （3）应用规律：快速计算 （共 10 个 相加）的值。 【答案与解析】： （1）∵ π ≈ 3.14 < 4，∴ < 0。∴ = || = 。 （2）规律：。 证明：。 （3）应用：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1 二次根式及其性质（同步预习讲义） 2025-2026学年八年级数学人教2024版下册 【学习目标】 · 概念识别：能准确判断二次根式，理解其双重非负性。 · 性质掌握：熟练运用= (≥0) 和 = | | 进行计算与化简。 · 灵活应用：能在现实情景与代数推理中综合运用二次根式的概念与性质。 【知识点一】二次根式：从“形”到“神”的认知 1. 概念解码 · 定义：形如 (≥0) 的式子。“形如”是关键，意味着只要最终形态符合即可。 · 内涵（双重非负性）： · 身份准入 (≥0)：被开方数必须非负，这是它存在的“资格”。 · 结果保证 (≥0)：其算术平方根的结果也非负，这是它的“本性”。 2. 典例精析（情景化） 例1（智能设备）：某款物联网芯片的待机功耗（单位：微瓦）可表示为。若该芯片功耗值为实数，则参数的取值范围是______。 3. 举一反三（递进训练） 题1：以下哪一个是二次根式？（ ） A. B. C. （AI为实数） D. 题2（环保情景）：某共享单车智能锁的电池寿命（小时）计算公式为 ，其中 为环境系数。求电池寿命 。 题3（参数讨论）：已知式子 是二次根式。 (1) 求 的取值范围。 (2) 当 取 (1) 中范围内的最小整数时，求这个二次根式的值。 【知识点二】核心性质一：= (≥0) 1. 性质阐述 · 公式：= (≥0) · 本质：平方运算与开平方运算的互逆关系。前提是本身有意义（≥0）。 2. 典例精析 例2（数据分析）：在短视频传播模型中，某个关键指数 满足 ，其中为时间（天）。化简指数 的表达式。 3. 举一反三 题4（直接应用）：计算 + 。 题5（逆向应用与书写规范）：将下列非负数写成算术平方根平方的形式： (1) 5 = ( )²； (2) (≥0 ) = ( )²。 题6（含条件化简）：已知 > 3，化简 ()² + 1。 【知识点三】核心性质二： = | | 1. 性质阐述 · 公式： = | | · 本质：先平方后开方，结果取绝对值。 为任意实数，这是与性质一的根本区别。 · 去绝对值法则：. 2. 典例精析（数形结合） 例3：实数 ， 在数轴上的位置如图。化简：。 数轴示意图： 3. 举一反三 题7（分类讨论基础）：化简 。 题8（隐含条件判断）：若 = ，则 的取值范围是 ______。 题9（综合化简）：化简 ，其中 < 0 < 。 【同步练习】 一、选择题（共10题，每题3分） 1. （概念识别）下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. （双重非负性）若 有意义，则能取的最小整数是（ ） A. B. C. D. 3. （性质辨析）下列计算正确的是（ ） A. = B. = ± C. = D. = ± 4. （情景应用）一款手机屏保图案由许多面积为2平方厘米的正方形像素点组成。每个像素点的边长为（ ）厘米。 A. B. C. D. 5. （数值估算）与 最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. （条件判断）若 | | = ，则满足（ ） A. >0 B. ≥0 C. 为任意实数 D. ≤0 7. （非负应用）已知 ，则的值为（ ） A. B. 2 C. -1 D. 1 8. （数形结合）实数 、在数轴上的位置如图，则 可化简为（ ） A. B. C. D. 9. （新运算探究）规定运算：＊。则＊的值为（ ） A. B. C. D. 10. （综合判断）下列说法：①是二次根式；②= ；③若=，则=；④的平方根是±。正确的有（ ）个。 A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题4分） 11. 使 有意义的的取值范围是 ______。 12. 计算： = ______。 13. （情景）某新能源车每公里耗电量（度）为 ，行驶500公里总耗电量为50度，则系数______。 14. 若 有意义，则 ______。 15. 化简：（ <3）= ______。 三、解决问题（共5题，共50分） 16. （8分）（代数推理） 已知实数满足等式：。 （1）求的值； （2）求的值。 17. （8分）（项目式学习：社区标识牌设计） 某社区需要制作一个矩形宣传标识牌。设计师给出了两种尺寸方案： 方案甲：长为 米，宽为米。 方案乙：长为米，宽为米，且要求长至少是宽的倍。 （1）若选择方案甲，且要求标识牌的面积为8平方米，求的值。 （2）若选择方案乙，且要求标识牌的长、宽在实数范围内有意义，求的取值范围。 18. （10分）（发现式学习：从“条件”到“最值”的发现之旅） 背景：我们知道，二次根式有意义的条件是。这个看似简单的条件，有时能帮助我们找到式子的最大值或最小值。 探索过程： （1）初步观察：对于式子， 思考①：要使这个式子有意义，实数必须满足什么条件？这个条件本身是否暗示了可以无限大或无限小？ 思考②：在式子有意义的范围内，被开方数的值在什么范围？由此，你能直接说出的取值范围吗？它的最小值是多少？ （2）逆向思考：对于式子。 思考③：先确定 的取值范围。 思考④：在这个取值范围内，被开方数 的最小值是多少？此时，整个式子 的值是多少？ 思考⑤：你认为有最大值吗？为什么？ （3）核心发现： 归纳⑥：观察以上两例，你认为对于一个形如 （其中 是一个关于 的代数式）的二次根式，它的最小值通常会在什么情况下取得？它的最大值呢？（请用一句话概括你的发现） （4）应用发现：不进行求导或复杂变形，直接运用你的发现解决以下问题。 问题⑦：式子 在实数范围内有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______。 问题⑧：式子 在实数范围内有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______。 19. （12分）（跨学科应用：物理中的阻尼振动） 在物理学中，某阻尼振动的振幅衰减模型里，第 次振动与第 1 次振动的振幅之比 η 满足：，其中 ζ 为一个小于 1 的正常数（阻尼比）。 （1）当 ζ = 0.1， =3 时，求 η 的值（结果保留根号）。 （2）为了保证振动有意义（振幅比为实数），阻尼比 ζ 需要满足什么条件？（用含 的不等式表示） （3）若某次实验中，测得第 2 次与第 1 次的振幅比 η =，请求出该系统的阻尼比 ζ。 20. （12分）（阅读理解与规律探究） 阅读材料：||，例如 ， 。在后续的学习中，我们还将遇到这样的公式：（）。 应用与探究： （1）化简：。 （2）发现规律：观察下列等式： ... 根据上述规律，写出 （共 个相加）的结果，并证明你的结论。 （3）应用规律：快速计算 （共 10 个 相加）的值。 学科网（北京）股份有限公司 $