精品解析：浙江省乐清市荆山公学2025-2026学年高二上学期数学周测试卷（12月21日）

荆山公学2025-2026学年度高二周测试卷 数 学 考试范围：选择性必修一；考试时间：12月21日17：10-19：10 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解. 【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为， 代入点，得， 解得， 则直线方程为，即， 综上所述直线方程为或， 故选：C. 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 经检验当时，两直线重合，所以. 故选：A. 3. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理的推论计算. 【详解】∵四点共面，且任意三点不共线， ∴，则. 故选：D. 4. 若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为， 则. 故选：B 5. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 6. 已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是． 故选：A. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得．可得m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化简解出即可得出． 【详解】设AF1＝m，AF2＝n． 如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2， ∴． 则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m． 化为：m2，n2＝9m2＝6b2． ∴6b2＝4c2． ∴c2， 化为：． 故选D． 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 二、多选题（共18分） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 B. 已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间点对称特征求解判断A；根据空间向量基本定理求解判断B；利用空间向量投影向量的运算法则及数量积的坐标运算求解判断C；将放在同一个平面上，利用余弦定理求解最小值判断D. 【详解】点关于轴对称点的坐标是，故选项A为假命题； 由题意不共面，， 故选项B为真命题； 向量在向量上的投影向量为，故选项C为真命题； 由题可得示意图图一，将放在同一个平面上得图二， 当三点共线的时候有最小值为BD， 由题可知，， 由余弦定理可知，， 故选项D为假命题. 故选：BC. 10. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出椭圆方程，并求离心率，将以为直径的圆的方程与椭圆的方程联立，求出交点个数，即可判断选项B，利用点差法求出直线l得方程，即可判断C，观察直线l过椭圆的焦点，即可判断D. 【详解】对于选项A：由已知条件可得，即得， 所以离心率为：，故选项A错误. 对于选项B：由椭圆方程可知，， 以为直径的圆的圆心为，半径为2，圆的方程为， 联立可得，所以，圆与椭圆的交点个数为4个， 故椭圆上存在点使得，故选项B正确. 对于选项C：设，则, 两式相减得， 由直线与椭圆交于、两点， 且点为线段MN的中点，可知 又所以直线l的斜率为，所以直线方程为 整理得：，故选项C正确. 对于选项D：直线过椭圆的焦点，的周长为，故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若两条平行直线与间的距离为，则 C. 直线过定点 D. 点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【详解】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，当当时取到最小值2，结合平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】设，则，， 当时，最小，此时， 从而 ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合对称，可得三点共线时取到最大值. 【详解】, 点分别是圆，圆上的动点， 可知： 所以，， 设关于轴的对称点为，则， 当三点共线时，取最大，最大值为， 所以， 故答案为：7 14. 已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是______. 【答案】② 【解析】 【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①；利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②；首先表示四面体外接球的半径，再判断有无最值. 【详解】对于①：如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ， 所以当时，的面积最大，最大值是，故①错误； 对于②：， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； 对于③：设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误. 故答案为：② 四、解答题（共77分） 15. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； 【小问2详解】 ∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 16. 已知圆关于直线对称，且过点 （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. 【小问1详解】 由题意：. 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. 【小问2详解】 因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或. 所以直线的方程为：或. 17. 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． （1）用向量表示向量，并求的长度； （2）设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【小问1详解】 因为， ， 所以； 所以 ， 所以. 【小问2详解】 假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可得， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 19. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以，因为 ， 故平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 点是内一动点且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时， ， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角得余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆山公学2025-2026学年度高二周测试卷 数 学 考试范围：选择性必修一；考试时间：12月21日17：10-19：10 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 以上都不正确 3. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 B. 已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为 10. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 11. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若两条平行直线与间的距离为，则 C. 直线过定点 D. 点到直线距离的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为______. 13. 已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，，则的最大值为__________. 14. 已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是______. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离. 16. 已知圆关于直线对称，且过点 （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 17. 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． （1）用向量表示向量，并求的长度； （2）设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 19. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $