21 鸽巢原理的拓展应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

知遮引就 导航知识一一科学提分 鸽巢原理的拓展应用 目核心方法论与知识体系构建 .1 意知识体系全景梳理… 1 ？高效记忆方法…。 d典型真题解构与解题策略精讲.…2 弓考点一：拓展公式的运用.2 骨考点二：鸽巢原理在生活中的应用.3 ▲易错避坑指南一一直击失分痛点，突破提分瓶颈…5 具分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁6 x基础夯实篇(7题) 6 园能力进阶篇（6题)6 ●思维跃迁篇(7题) 7 Q精准解析与解题范式一思路拆解·步骤规范·知识点睛…10 基础夯实篇10 习能力进阶篇.… .12 喝思维跃迁篇14 打造“知识系统化+记忆高数化+解题技巧化”三位一体学习方穿 知途引就 导航知识一一科学提分 目核心方法论与知识体系构建 Q知识体系全景梳理 鸽巢原理的拓展应用是在基本形式基础上的深化，核心围绕拓展公式和生 活场景适配展开，突破“物体数=容器数+1”的简单模型，聚焦“有余数分 配”的逻辑推理，需精准掌握公式运用与场景转化能力，具体知识点如下 知识点 具体内容 关键要点 1. 核心公式：物体数÷容器数=商…余数 (余数>0)，则至少数=商+1： 1. 余数范围必须是 1≤余数<容器数，不 2. 特殊情况：若余数=0（物体数是容器数的 可大于或等于容器数： 整数倍)，则至少数=商： 鸽巢原理拓 2. 公式是逻辑推理的 3. 公式推导：假设每个容器先放“商”个物 展公式 核心，避免凭直觉判断 体， 剩余“余数”个物体(1≤余数<容器 至少数： 数)，将余数平均分给不同容器，至少有1个 容器多1个，即商+1： 3 关键是先确定“物 体数”和“容器数”， 4.示例：10个物体放进3个容器， 再代入公式计算 10÷3=3…1,至少数=3+1=4 1. 属相问题：属相共12种（容器数），人 1. 生活场景的核心是 数（物体数）≥13时，至少2人属相相同： “找容器、定物体”， 2. 花色问题：扑克牌花色4种（容器数）， 容器数是“类别数”， 抽牌数（物体数）≥5时，至少2张花色相 物体数是“总量数”： 鸽巢原理的 同： 2. 复杂场景需先分组 生活应用 3.分配问题：物资分配、人数分组、颜色搭 (如数字和问题)，将 配等，需先提取“容器类型”和“物体总 分组作为容器； 量 3 结合公式计算时， 4. 数字问题：1-10数字中，任意选6个，至 确保容器数与物体数对 少有2个数字和为11（分组为容器） 应准确 高效记忆方法 1.口诀记忆法 ◆公式口诀：物体除以巢，商余要记牢：余数不为零，至少商加一：余 数若为零，至少就等于商。 ◆场景口诀：生活应用找容器，类别数量是关键：物体总量比容器，代 入公式得答案。 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 1 知途引就 导航知识一一科学提分 2.对比记忆法（拓展公式与生活场景对应表） 场景类 容器数 物体数 型 公式应用 结论 (类别数) (总量数) 属相问题 12(12种属 15人 15÷12=1…3, 至少 至少2人属相 相) 数=1+1=2 相同 花色问题 7÷41…3,至少数 至少2张花色 4(4种花色) 7张牌 =1+1=2 相同 5个抽屉 22本书 22÷5=4…2, 至少数 至少1个抽屉 分配问题 =4+1=5 放5本书 数字问题 5组（和为11 6÷5=1…1,至少数 至少2个数字 的组) 6个数字 =1+1=2 和为11 典型真题解构与解题策略精讲 量考点一：拓展公式的运用 考点解读 考查拓展公式的直接应用，需准确计算商和余数，结合公式得出至少数， 常以填空题、计算题、选择题形式出现，占分3-4分。 补典型真题1（计算题) 把25个乒乓球放进4个盒子里，无论怎么放，至少有1个盒子里放了多 少个乒乓球？（用拓展公式解答） ☑解题步骤 ①确定物体数与容器数：乒乓球（物体数=25），盒子（容器数=4）： ②代入公式计算商和余数：25÷4=6.1（商=6，余数=1,1<4）； ③套用拓展公式：余数0，至少数=商+1=6+1=7： ④验证推理：假设每个盒子先放6个，4个盒子共放24个，剩余1个放 进任意盒子，该盒子有7个： ⑤得出答案：至少有1个盒子里放了7个乒乓球。 回方法总结 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 运用拓展公式的核心是“先算商余，再定至少数”，余数不为0时必加 1,余数为0时直接取商，避免遗漏余数判断。 特典型真题2（选择题) 把36块巧克力放进8个口袋里，至少有1个口袋里放了( )块巧克 力。 A.4 B.5 C.6 D.7 ☑解题步骤 ①计算商和余数：36÷8=4...4（商=4，余数=4,4<8)： ②套用公式：至少数=4+1=5： ③排除选项：A(4是商，未加余数)、C、D不符合计算结果； ④选择答案：B: ⑤验证：每个口袋先放4块，8个口袋放32块，剩余4块分给4个口 袋，这4个口袋各放5块，结论成立。 母方法总结 注意区分“商”和“至少数”，避免直接将商作为答案，需根据余数判断 是否加1。 一考点二：鸽巢原理在生活中的应用 考点解读 考查生活场景的转化能力，需从题目中提取容器数（类别）和物体数（总 量)，再用拓展公式求解，常以应用题、综合题形式出现，占分4-5分。 特典型真题1（应用题） 六年级有58名同学，至少有几名同学在同一个月出生？（一年按12个月 计算，用鸽巢原理解答) ☑解题步骤 ①场景转化：月份为容器（容器数=12)，同学为物体（物体数=58）； 打造“知识系统化+记忆高敏化+解题技巧化”三位一体学习方穿 3 知途引就 导航知识一一科学提分 ②计算商和余数：58÷12=4...10（商=4，余数=10,10<12）； ③求至少数：余数0，至少数=4+1=5； ④推理验证：假设每个月有4名同学出生，12个月共48名，剩余10名 分给10个月份，这10个月份各有5名同学； ⑤答：至少有5名同学在同一个月出生。 ⑧方法总结 生活场景解题的关键是“精准定位容器和物体”，容器数通常是“固定类 别数”（如月份、属相、花色），物体数是“总量数”（如人数、牌数）。 ◆典型真题2（综合题） 一副扑克牌（去掉大小王，共52张），从中任意抽出多少张牌，才能保证 至少有3张牌的花色相同？ ☑解题步骤 ①场景转化：花色为容器（4种花色，容器数=4)，抽的牌为物体，目标 至少数=3： ②反向推导物体数：要保证至少3张同花色，最不利情况是每种花色先抽 2张，共4×2=8张： ③计算最少抽牌数：再抽1张，无论是什么花色，都能保证有3张同花 色，即8+1=9张； ④用公式验证：设抽×张，X÷4=2..1,X=4×2+1=9,至少数=2+1=3， 符合要求： ⑤答：至少抽出9张牌，才能保证至少有3张牌的花色相同。 母方法总结 “保证类”问题需先考虑“最不利情况”（每种容器先放“至少数-1”个 物体)，再加1即可，本质是拓展公式的反向应用。 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 ▲易错避坑指南—直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 余数判断 计算20÷6=3…2，误将至少 牢记公式：余数>0时，至少数=商+1； 错误 数算成3（未加1） 余数=0时，至少数=商，本题余数 =2≠0，至少数=3+1=4 容器与物 属相问题中，误将人数当作容 明确：容器是固定类别（属相、花色、 体混淆 器，属相当作物体 月份)，物体是分配的总量（人数、牌 数、物资数)，不可颠倒 最不利情 “保证3张同花色”，误算成抽 最不利情况是每种花色先抽“至少数 况漏算 4+1=5张 1”张(3-1=2张)，共4×2=8张，再 加1张，即9张 公式套用 物体数是容器数的整数倍 错误 (16÷4=4),误算至少数 余数=0时，至少数=商，本题至少数 =4,即每个容器放4个，无剩余 =4+1=5 场景分组 数字1-9中，找“至少2个数字 先分组(1+9、2+8、3+7、4+6、5)，容 错误 和为10”，未分组直接计算 器数=5，物体数≥6时满足，需先分组 再用公式 打造“知识深统化+记忆高放化+？瓶技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 口分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁 基础夯实篇(7题) 一、填空题(3题) 1.鸽巢原理拓展公式：物体数÷容器数=商..…余数，当余数>0时，至 少数=()；当余数=0时，至少数=( )。 2.把17个苹果放进5个盘子里，17÷5=（).…( ),至 少有1个盘子里放了( )个苹果。 3.一年有12个月份，要保证至少有2名同学在同一个月出生，至少需要 ()名同学。 二、判断题（2题) 4.把24块蛋糕放进6个盒子里，至少有1个盒子里放了5块蛋糕。 ( 5.任意抽出5张扑克牌（去掉大小王），至少有2张牌的花色相同。 ( 三、选择题（2题) 6.把31颗糖果放进7个袋子里，至少有1个袋子里放了()颗糖 果。 A.4 B.5 C.6 D.7 7.学校有6个兴趣小组，要保证至少有2名同学在同一个兴趣小组，至 少需要( )名同学报名。 A.6 B.7 C.8 D.9 能力进阶篇(6题) 一、填空题（2题) 8.把47本书放进8个抽屉里，至少有1个抽屉里放了（)本书： 6 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 把36个零件放进9个盒子里，至少有1个盒子里放了( )个零件。 9.一副扑克牌（去掉大小王)，任意抽出()张，才能保证至少 有2张牌的点数相同（点数有1-13种）。 二、判断题（1题) 10.把19个球放进3个袋子里，19÷3=6...1，至少有1个袋子里放了 7个球。() 三、计算题（2题) 11.(1)把29个橘子放进6个果盘里，至少有1个果盘里放了多少个橘 子？ (2)把42个玩具放进9个箱子里，至少有1个箱子里放了多少个玩具？ 四、应用题(1题) 12.五年级有65名同学，属相共有12种，至少有几名同学的属相相同？ (用拓展公式解答，写出完整步骤) 思维跃迁篇(7题) 一、填空题（1题) 13.要保证至少有3个同学的生日在同一个星期（一年按52个星期计 算)，至少需要()名同学。 打造“知识系统化+记忆高敏化+解题技巧化”三位一体学习方肉 7 知途引就 导航知识一一科学提分 二、应用题(2题) 14,一副扑克牌（去掉大小王)，从中任意抽出多少张牌，才能保证至少 有4张牌的花色相同？ 15.把53块饼干分给9个小朋友，每人至少分1块，至少有1个小朋友 分了多少块饼干？ 三、综合题（2题) 16.(1)判断：“把30个苹果放进7个篮子里，至少有1个篮子里放 了5个苹果”是否正确： (2)用拓展公式写出详细推理过程。 17.有4种颜色的气球，每种颜色各8个，从中任意拿气球，至少拿多少 个，才能保证有3种不同颜色的气球？ 打造“知识深统化+记忆高放化+？瓶技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 四、拓展题（2题) 18.数字1-10中，任意选出多少个数字，才能保证至少有2个数字的和 为11？（提示：先分组，再用鸽巢原理) 19.把28个苹果分给若干个小朋友，每人分的个数相同，且至少分2 个，最多分8个，至少有几个小朋友分的苹果个数相同？ 20.一个班有45名同学，每人都订阅了《语文报》《数学报》《英语 报》中的一种或几种，至少有几名同学订阅的报刊种类相同？（提示：先列举 报刊订阅种类) 打造“知识深统化+记忆高放化+程通技巧化”三位一体学习方肉 9 知途引航 导航知识——科学提分 鸽巢原理的拓展应用 📋 核心方法论与知识体系构建 1 🔍 知识体系全景梳理 1 💡 高效记忆方法 1 📊 典型真题解构与解题策略精讲 2 📝 考点一：拓展公式的运用 2 📝 考点二：鸽巢原理在生活中的应用 3 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 5 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 6 🌱 基础夯实篇（7题） 6 🚀 能力进阶篇（6题） 6 🧠 思维跃迁篇（7题） 7 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 10 🌱 基础夯实篇 10 🚀 能力进阶篇 12 🧠 思维跃迁篇 14 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 🔍 知识体系全景梳理 鸽巢原理的拓展应用是在基本形式基础上的深化，核心围绕拓展公式和生活场景适配展开，突破“物体数=容器数+1”的简单模型，聚焦“有余数分配”的逻辑推理，需精准掌握公式运用与场景转化能力，具体知识点如下： 知识点 具体内容 关键要点 鸽巢原理拓展公式 1. 核心公式：物体数÷容器数=商……余数（余数＞0），则至少数=商+1； 2. 特殊情况：若余数=0（物体数是容器数的整数倍），则至少数=商； 3. 公式推导：假设每个容器先放“商”个物体，剩余“余数”个物体（1≤余数＜容器数），将余数平均分给不同容器，至少有1个容器多1个，即商+1； 4. 示例：10个物体放进3个容器，10÷3=3……1，至少数=3+1=4 1. 余数范围必须是1≤余数＜容器数，不可大于或等于容器数； 2. 公式是逻辑推理的核心，避免凭直觉判断至少数； 3. 关键是先确定“物体数”和“容器数”，再代入公式计算 鸽巢原理的生活应用 1. 属相问题：属相共12种（容器数），人数（物体数）≥13时，至少2人属相相同； 2. 花色问题：扑克牌花色4种（容器数），抽牌数（物体数）≥5时，至少2张花色相同； 3. 分配问题：物资分配、人数分组、颜色搭配等，需先提取“容器类型”和“物体总量”； 4. 数字问题：1-10数字中，任意选6个，至少有2个数字和为11（分组为容器） 1. 生活场景的核心是“找容器、定物体”，容器数是“类别数”，物体数是“总量数”； 2. 复杂场景需先分组（如数字和问题），将分组作为容器； 3. 结合公式计算时，确保容器数与物体数对应准确 💡 高效记忆方法 1. 口诀记忆法 📌 公式口诀：物体除以巢，商余要记牢；余数不为零，至少商加一；余数若为零，至少就等于商。 📌 场景口诀：生活应用找容器，类别数量是关键；物体总量比容器，代入公式得答案。 2. 对比记忆法（拓展公式与生活场景对应表） 场景类型 容器数 （类别数） 物体数 （总量数） 公式应用 结论 属相问题 12（12种属相） 15人 15÷12=1……3，至少数=1+1=2 至少2人属相相同 花色问题 4（4种花色） 7张牌 7÷4=1……3，至少数=1+1=2 至少2张花色相同 分配问题 5个抽屉 22本书 22÷5=4……2，至少数=4+1=5 至少1个抽屉放5本书 数字问题 5组（和为11的组） 6个数字 6÷5=1……1，至少数=1+1=2 至少2个数字和为11 📊 典型真题解构与解题策略精讲 📝 考点一：拓展公式的运用 考点解读 考查拓展公式的直接应用，需准确计算商和余数，结合公式得出至少数，常以填空题、计算题、选择题形式出现，占分3-4分。 ✨ 典型真题1（计算题） 把25个乒乓球放进4个盒子里，无论怎么放，至少有1个盒子里放了多少个乒乓球？（用拓展公式解答） ✅ 解题步骤 ① 确定物体数与容器数：乒乓球（物体数=25），盒子（容器数=4）； ② 代入公式计算商和余数：25÷4=6……1（商=6，余数=1，1＜4）； ③ 套用拓展公式：余数≠0，至少数=商+1=6+1=7； ④ 验证推理：假设每个盒子先放6个，4个盒子共放24个，剩余1个放进任意盒子，该盒子有7个； ⑤ 得出答案：至少有1个盒子里放了7个乒乓球。 🔄 方法总结 运用拓展公式的核心是“先算商余，再定至少数”，余数不为0时必加1，余数为0时直接取商，避免遗漏余数判断。 ✨ 典型真题2（选择题） 把36块巧克力放进8个口袋里，至少有1个口袋里放了（ ）块巧克力。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 ✅ 解题步骤 ① 计算商和余数：36÷8=4……4（商=4，余数=4，4＜8）； ② 套用公式：至少数=4+1=5； ③ 排除选项：A（4是商，未加余数）、C、D不符合计算结果； ④ 选择答案：B； ⑤ 验证：每个口袋先放4块，8个口袋放32块，剩余4块分给4个口袋，这4个口袋各放5块，结论成立。 🔄 方法总结 注意区分“商”和“至少数”，避免直接将商作为答案，需根据余数判断是否加1。 📝 考点二：鸽巢原理在生活中的应用 考点解读 考查生活场景的转化能力，需从题目中提取容器数（类别）和物体数（总量），再用拓展公式求解，常以应用题、综合题形式出现，占分4-5分。 ✨ 典型真题1（应用题） 六年级有58名同学，至少有几名同学在同一个月出生？（一年按12个月计算，用鸽巢原理解答） ✅ 解题步骤 ① 场景转化：月份为容器（容器数=12），同学为物体（物体数=58）； ② 计算商和余数：58÷12=4……10（商=4，余数=10，10＜12）； ③ 求至少数：余数≠0，至少数=4+1=5； ④ 推理验证：假设每个月有4名同学出生，12个月共48名，剩余10名分给10个月份，这10个月份各有5名同学； ⑤ 答：至少有5名同学在同一个月出生。 🔄 方法总结 生活场景解题的关键是“精准定位容器和物体”，容器数通常是“固定类别数”（如月份、属相、花色），物体数是“总量数”（如人数、牌数）。 ✨ 典型真题2（综合题） 一副扑克牌（去掉大小王，共52张），从中任意抽出多少张牌，才能保证至少有3张牌的花色相同？ ✅ 解题步骤 ① 场景转化：花色为容器（4种花色，容器数=4），抽的牌为物体，目标至少数=3； ② 反向推导物体数：要保证至少3张同花色，最不利情况是每种花色先抽2张，共4×2=8张； ③ 计算最少抽牌数：再抽1张，无论是什么花色，都能保证有3张同花色，即8+1=9张； ④ 用公式验证：设抽x张，x÷4=2……1，x=4×2+1=9，至少数=2+1=3，符合要求； ⑤ 答：至少抽出9张牌，才能保证至少有3张牌的花色相同。 🔄 方法总结 “保证类”问题需先考虑“最不利情况”（每种容器先放“至少数-1”个物体），再加1即可，本质是拓展公式的反向应用。 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 余数判断错误 计算20÷6=3……2，误将至少数算成3（未加1） 牢记公式：余数＞0时，至少数=商+1；余数=0时，至少数=商，本题余数=2≠0，至少数=3+1=4 容器与物体混淆 属相问题中，误将人数当作容器，属相当作物体 明确：容器是固定类别（属相、花色、月份），物体是分配的总量（人数、牌数、物资数），不可颠倒 最不利情况漏算 “保证3张同花色”，误算成抽4+1=5张 最不利情况是每种花色先抽“至少数-1”张（3-1=2张），共4×2=8张，再加1张，即9张 公式套用错误 物体数是容器数的整数倍（16÷4=4），误算至少数=4+1=5 余数=0时，至少数=商，本题至少数=4，即每个容器放4个，无剩余 场景分组错误 数字1-9中，找“至少2个数字和为10”，未分组直接计算 先分组（1+9、2+8、3+7、4+6、5），容器数=5，物体数≥6时满足，需先分组再用公式 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（7题） 一、填空题（3题） 1． 鸽巢原理拓展公式：物体数÷容器数=商……余数，当余数＞0时，至少数=（ ）；当余数=0时，至少数=（ ）。 2． 把17个苹果放进5个盘子里，17÷5=（ ）……（ ），至少有1个盘子里放了（ ）个苹果。 3． 一年有12个月份，要保证至少有2名同学在同一个月出生，至少需要（ ）名同学。 二、判断题（2题） 4． 把24块蛋糕放进6个盒子里，至少有1个盒子里放了5块蛋糕。（ ） 5． 任意抽出5张扑克牌（去掉大小王），至少有2张牌的花色相同。（ ） 三、选择题（2题） 6． 把31颗糖果放进7个袋子里，至少有1个袋子里放了（ ）颗糖果。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7． 学校有6个兴趣小组，要保证至少有2名同学在同一个兴趣小组，至少需要（ ）名同学报名。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 🚀 能力进阶篇（6题） 一、填空题（2题） 8． 把47本书放进8个抽屉里，至少有1个抽屉里放了（ ）本书；把36个零件放进9个盒子里，至少有1个盒子里放了（ ）个零件。 9． 一副扑克牌（去掉大小王），任意抽出（ ）张，才能保证至少有2张牌的点数相同（点数有1-13种）。 二、判断题（1题） 10． 把19个球放进3个袋子里，19÷3=6……1，至少有1个袋子里放了7个球。（ ） 三、计算题（2题） 11． （1）把29个橘子放进6个果盘里，至少有1个果盘里放了多少个橘子？ （2）把42个玩具放进9个箱子里，至少有1个箱子里放了多少个玩具？ 四、应用题（1题） 12． 五年级有65名同学，属相共有12种，至少有几名同学的属相相同？（用拓展公式解答，写出完整步骤） 🧠 思维跃迁篇（7题） 一、填空题（1题） 13． 要保证至少有3个同学的生日在同一个星期（一年按52个星期计算），至少需要（ ）名同学。 二、应用题（2题） 14． 一副扑克牌（去掉大小王），从中任意抽出多少张牌，才能保证至少有4张牌的花色相同？ 15． 把53块饼干分给9个小朋友，每人至少分1块，至少有1个小朋友分了多少块饼干？ 三、综合题（2题） 16． （1）判断：“把30个苹果放进7个篮子里，至少有1个篮子里放了5个苹果”是否正确； （2）用拓展公式写出详细推理过程。 17． 有4种颜色的气球，每种颜色各8个，从中任意拿气球，至少拿多少个，才能保证有3种不同颜色的气球？ 四、拓展题（2题） 18． 数字1-10中，任意选出多少个数字，才能保证至少有2个数字的和为11？（提示：先分组，再用鸽巢原理） 19． 把28个苹果分给若干个小朋友，每人分的个数相同，且至少分2个，最多分8个，至少有几个小朋友分的苹果个数相同？ 20． 一个班有45名同学，每人都订阅了《语文报》《数学报》《英语报》中的一种或几种，至少有几名同学订阅的报刊种类相同？（提示：先列举报刊订阅种类） 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 🌱 基础夯实篇 一、填空题 1． 【答案】商+1；商 ✅ 解题步骤 ① 回顾拓展公式核心：余数＞0时，至少数=商+1；余数=0时，至少数=商； ② 按公式定义填写，确保表述准确； ③ 填写答案。 【知识点睛】余数的有无是判断至少数计算方式的关键，牢记公式适用条件。 2． 【答案】3；2；4 ✅ 解题步骤 ① 计算商和余数：17÷5=3……2（商=3，余数=2＞0）； ② 套用公式：至少数=3+1=4； ③ 填写答案。 【知识点睛】即使余数较小（如2），也需加1，避免直接取商作为至少数。 3． 【答案】13 ✅ 解题步骤 ① 容器数=12（月份），要保证至少2人同月份，物体数=容器数+1=12+1=13； ② 验证：13÷12=1……1，至少数=1+1=2，符合要求； ③ 填写答案。 【知识点睛】“保证至少2个同容器”，物体数最小为容器数+1，是拓展公式的特殊情况（商=1，余数=1）。 二、判断题 4． 【答案】× ✅ 解题步骤 ① 计算商和余数：24÷6=4……0（余数=0）； ② 套用公式：至少数=商=4，即至少1个盒子放4块，不是5块； ③ 得出结论：题干表述错误。 【知识点睛】余数为0时，至少数等于商，无需加1，避免惯性加1的错误。 5． 【答案】√ ✅ 解题步骤 ① 容器数=4（花色），物体数=5； ② 计算：5÷4=1……1，至少数=1+1=2； ③ 结论：至少2张花色相同，题干表述正确。 【知识点睛】花色问题是生活中常见场景，容器数固定为4，直接代入公式即可。 三、选择题 6． 【答案】B ✅ 解题步骤 ① 计算商和余数：31÷7=4……3（商=4，余数=3＞0）； ② 至少数=4+1=5； ③ 选择答案：B。 【知识点睛】无论余数是1还是3，只要余数＞0，都需加1，至少数统一为商+1。 7． 【答案】B ✅ 解题步骤 ① 容器数=6（兴趣小组），保证至少2人同小组，物体数=6+1=7； ② 验证：7÷6=1……1，至少数=2，符合要求； ③ 选择答案：B。 【知识点睛】“保证至少2个同容器”的最小物体数=容器数+1，适用于所有场景。 🚀 能力进阶篇 一、填空题 8． 【答案】6；4 ✅ 解题步骤 ① 47÷8=5……7（余数=7＞0），至少数=5+1=6； ② 36÷9=4……0（余数=0），至少数=4； ③ 填写答案。 【知识点睛】区分余数为0和不为0的两种情况，分别套用对应公式。 9． 【答案】14 ✅ 解题步骤 ① 容器数=13（点数），保证至少2张同点数，最不利情况是每种点数抽1张，共13张； ② 再抽1张，必与某点数重复，即13+1=14张； ③ 填写答案。 【知识点睛】“保证类”问题先算最不利情况（每种容器1个），再加1。 二、判断题 10． 【答案】√ ✅ 解题步骤 ① 19÷3=6……1（商=6，余数=1＞0）； ② 至少数=6+1=7，即至少1个袋子放7个球； ③ 得出结论：题干表述正确。 【知识点睛】严格按“算商余→套公式”的步骤，避免主观判断。 三、计算题 11． 【答案】（1）5个；（2）5个 ✅ 解题步骤 ① （1）29÷6=4……5（商=4，余数=5＞0）； ② 至少数=4+1=5，即至少1个果盘放5个； ③ （2）42÷9=4……6（商=4，余数=6＞0）； ④ 至少数=4+1=5，即至少1个箱子放5个。 四、应用题 12． 【答案】6名 ✅ 解题步骤 ① 场景转化：属相为容器（容器数=12），同学为物体（物体数=65）； ② 计算商和余数：65÷12=5……5（商=5，余数=5＞0）； ③ 套用公式：至少数=5+1=6； ④ 验证：每个属相先有5名同学，12个属相共60名，剩余5名分给5个属相，这5个属相各有6名； ⑤ 答：至少有6名同学的属相相同。 【知识点睛】完整步骤需体现“场景转化→公式计算→验证→作答”，逻辑闭环。 🧠 思维跃迁篇 一、填空题 13． 【答案】105 ✅ 解题步骤 ① 容器数=52（星期），保证至少3人同星期，最不利情况是每个星期有2名同学，共52×2=104名； ② 再加1名，即104+1=105名，可保证至少3人同星期； ③ 填写答案。 【知识点睛】“保证至少n个同容器”，最不利情况是每个容器放n-1个，再加1。 二、应用题 14． 【答案】13张 ✅ 解题步骤 ① 容器数=4（花色），保证至少4张同花色，最不利情况是每种花色抽3张，共4×3=12张； ② 再抽1张，无论是什么花色，都能保证有4张同花色，即12+1=13张； ③ 答：至少抽出13张牌。 【知识点睛】最不利情况的核心是“差1个满足条件”，再补1个即可保证。 15． 【答案】7块 ✅ 解题步骤 ① 物体数=53，容器数=9； ② 计算商和余数：53÷9=5……8（商=5，余数=8＞0）； ③ 至少数=5+1=7； ④ 答：至少有1个小朋友分了7块饼干。 【知识点睛】“每人至少分1块”不影响公式应用，只需按物体数和容器数计算即可。 三、综合题 16． 【答案】（1）正确；（2）推理见解析 ✅ 解题步骤 ① （1）结论：正确； ② （2）推理过程： 1. 物体数=30，容器数=7； 2. 计算商和余数：30÷7=4……2（商=4，余数=2＞0）； 3. 套用公式：至少数=4+1=5； 4. 验证：每个篮子先放4个，7个篮子放28个，剩余2个分给2个篮子，这2个篮子各放5个，结论成立。 17． 【答案】17个 ✅ 解题步骤 ① 最不利情况：先把2种颜色的气球全部拿完，共8×2=16个； ② 再拿1个，必是第3种颜色，即16+1=17个； ③ 答：至少拿17个，才能保证有3种不同颜色的气球。 【知识点睛】“保证多种颜色”需先拿完最多的2种，再补1种，规避最不利情况。 四、拓展题 18． 【答案】6个 ✅ 解题步骤 ① 分组（和为11）：（1,10）、（2,9）、（3,8）、（4,7）、（5,6），共5组（容器数=5）； ② 最不利情况：每组先选1个数字，共5个； ③ 再选1个数字，必与某组数字和为11，即5+1=6个； ④ 答：任意选出6个数字，才能保证至少有2个数字的和为11。 【知识点睛】复杂数字问题需先分组，将分组作为容器，再用鸽巢原理。 19． 【答案】4个 ✅ 解题步骤 ① 分配种类（容器数）=7（2、3、4、5、6、7、8）； ② 28个苹果按7种分配，平均每种4个，即至少4个小朋友分的个数相同； 最终答案：4个。 【知识点睛】需先明确分配种类（容器），再按“平均分配”找最少相同个数。 20． 【答案】7名 ✅ 解题步骤 ① 列举订阅种类（容器）：单种3种（语文、数学、英语），两种3种（语数、语英、数英），三种1种（语数英），共3+3+1=7种； ② 物体数=45，容器数=7； ③ 计算商和余数：45÷7=6……3（商=6，余数=3＞0）； ④ 至少数=6+1=7； ⑤ 答：至少有7名同学订阅的报刊种类相同。 【知识点睛】复杂分配场景需先列举所有类别（容器），再代入拓展公式计算。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $