精品解析：江西省九江市武宁尚美中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

江西省九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期1月月考高二数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线方程化为斜截式，可求出直线的斜率，从而可求直线的倾斜角. 【详解】化为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又因为，所以， 故选：B 2. 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，方程表示双曲线， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 3. 在空间直角坐标系中，若点，，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式直接求解即可. 【详解】，，， 即两点间的距离为. 故选：D. 4. 点在圆外，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 5. 已知正方体棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，求出平面的法向量，利用点面距的向量公式可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则; ; 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 得平面的一个法向量为， 设到平面的距离为， 则. 故选：D 6. 经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 7. 若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，结合，即可求得离心率. 【详解】由题意知，所以，所以. 故选：D. 8. 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值即可求参数范围. 【详解】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 令，解得， 当时，切点为在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，实数的取值范围是． 故选：A. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 圆心坐标为 C. 半径 D. 半径 【答案】BD 【解析】 【分析】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径. 【详解】由可得， 所以圆心为，半径为， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD 10. 已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确. 故选：ABD 11. 已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为8 B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为 C. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】当取不同值时，得到曲线的方程，明确曲线类型及的值，求出对应曲线的焦距，即可判断A； 求出对应曲线的离心率，即可判断B；根据题目条件，列出不等式组，根据不等式组解的情况，即可判断C，D. 【详解】对于A，当时，曲线的方程为，是椭圆 . 其中，则，所以焦距，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为，是双曲线 . 其中，则，，所以离心率为，故B正确； 对于C，若曲线为焦点在轴上的双曲线， 需满足，即， 不等式组无解，所以不存在这样的实数，故C错误； 对于D，若曲线为焦点在轴上的椭圆，需满足， 其中可化为，此不等式无解， 所以不等式组无解，所以不存在这样的实数，故D错误； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12. 若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程，利用几何法求弦长即可. 【详解】由题意知，两圆的方程相减，得， 即直线的方程为，如图， 所以. 故答案为： 13. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由题意，得， 则. 所以. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆定义得，求出的范围即可得解. 【详解】椭圆中，，由椭圆定义得， 则，而， 因此，，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16 已知空间三点，，，设，. （1）求与的夹角和的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标求与的坐标，进而求，利用向量的夹角公式求解即得，再由计算即可； （2）由，得，代入坐标计算即得． 【小问1详解】 由题中条件可知，，， ，. 因为， 因为，所以. 即与的夹角为， 故的面积为： . 【小问2详解】 ， 由，得， 得， 得． 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）确定曲线类型，再设出标准方程，借助离心率及所过点列出方程组求解. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，代入求出虚半轴长平方即可. 【小问1详解】 依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 18. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过验证即可证明； （2）写出与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因， 所以， ， 因为， 所以. 【小问2详解】 由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先的面积求得，然后利用点在椭圆上求得，即可求解椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，得，然后利用二次函数性质求解范围即可. 小问1详解】 由题意知，面积是，所以， 点在椭圆上，解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意得，设直线， 联立消去得， 由解得， 设，，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期1月月考高二数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，若点，，则两点间的距离为（ ） A B. C. D. 4. 点在圆外，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A B. C. D. 7. 若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 圆心坐标为 C. 半径 D. 半径 10. 已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，曲线椭圆，其焦距为8 B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为 C. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12. 若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为__________. 13. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为____________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 16. 已知空间三点，，，设，. （1）求与的夹角和的面积； （2）若，求的值. 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 18. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $