精品解析：陕西省榆林市府谷县第二中学 2025-2026学年上学期九年级数学期末教学质量检测

2025-2026学年上学期九年级数学期末教学质量检测 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 2. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．根据从正面看到的平面图形即可判断求解，掌握从不同方向看几何体的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体从正面看到的图形是， 故选：C． 3. 小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概型求面积问题，解题的关键是理解黑色阴影部分占整体的，即可求解． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为， 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据一元二次方程的定义得到，根据方程有实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴且， 故选D． 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴平分，， 故选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意， 故选：C． 6. 矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（ ） A. 第一象限的直线 B. 第一象限的双曲线 C. 第一、三象限的双曲线 D. 第二象限的曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数在几何图形中的应用，矩形的性质根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断． 【详解】解：∵矩形面积为，相邻两边长为和， ∴，即， ∴y是x的反比例函数， 矩形的边长为正数， ，， ∴y与x的函数图象大致是第一象限的双曲线， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，,,，交于点F，交于点E，则线段的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理可知长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在矩形中， ,, , , , ， , , , , 故选：A． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】把代入反比例函数得，把代入，得， ∴，故①错； 联立两函数解析式，解得， ∴，故②对； 观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对； 由、、可知，， ∴，故④错． 综上，结论②③正确，正确的个数是2个， 故选B． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外发散形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影；手电筒作为点光源，光线从一点发出，投影线交于一点，属于中心投影． 【详解】解：∵手电筒的光源为点光源，光线从灯泡处向四周辐射，投影线均通过光源点， ∴形成的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 10. 已知四边形四边形，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为________________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为15， 故答案为：15． 11. 某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元.设平均每次降价的百分率为，根据题意，可以列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据连续两次降价的比例关系列出方程． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元． 根据题意，第二次降价后售价为100元，因此可得方程， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】菱形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质，根据菱形的性质得，，，利用勾股定理求得，由题意求得点F是的中点，进而得是的中位线，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴点F是的中点， 又∵点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是____（用“＞”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，由于 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，点在第三象限，则；点 和在第一象限，则，，当时， 随的增大而减小，则较小的点值较大，故，因此． 详解】解：∵， ∴的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵在第三象限， ∴， ∵，在第一象限，， ∴， ∴，即． 故答案为：． 14. 如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为_____________． 【答案】##12平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理；分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、M；由勾股定理求得的长，由面积关系即可求得高；由题意得，由相似三角形的性质可求得，由平行四边形面积计算公式即可求解． 【详解】解：分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、M，交于N， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． （1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴． 16. 已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】不在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好反比例函数图象上的点的特征是解题关键． 将点代入函数解析式，求出m后，计算当时，是否为1． 【详解】解：不在，理由如下： 将点代入中，得， 解得，则， 令，则， ∴点不在该反比例函数的图象上． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点O为位似中心，在第四象限内作，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别是点、、）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形等知识点，根据位似图形的性质先确定变化后关键点的坐标是解题的关键． 根据和关于原点O位似，且相似比为找出的坐标依次连接即可． 【详解】解：∵和关于原点O位似，且相似比为， ∴，连接如图所示，此时即为所求， 18. 如图，在中，，，点D为上一点，且．请用尺规作图法，在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，等边对等角，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意，利用尺规作一个角等于已知角尺规作出交于点E即为所求． 【详解】解：如图所示，点E即为所求． ∵在中，，， ∴ ∵ ∴ 由作图得， ∴， ∴． 19. 如图所示，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定、勾股定理，三角形中位线定理，正确做出辅助线且证出是解决问题的关键． 连接，延长交于G，连接，由正方形推出，，，证得，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到． 【详解】解：连接，延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， 在中， ∴， ∴，， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 20. 为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的社团活动，设置了生物社、合唱社、创客社、话剧社四大社团课程（依次记为A，B，C，D）．若该校小丽和小慧两名同学各随机选择一个社团课程进行学习，每个社团课程被选择的可能性均相同，小丽和小慧相互之间选择互不影响． （1）小慧选择创客社的概率是________； （2）用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个社团课程的概率． 【答案】（1） （2）小慧和小丽选同一个板块课程概率为 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小丽和小慧选同一个社团课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小慧选择创客社的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小丽和小慧选同一个社团课程的结果有4种， ∴小慧和小丽选同一个社团课程的概率为． 21. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】（1） （2）半径为米 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 22. 鸿门寺塔，又称响铃塔，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小刚在周末利用所学知识测量了鸿门寺塔的高度（如图）．小刚在点处竖立一根高为1.8米的标杆，某一时刻，鸿门寺塔在阳光下的影子顶端与标杆在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后，小刚从点处沿方向移动12米到达点处（即米），在点处竖立一个高为1米的测角仪，测得，经测量得知米．已知，，，，点、、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚求出鸿门寺塔的高度． 【答案】27米 【解析】 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，根据矩形的性质与判定求线段长，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先证明四边形为矩形，根据矩形的性质得出，，再证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得，从而可求得鸿门寺塔的高度为27米． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴鸿门寺塔的高度为米． 23. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】设该品牌头盔销售量的月增长率为20% 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 24. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为80，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质可得，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据D是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点D是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可求出，再利用勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∴菱形的面积的面积， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，正比例函数与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式及函数交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式． （1）把代入正比例函数解析式，可求得的值，然后代入反比例函数解析式，可求得的值，即可求解函数解析式； （2）先求出的面积，即可得到的面积，然后设点坐标为，再由面积公式建立方程求解． 【小问1详解】 解：由题意得，把代入中，得， 即， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 、B关于原点对称， ， 到的距离为， ， ∵ ， 设点坐标为，则到的距离为， ，解得或， 点坐标为或． 26. 在菱形中，是边上一点，是等腰三角形，，，交于点，连接． （1）当时，如图1，，求证： ①； ②直接写出度数； （2）如图2， ①求与的数量关系； ②当时，若，求的值． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①由得，由得且，从而得，再结合即可证明；②由得，，结合菱形性质，得出，进而得，于是得，结合，得出，最后由即可得出； （2）①在上截取并连接，由且，推出，结合，即可证明；由、推出，算出，进而得；结合菱形，由即可得出；②过点作，交的延长线于点，设菱形的边长为，得，由得，，在中算出，，由得，可证明，求出，在上截取，使，连接，作于点，结合得，由，得，在中用算出，进而得，代入即可得的值． 【小问1详解】 ①证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，过点作，交的延长线于点，设菱形的边长为， ∴， ∵， ∴，， ∵菱形中， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵，由（2）①得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，使，连接，作于点， 由（2）①知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用，作合适的辅助线构造全等三角形并结合角度关系推导边与角的数量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级数学期末教学质量检测 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 2. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 6. 矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（ ） A. 第一象限的直线 B. 第一象限的双曲线 C. 第一、三象限的双曲线 D. 第二象限的曲线 7. 如图，在矩形中，,,，交于点F，交于点E，则线段的长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 10. 已知四边形四边形，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为________________． 11. 某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元.设平均每次降价的百分率为，根据题意，可以列方程为____________． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为中点，连接，则的长为___． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是____（用“＞”号连接）． 14. 如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为_____________． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程 （1）； （2）． 16. 已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 17. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，，请以原点O为位似中心，在第四象限内作，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别是点、、）． 18. 如图，在中，，，点D为上一点，且．请用尺规作图法，在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图所示，在正方形中，．E、F分别为边中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 20. 为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的社团活动，设置了生物社、合唱社、创客社、话剧社四大社团课程（依次记为A，B，C，D）．若该校小丽和小慧两名同学各随机选择一个社团课程进行学习，每个社团课程被选择的可能性均相同，小丽和小慧相互之间选择互不影响． （1）小慧选择创客社的概率是________； （2）用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个社团课程的概率． 21. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 22. 鸿门寺塔，又称响铃塔，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小刚在周末利用所学知识测量了鸿门寺塔的高度（如图）．小刚在点处竖立一根高为1.8米的标杆，某一时刻，鸿门寺塔在阳光下的影子顶端与标杆在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后，小刚从点处沿方向移动12米到达点处（即米），在点处竖立一个高为1米的测角仪，测得，经测量得知米．已知，，，，点、、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚求出鸿门寺塔的高度． 23. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 24. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为80，求的长． 25. 如图，正比例函数与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标． 26. 在菱形中，是边上一点，是等腰三角形，，，交于点，连接． （1）当时，如图1，，求证： ①； ②直接写出度数； （2）如图2， ①求与数量关系； ②当时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $