重难专题　棱柱、棱锥、棱台-分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

重难专题　棱柱、棱锥、棱台 一、必备知识基础练 1.(2025甘肃民勤高一月考)如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是(　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 2.(多选题)(2025甘肃庆阳高一期末)如图,不能推断这个几何体是三棱台的是(　　) A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1 3.(多选题)观察如图所示的四个几何体,其中判断正确的是(　　) A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 4.(2025江苏苏州高一阶段模拟)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为　　　　　cm. 5.一个棱柱至少有　　　　　个面,顶点最少的一个棱台有　　　　　条侧棱.  6.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体体对角线的长是　　　　.  二、关键能力提升练 7.n棱柱(n∈N*,n≥3)的顶点数为V,棱数为E,面数为F,则V+F-E=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 8.(多选题)如图,在四棱台A1B1C1D1-ABCD中,点O,O1分别为四边形ABCD,A1B1C1D1的对角线交点,则下列结论正确的是(　　) A.若四棱台A1B1C1D1-ABCD是正四棱台,则棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥 B.几何体C1D1D-B1A1A是三棱柱 C.几何体A1C1D1-ACD是三棱台 D.三棱锥O-A1B1C1的高与四棱锥O1-ABCD的高相等 9.(多选题)如图,将装有半槽水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是(　　) A.四棱柱 B.四棱台 C.三棱柱 D.三棱锥 10.(多选题)如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　) 11.侧棱长为2的正三棱锥,其底面周长为3,则该三棱锥的高为　　　　,侧面等腰三角形底边上的高为　　　　.  12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=,AC=1,AA1=3,F为棱AA1上的一动点,则当BF+FC1最小时,△BFC1的面积为　　　　.  13.如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,D1D为棱台侧面等腰梯形的高,∠D1DA=60°,求上底面的边长. 三、学科素养创新练 14.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值. 参考答案 1.B　剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'. 2.ABD　对于A,因为,所以几何体不是三棱台; 对于B,因为,所以几何体不是三棱台; 对于C,因为,所以几何体是三棱台; 对于D,该几何体可能是三棱柱.故选ABD. 3.ACD　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.故选ACD. 4.　如图所示,沿着正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1剪开,把正三棱柱的侧面展成一个平面图形,可得一个长为3×2=6 cm,宽为5 cm的矩形, 可知矩形的对角线长为,即最短路线的长为 cm. 5.5　3　面数最少的棱柱是三棱柱,它有5个面;顶点最少的一个棱台是三棱台,它有3条侧棱. 6.　设长方体的长、宽、高分别为a,b,c, 则解得 故体对角线长为. 7.D　由题可得,n棱柱的顶点数为2n,棱数为3n,面数为n+2,则V+F-E=2.故选D. 8.ACD　因为四边形A1B1C1D1是正方形,OO1是高,则由正棱锥的定义知,O-A1B1C1D1是正四棱锥,故A正确; 几何体中,没有任何两个侧面平行,不可能出现三棱柱,故B错误; 将四棱台A1B1C1D1-ABCD沿轴截面A1C1CA分成两部分,其中几何体A1C1D1-ACD是三棱台,故C正确; 三棱锥的高和四棱锥的高都是四棱台的高,都是四棱台两个平行平面之间的距离,所以相等,故D正确.故选ACD. 9.AC　根据题图,因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形,因此,形成的几何体可以是四棱柱或三棱柱.故选AC. 10.CD　可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现A,B可折成正四面体,C,D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体. 11.　如图所示,点P为顶点,作PO⊥底面ABC,则点O为正三角形ABC的中心,连接并延长AO交BC于点D,连接PD,则BC⊥PD. 则AO=AD=×1=, ∴PO=,PD=,∴该三棱锥的高为,侧面等腰三角形底边上的高为. 12.　由题意得,将直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面沿BB1剪开,并展开到同一平面上,如图所示. 连接BC1,则BC1与AA1的交点即为BF+FC1最小时的点F.在展开图中,AB=2,AC=1,AA1=3.由图可知,△A1C1F∽△B1C1B,则,则A1F=1,故AF=2.由此可知,BF=2,FC1=.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=AA1=3,BC=B1C1=,则BC1=2.在△BFC1中,cos∠BFC1==-,则sin∠BFC1=.故△BFC1的面积为S=×BF×FC1×sin∠BFC1=×2. 13.解∵AB=10,∴AD=AB=5,∴OD=AD=. 设上底面边长为x,则O1D1=x. 过D1作D1H⊥AD,交AD于点H, 则DH=OD-OH=OD-O1D1=x. 在△D1DH中,DD1==2x, ∴在梯形B1C1CB中,S=(B1C1+BC)·D1D, 即(x+10)·2(x), 解得x=2(负值舍去), ∴上底面的边长为2. 14.解把长方体的部分面展开,如图所示. 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为,由此可见乙中AC1是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其路程的最小值为. 5 学科网（北京）股份有限公司 $