4.1.1 几类简单几何体（第1课时 棱柱、棱锥、棱台）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.1.1　几类简单几何体 第1课时　棱柱、棱锥、棱台 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.理解空间几何体的分类及其相关概念. 2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 空间几何体 1.空间几何体:如果只考虑物体的__________和__________,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的______________称为空间几何体.  2.多面体和旋转体 形状 大小 空间图形 类别 多面体 旋转体 定义 我们把由若干个__________ (包括三角形)所围成的封闭体,叫作多面体  我们把平面上一条__________内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为旋转体  平面多边形 封闭曲线 图形     相关 概念 ①面:围成多面体的各个__________叫作多面体的面.  ②棱:两个面的_________叫作多面体的棱.  ③顶点:棱和棱的__________叫作多面体的顶点    一个多面体最少有4个顶点 旋转轴:形成旋转体所绕的__________称为旋转轴  多边形 公共边 交点 定直线 过关自诊 观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体: (1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形? (2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形? (3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形? 提示 (1)②④. (2)①③⑤. (3)⑥. 知识点2 棱柱 1.棱柱 棱柱 图形及表示 定义 一般地,有两个面__________,其余各面都是__________,且每相邻两个四边形的公共边都__________,由这些面围成的几何体叫作棱柱  棱柱用表示底面各顶点的字母来表示.   如图棱柱可表示为: 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 相关 概念 底面:两个互相______的面叫作棱柱的底面;  侧面:棱柱中除底面的__________(都是平行四边 形)叫作棱柱的侧面;  侧棱:相邻两个侧面的________叫作棱柱的侧棱;  顶点:____________的公共顶点叫作棱柱的顶点  分类 ①依据:底面多边形的边数; ②举例:_______(底面是三角形)、______(底面是 四边形)……  互相平行 平行四边形 互相平行 平行 其余各面 公共边 侧棱与底面 三棱柱 四棱柱 不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱 2.具有某些特征性质的棱柱:侧面都是矩形的棱柱称为直棱柱.底面是__________的直棱柱称为正棱柱.如果棱柱的____________都是矩形,这样的棱柱就是长方体,而所有棱长都______的长方体就是正方体.两个底面都是____________的棱柱称为平行六面体. 正多边形 底面和侧面 相等 平行四边形 3.常见的几种四棱柱之间的转化关系 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 过关自诊 1.下列说法正确的是(　　) A.四棱柱是平行六面体 B.直平行六面体是长方体 C.长方体的六个面都是矩形 D.底面是矩形的四棱柱是长方体 C 解析　底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体,选项A错误;底面是矩形的直平行六面体才是长方体,选项B错误;底面是矩形的直四棱柱才是长方体,选项D错误;选项C显然正确. 2.[2023山东潍坊高一单元测试]满足下列条件的棱柱中,一定是直棱柱的是(　　) A.底面是矩形 B.有一个侧面与底面垂直 C.有一个侧面是矩形 D.相邻两个侧面是矩形 D 解析　如图所示是底面是矩形的斜四棱柱,故A错误;当侧面ABB1A1与底面ABCD垂直,侧面BCC1B1不与底面ABCD垂直时,不是直棱柱,故B错误;当侧面ADD1A1是矩形,但侧面不与底面ABCD垂直时,不是直棱柱,故C错误;当相邻两个侧面是矩形时,则这两个侧面的交线与底面垂直,即侧棱与底面垂直,则该棱柱一定是直棱柱,故D正确.故选D. 3.[2023河北邢台高一期中]已知三棱柱有a个顶点,b条棱,则a-b=(　　) A.-3 B.3 C.4 D.-4 解析　因为a=6,b=9,所以a-b=-3.故选A. A 知识点3 棱锥 1.棱锥 棱锥 图形及表示 定义 有一个面是_______,其余各面都是___________ _____的三角形,像这样的几何体叫作棱锥  棱锥可用表示顶点和底面各顶点的字母来表示.   如图棱锥可表示为: 棱锥S-ABCD 相关 概念 侧面:具有同一个__________的三角形面叫作棱锥的侧面;  顶点:各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点; 侧棱:相邻两个侧面的______叫作棱锥的侧棱;  底面:棱锥中除了侧面外,剩下的那一个________ 叫作棱锥的底面  分类 ①依据:底面多边形的边数;②举例:_______(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……  多边形 有一个公共 顶点 公共顶点 公共边 多边形面 三棱锥 2.正棱锥:底面是_____________,将底面水平放置后,它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上的棱锥. 正多边形 过关自诊 1. [2023广东高一课时练习]如图所示的多面体,其各个面都是边长为4 cm的等边三角形. (1)写出多面体的顶点数、棱数; (2)写出AB所在直线与△ACD所在平面的位置关系,用符号表示,并判断AB与CD所在直线的位置关系; (3)求这个多面体的表面积. 2.各个面都是全等的三角形的三棱锥是正三棱锥吗? 提示　不是,例如三棱锥S-ABC中,若SB=AC=a,SA=AB=SC=BC=b,a≠b,则满足已知条件,但是三棱锥不是正三棱锥. 知识点4 棱台 棱台 图形及表示 定义 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点,作一个与底面_____的平面去截棱锥,截面与原棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台  棱台用上、下底面多边形各顶点的字母来表示.   如图棱台可表示为: 棱台ABCD-A'B'C'D' 相关 概念 上底面和下底面:截面和原棱锥底面分别叫作棱台的上底面和下底面; 侧面:棱台中除上底面与下底面的其余各面叫作棱台的侧面; 都是梯形 侧棱:相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱 分类 ①依据:由几棱锥截得; ②举例:三棱台(由三棱锥所截得)、_______ (由四棱锥所截得)……  棱台的侧面 平行 四棱台 名师点睛 棱柱、棱锥、棱台之间的关系 过关自诊 1.[2023安徽月考]下列叙述正确的是(　　) A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 D 解析 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分为棱台.对于A,当截面不平行于底面时,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台,故A错误;对于B,C,如图的几何体满足条件,但侧棱延长线不能相交于一点,不是棱台,故B,C错误;对于D,由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点,故D正确.故 选D. 2.观察下面的几何体是否为棱台?为什么? 提示 不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥. 重难探究•能力素养全提升 探究点一 多面体的识别与判断 【例1】 长方体ABCD-A'B'C'D'如图所示,当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后, 各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果是,指出底面及侧棱;如果不是,请说明理由. 解 截面BCFE右侧部分是棱柱,根据棱柱的定义, 多面体BEB'-CFC'是三棱柱,其中△BEB'和△CFC'是底面,EF,B'C',BC是 侧棱; 截面BCFE左侧部分也是棱柱, 多面体ABEA'-DCFD'是四棱柱, 其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面.A'D',EF,BC,AD为侧棱. 规律方法　关于多面体的识别问题,首先应明确多面体的结构特征,明确多面体的面、棱以及顶点的概念. 变式训练1 (多选题)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( 　　) A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B.该几何体有12条棱、6个顶点 C.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形 D.该几何体有8个面,并且各面均为三角形 ABD 解析 根据题图,得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体; 该几何体有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条, 顶点是M,A,B,C,D和N共6个;该几何体有面MAB,面MBC,面MCD,面MDA,面NAB,面NBC,面NCD和面NDA共8个,且每个面都是三角形.所以选项A,B,D正确,故选ABD. 探究点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例2】 下列四个说法正确的有(　　) ①棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;④四棱锥有5个侧面.　 A.0个　　 B.1个　　 C.3个　　 D.4个 A 解析 ①错误,如底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,但不能作为底面; ②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥; ③错误,因为不能保证侧棱延长后相交于同一点; ④错误,四棱锥有4个侧面. 规律方法　棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状,侧棱、棱之间的关系等.判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几何模型. 变式训练2 下列说法正确的有__________.(填序号)  ①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面. ①②④⑤ 探究点三 多面体的平面展开图 【例3】 如图是三个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体? 解 ①三棱柱;②四棱锥;③三棱台. 规律方法　1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图. 2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图. 变式训练3 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,如下图①.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图②,则标“△”的面的方位是(　　) A.南　　 B.北　　 C.西　　 D.下 B 解析 将所给图形还原为正方体,最上面为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让左面向西,让“上”面向上可知标“△”的方位为北. 探究点四 正棱锥(台)中的几何计算 规律方法　1.正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高. (1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC. (2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE. (3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC. 2.正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高. (1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1. (2)斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO. (3)高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1. 变式训练4 如图,已知四棱锥的底面是正方形,且边长为4,侧棱长都相等,E为BC的中点,高为PO,且∠OPE=30°,求该四棱锥的高与侧棱长. 多面体表面距离最短问题 【典例】 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值. 解 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长即为所求△AEF周长的最小值. ∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°, ∴∠AVA1=90°. 又VA=VA1=4,∴AA1=4, ∴△AEF周长的最小值为4. 规律方法　涉及多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.有两个面平行的多面体不可能是(　　) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.棱柱和棱台 解析 因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥. B 1 2 3 4 5 2.下面图形为棱锥的是(　　) A.①③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 解析 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥,故选C. C 1 2 3 4 5 3.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是(　 　) A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 ACD 解析 根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等. 1 2 3 4 5 4.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是__________________. 四棱柱或三棱柱 解析 倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱或三棱柱. 1 2 3 4 5 5.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问: (1)折起后形成的几何体是什么几何体? (2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点? 解 (1)如图,折起后的几何体是三棱锥. (2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形. 1 2 3 4 5 解　(1)多面体的顶点数为4,棱数为6. (2)AB所在直线与△ACD所在平面有且只有1个公共点,即AB∩平面ACD=A.AB与CD所在直线的位置关系是异面,理由是:AB∩平面ACD=A,CD⊂平面ACD,A∉CD,则AB与CD所在直线的位置关系是异面. (3)由题可得该多面体由四个全等的正三角形围成,每个三角形的面积为4 cm2,故表面积为4×4=16 cm2. 【例4】 若定义正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高为斜高,求解以下问题:已知正三棱锥V-ABC,底面边长为8,侧棱长为2,计算它的高和斜高. 解 如图所示,设O是底面中心,连接VO,AO,并延长AO交BC于点D,连接VD,则VO为正三棱锥的高,VD为斜高.∴△VAO和△VCD是直角三角形.∵底面边长为8,侧棱长为2,∴AO=,CD=4,∴VO=,VD==2,即正三棱锥的高是,斜高为2. 解 ∵OE=2,∠OPE=30°, ∴在Rt△POE中,PE==4,PO=2. ∵PB=PC,E为BC的中点, ∴PE⊥BC,∴PB==2. 故该四棱锥的高为2,侧棱长为2. $$