4.5.2 几种简单几何体的体积分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.5.2　几种简单几何体的体积 一、必备知识基础练 1.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为(　　) A. B. C.8π D. 2.直径为6 cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为(　　) A.3 B.6 C.9 D.27 3.已知一个正四棱台的上底面边长为1,下底面边长为2,体积为,则该正四棱台的高为(　　) A.1 B. C. D. 4.龙洗的盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15 cm,盆口直径36 cm,盆底直径18 cm.现往盆内倒入水,当水深5 cm时,盆内水的体积近似为(　　) A. cm3 B.555π cm3 C. cm3 D.735π cm3 5.(2025甘肃渭源高一期末)已知在四面体P-ABC中,∠ABC=,PA=BC=2AB=2,则当四面体P-ABC的体积最大时,其外接球的表面积为(　　) A.6π B.7π C.8π D.9π 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心.若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为　　　　　.  7.如图,一个四棱柱形容器中盛有水,在底面ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,侧棱AA1=4.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过边AD,BC,B1C1,A1D1的中点,则当底面ABCD水平放置时,水面高为　　　　.  8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥. (1)求剩余部分的体积; (2)求三棱锥A-A1BD的高. 二、关键能力提升练 9.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,若E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积为(　　) A.10 B.20 C.30 D.40 10.如图,扇形ABC圆心角A=90°,D为半径AB的中点,线段CB,CD把扇形分成三部分,这三部分绕AC旋转一周,所得三部分旋转体的体积V1,V2,V3之比是(　　) A.1∶2∶2 B.1∶2∶3 C.1∶3∶3 D.1∶3∶4 11.圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的体积为(　　) A. B.28π C.28π D. 12.(2025甘肃张掖高一期末)如图,平面PBC⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,且AB=1,BC=2,△PBC的面积为3.若点E是线段AD上一点,则三棱锥P-ACE体积的最大值为(　　) A. B. C. D.1 13.依次连接棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1六个面的中心,得到的多面体的体积是　　　　.  14.(北师大版教材习题)如图,一个倒立的圆锥形水杯,底面半径为10 cm,高为15 cm.将一定量的水注入其中,水形成的圆锥高为h cm. (1)求水的体积; (2)若水的体积恰为圆锥形水杯体积的一半,求h的值.(精确到0.01 cm) 15.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为 2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)? (2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100 g,那么共需多少胶? 16.如图,圆锥SO的底面半径为3,此圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的表面积; (2)若圆锥的底面圆周和顶点S都在球O'的球面上,求球O'的体积. 三、学科素养创新练 17.在三棱台ABC-A1B1C1中,三棱锥A-A1B1C1的体积为4,三棱锥A1-ABC的体积为8,则该三棱台的体积为(　　) A.12+3 B.12+4 C.12+4 D.12+4 18.如图,在四棱锥P-ABCD中,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,PA=,AB=2,则四棱锥P-ABCD内切球的体积为(　　) A. B. C. D. 19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积. 参考答案 1.D　截面半径r=1,所以球的半径R=, 所以球的体积V=πR3=.故选D. 2.D　小球的体积为×13= cm3,大球的体积为×33=36π cm3, 所以可铸成这样的小球的个数为=27.故选D. 3.D　设正四棱台的高为h,根据棱台的体积公式V=(S1+S2+)h,可得×(12+22+)h=,解得h=.故选D. 4.B　如图所示,画出圆台的立体图形和轴截面平面图形,并延长EC与FD交于点G. 根据题意,得AB=18 cm,CD=9 cm,AC=15 cm,EC=5 cm. 设CG=x cm,EF=y cm,所以,解得x=15,y=12,所以V=×(π×122+π×92+π×12×9)×5=555π cm3,故选B. 5.C　设P到平面ABC的距离为d,则VP-ABC=S△ABC×d=×AB×BCsin∠ABC×d=d.又0<d≤PA=2,所以当PA⊥平面ABC时,四面体P-ABC的体积最大.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=3,则AC2+AB2=4=BC2,所以AC⊥AB. 当四面体P-ABC的体积最大时,可以将四面体P-ABC补成如图所示的长方体, 故此时四面体P-ABC外接球的半径R=,四面体P-ABC外接球的表面积S=4πR2=8π. 故选C. 6.　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心,棱长为a, 易得对角线AC⊥平面BDD1B1, 故三棱锥O-AB1D1的体积为·AO=B1D1·BB1·AO=. 7.　设四棱柱的底面梯形的高为2a,AD,BC的中点分别为F,E,所求的水面高为h, 则水的体积V水=S四边形ABEF·AA1=·4=S四边形ABCD·h=·h,解得h=. 8.解(1)由题意,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 则正方体的体积为V正方体=a3. 根据三棱锥的体积公式,可得三棱锥A1-ABD的体积·S△ABD·AA1=a3.故剩余部分的体积V=V正方体-=a3-a3=a3. (2)由(1)知三棱锥A-A1BD的体积a3. 设三棱锥A-A1BD的高为h,则·h=×(a)2×h=a2h, 故a2h=a3,解得h=a. 9.A　V三棱锥E-BCD=×120=10.故选A. 10.D　由题意,设扇形ABC的半径为2, 则VⅠ=π×12×2=,VⅡ=π×22×2-π×12×2=2π,VⅢ=π×23-π×22×2=, 故VⅠ∶VⅡ∶VⅢ=∶2π∶=1∶3∶4.故选D. 11.A　因为圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的高为, 所以圆台的体积为V=π(22+2×4+42)×. 12.D　如图,过点P作PF⊥BC,交CB延长线于点F,连接PD. 又因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PF⊂平面PBC,所以PF⊥平面ABCD. 因为△PBC的面积为3,BC=2,所以BC·PF=3,即×2·PF=3,解得PF=3.所以三棱锥P-ACE的体积VP-ACE=S△ACE·PF=S△ACE≤S△ACD=×2×1=1,当且仅当点E在点D的位置时取等号,故三棱锥P-ACE体积的最大值为1.故选D. 13.　依次连接正方体ABCD-A1B1C1D1六个面的中心,得到的多面体是正八面体,如图.该正八面体为两个全等的正四棱锥的组合体,正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为,所以该正八面体的体积是2××()2×1=. 14.解 (1)因为,所以r=h. 所以V水=πr2·h=πh3 cm3. (2)因为V圆锥=π×102×15=500π cm3, 所以V水=V圆锥=250π cm3. 又V水=πh3 cm3, 所以h3=,所以h≈11.91 cm. 15.解(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm, 所以两个半球的体积之和为 V球=πR3=π·27=36π(cm3). 又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3). 所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3). (2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2), 又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2), 所以1个“浮球”的表面积为S=(m2). 因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S=2 500×=12π(m2). 因为每平方米需要涂胶100 g, 所以共需要胶的质量为100×12π=1 200π g. 16.解(1)设OA=OB=r,SA=SB=l. 由题意得,πl=2πr=6π,则l=6. 所以S侧=πrl=18π,S底=9π,故S表=S侧+S底=27π. (2)由(1)得SO==3. 令SO'=R,由O'O2+OB2=O'B2,得(3-R)2+9=R2,解得R=2. 故V球=πR3=32π. 17.B　设S△ABC=S1,=S2,棱台高为h. 由S2h=4,得S2=; 由S1h=8,得S1=. 三棱台ABC-A1B1C1的体积为 V=h(S1+S2+)=h()=12+4.故选B. 18.B　连接OA. 由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形,侧棱长都为, ∴S正方形ABCD=2×2=4,S△PAD=S△PCD=S△PBC=S△PAB=×2×2=2. ∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥AO. ∴AO=. ∴PO=. 设四棱锥的内切球的半径为R,球心为O', 由V四棱锥P-ABCD=V四棱锥O'-ABCD+V三棱锥O'-PAD+V三棱锥O'-PAB+V三棱锥O'-PBC+V三棱锥O'-PCD, 得S正方形ABCD·PO=S正方形ABCD·R+S△PAD·R+S△PAB·R+S△PBC·R+S△PCD·R, 即4×=4R+4×2R=12R,解得R=. 故四棱锥P-ABCD内切球的体积为V=πR3=π×3=. 19.解(1)连接OM,则OM⊥AB, 设OM=r,则OB=-r,在△BMO中,sin∠MBO=,解得r=, ∴空心球的表面积为S=4πr2=π. (2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,∴AC=, ∴所得旋转体的体积为V=V圆锥-V球=π×AC2×BC-πr3=π×π×π. 5 学科网（北京）股份有限公司 $