精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

雅礼中学2025年下学期期末考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 2. 已知数列是等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 3或 D. 6或 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】解：设数列的公比为q， 则， 所以，， 所以． 故选：B． 3. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，利用导数的几何意义求在点处的切线的斜率，进而求出切线方程. 【详解】，， 当时，， 在点处的切线方程为：， 即：. 故选：A. 4. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 5. 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的方程，结合已知可得，，再结合可求出的值； 然后在中，利用余弦定理求出的值，从而得到的度数. 【详解】是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点， 则，， 又，由， 得， 中，由余弦定理， 而为三角形内角，所以. 故选：B. 6. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得随机试验位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的样本空间的样本点的个数，再求事件周六、周日都有同学参加公益活动所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求解即可． 【详解】随机试验位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的样本空间中包含个样本点，事件周六、周日都有同学参加公益活动包含个样本点 所以事件周六、周日都有同学参加公益活动的概率. 故选：. 7. 已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示出右顶点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式代入列不等式求解，再由，可得离心率的取值范围. 【详解】由题意得，双曲线的右顶点坐标为 ，其中一条渐近线方程为，所以，得，即，又因为双曲线的离心率，所以离心率的取值范围为. 故选：C 8. 已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可. 【详解】， 当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立， 当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增， ∴， ∵恒成立，∴， ∴， ∴， 令， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴． 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键. 二、多选题 9. 下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用排列数公式可判断AB选项，利用组合数公式可判断C选项，利用组合数的性质可判断D选项. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 由组合数的性质可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题意得到，化不等式，再令，对函数求导，判断出其单调性，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的单调递减函数， 所以时，， 由，得到，, 令，则， 所以函数在区间上单调递增， 所以， 即， 所以，故A错误， 因为且， 所以, 所以，故B错误 ，故C正确，，故D错误； 故选：ABD 11. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 的展开式中的系数等于___________． 【答案】45 【解析】 【分析】利用二项式定理确定展开式的通项，从而可得展开式中的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为． 故答案为：． 13. 已知圆C：，直线l：，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1.则m的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆C：的半径为2，圆心坐标为： 设圆心到直线l：的距离为， 要想圆C上恰有两个点到直线l的距离为1，只需， 即，而 ，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键. 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先通过分析参数的正负排除不成立情况，再将不等式恒成立转化为两个函数最值问题进行求解即可. 【详解】要使不等式对恒成立， 需分析两个因式的符号关系，分情况讨论参数的取值范围： 排除：此时，不等式等价于， 但时，，不等式不能恒成立， 排除：此时不等式为，当时，，不等式不成立， 讨论：此时要使不等式恒成立，则对任意，有以下两种情况： ①若且对任意恒成立， 若在恒成立，即， 令， 令，可得，则在上单调递减， 令，可得，则在上单调递增， 故函数在处取得极小值， 故函数在区间上无最大值，不能满足恒成立，故情况①不成立； ②若且，对任意恒成立， 则恒成立，即的最小值， 由①得函数最小值为，故， 若恒成立，即的最大值， 令函数，， 令，可得，则在上单调递增， 令，可得，则在上单调递减， 故函数在处取得极大值，故， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）共有多少种不同的选择方法？（用数字回答） （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？（用数字回答） 【答案】（1）20 （2）54 【解析】 【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【小问1详解】 从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. 【小问2详解】 从6名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从6名志愿者中选2男1女， 且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接， 因为，分别是，的中点，则， 且平面，平面， 所以直线平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中位线的定义可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面，，平面， 则，，且，即，，两两垂直， 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 则，，，， 且，分别是，的中点，得，. 所以，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，取， 设平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 设等差数列的前项和为（），，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明： 【答案】（1） （2） 由得到 所以 . 【解析】 【分析】（1）由题列方程组，解得，所以. （2）由，裂项化简得到所以利用裂项相消法求得. 【小问1详解】 由题可得，解得，所以. 【小问2详解】 略 18. 椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）列关于的方程即可求解得到椭圆的标准方程. （2）（i）先求直线的斜率，设切线方程为，联立方程令 ，即可求解， （ⅱ）先证明，再证明四边形面积为定值2，所以的面积. 【小问1详解】 由题意可得， 又，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得：，， 设，，， 可知直线方程为：. 设切线方程为， 代入,得到 令，解得， 因 P 在第一象限，切线斜率为负，故 所以切线方程为：. （ⅱ）直线：，到直线的距离为 且， 当且仅当时等号成立. 因为在椭圆上，所以， 则：，令，， 则：，令，， 则， . 故四边形面积为定值2. 所以的面积， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）当时，求证：； （2）设，若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，整理不等式，构造函数，利用导数求新函数的最值，可得答案； （2）由题意，整理函数解析式，求导研究其单调性，根据不等式能成立问题，可得关于和的不等式，构造以为变量、以为参数的函数，利用导数，结合分类讨论，可得答案. 【小问1详解】 要证，只需证， 令，， 由，，，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，即，∴． 【小问2详解】 由题意得，， ∵，显然，， ∴在区间上为增函数， ∴时，， ∴， 设，有在时恒成立， ∵， ①时，∵，显然，∴在时单调递减，此时不符合； ②时，∵，显然，∴在时单调递减，此时不符合； ③时，∵， 若，显然，则在区间上单调递减，此时不符合； 若，显然当时，，则在区间上单调递减，此时，不符合； 若时，则在区间上单调递增，此时，符合． 综上得，解得，即实数k的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2025年下学期期末考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 3或 D. 6或 3. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题 9. 下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 三、填空题 12. 的展开式中的系数等于___________． 13. 已知圆C：，直线l：，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1.则m的取值范围是_____________. 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）共有多少种不同的选择方法？（用数字回答） （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？（用数字回答） 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 设等差数列的前项和为（），，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明： 18. 椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求证：； （2）设，若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $