精品解析：字节精准教育联盟·AI赋能2025-2026学年高三上学期期末综合能力调查数学试题

字节精准教育联盟·AI赋能 2025~2026学年度上期期末综合能力调查 高三·数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】集合， 因为，所以. 故选：C. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义先求，再求复数的模，最后即可求解. 【详解】由题意有：，， 所以， 故选：A. 3. 设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的导数，根据函数在点的导数为切线的斜率，求出函数的解析式，再根据函数的奇偶性及取值范围判断. 【详解】∵函数，， ，显然， 函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B，C， 又时，函数值为正，图像位于第一象限，排除D. 故选：A. 4. 如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长正四棱台的各条侧棱，交于一点，设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，求得，结合题意，得到，即可求得茶水的高度与茶杯的高度之比. 【详解】如图所示，延长正四棱台的各条侧棱，交于一点， 设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，四棱锥的高， 可得，所以, 设茶水的高为，可得， 即，所以. 故选：D. 5. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 6. 某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（ ） A. 120 B. 150 C. 240 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5天分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3人由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将5天分成3组 若分成1、1、3的三组，有种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有种分组方法， 则将5天分成3组，有种分组方法； ②将分好的三组全排列，对应3人，有种情况； 所以不同的安排方式则有种. 故选：B． 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得出与的关系，从而得出，然后由三角换元法设，，，求得，从而得出结论． 【详解】设P为第一象限的交点，，则， 解得，. 在中，由余弦定理得， 所以，即， 整理得，即，故， 设，，，又， 则， ，所以或， 时，舍去， 时满足题意，此时，所以. 故选：C． 8. 设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在上有3个极值点 B. 在上有2个最大值点 C. 在上单调递增 D. 的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】D选项，利用三角恒等变换得到，并求出，由零点个数，得到不等式，得到；A选项，根据，得到，故在上有2个极值点或3个极值点，A错误；B选项，由A知，在上有1个或2个最大值点，B错误；C选项，求出，故在上不单调，C错误. 【详解】D选项，， 当时，， 要想在上有且仅有3个零点，则， 解得，D正确； A选项，时，， 由于，则， 若，即时，在上有2个极值点， 若，即时，在上有3个极值点， 所以在上有2个极值点或3个极值点，A错误； B选项，由A知，若，即时，在上有1个最大值点， 若，即时，在上有2个最大值点， 故在上有1个或2个最大值点，B错误； C选项，时，， 由于，则， 由于在上不单调， 故在上不单调，C错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 样本数据落在区间内的频率为0.45 B. 若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C. 若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 【答案】AB 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项即可. 详解】对于A，由，得， 所以数据落在区间内的频率为，A正确； 对于B，数据落在区间内的频率为，B正确； 对于C，，年收入大于或等于400万元的有四组， 其频率和是， 所以符合条件的民营企业有家，C错误； 对于D，数据落在区间内的频率为0.3， 数据落在区间内的频率为， 估计中位数为，D错误. 故选:AB. 10. 下列说法正确是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出幂函数的解析式，进而求出函数值判断A；利用抽象函数的定义域列式求解判断B；利用一元二次方程实根分布求解判断C；利用导数求出单调递增区间判断D. 【详解】对于A，令，则，解得，，因此，A正确； 对于B，函数中，则，即函数的定义域为， 由，得，因此函数的定义域为，B错误； 对于C，由函数在上只有一个零点，得，无解， 或，解得，因此实数a的范围为，C正确； 对于D，由，得，而，解得， 因此函数的单调增区间为，D错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 若点为棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由线面垂直的性质定理可判断C，由基本事实1作出由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面，计算各边长度后可判断D． 【详解】对于A，正方体中由平面，平面，可得， 又，平面且， 所以平面， 因为平面，所以， 因为在平面内的投影为， 而，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，正方体中与平行且相等，则是平行四边形， ，平面，平面，所以平面， 同理平面，，都在平面内， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，与A选项同理可证平面， 当是与交点时，平面， ，异面直线与所成角，故C错误； 对于D，设的中点为，连接，，，，如图所示， 因为分别为的中点， 由正方体性质可知，且， 所以四点共面， 即由三点确定的平面与正方体相交形成的截面为四边形， 因为正方体的棱长为1， 所以，，则， 故四边形的周长为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】 如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 依题意，，设， 则， ， 由， 因，则当时，取得最小值为. 故答案为：. 13. 设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据导数的几何意义求出过点作的切线的方程，即可求出两点的坐标，进而可得出答案. 【详解】由抛物线 ，得， 设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 由，得， 所以过点作的切线的斜率为， 故切线方程为，即， 令，则，令，则， 即， 则， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积. （1）若，求______；（2）令则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知用表示出、，分别由、并结合三角恒等变换及正弦型函数的性质，求或面积的最大值. 【详解】因为中，，， 所以，，， 又因为为以为直径的半圆上一点， 所以， 在中，，，， 作于点，则， ， ， 若，则，因为， 所以，即，整理得， 所以，； 由，则 ， 因为，所以， 当时，即，有最大值． 故答案为：， 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，由导数求出切线斜率，由点斜式写出切线方程； （2）由，，讨论与的大小关系，讨论单调性即可. 【小问1详解】 当时，， , ,, 在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，令， 则， ，， ①当时， 时，，单调递减， 由于，则， 时，，单调递增， 由于，则时，， 时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以符合题意； ②当时，，存在使得， 当时，，单调递减， 不符合题意； ③当时，， 则存在，使得当时，，单调递增， 则不符合题意； 综上. 16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ （2）从这200人中随机选出了3名男生和5名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生关注航天工程.现从这8名代表中任选2名男生和3名女生进一步交流，求这5人中恰有2人关注航天工程的概率. 参考公式及参考数据： . 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据卡方计算公式，结合独立性检验的思想即可求解； （2）利用超几何分布求出对应的概率，即可求解. 【小问1详解】 零假设：该校学生对航天工程的关注与性别无关， 根据列联表可得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生对航天工程的关注与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. 【小问2详解】 设进一步交流的男生中关注航天工程的人数为，女生中关注航天工程的人数为， 从这8名代表中任选2名男生和3名女生的选法有种， 则 ， 即这5人中恰有2人关注航天工程概率为. 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，进而根据题意并结合平面与平面的法向量求得，再计算几何体的体积即可； 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 在中，且， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 解：设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点， 所以，设，， 所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以， 所以， 18. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为. （ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明； （ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）在直线上，证明见解析；（ⅱ）定值为，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆定义即可求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，再利用交点坐标表示两条相交直线，通过方程组求出交点纵坐标，再利用韦达定理来证明定值即可； （ⅱ）把面积问题转化为两交点的横坐标问题，通过求解横坐标之积，就能证明两三角形面积之积为定值的问题. 【小问1详解】 由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 又设交点，则， 所以有 则直线方程为：，直线方程为：， 两式消元得：， 代入可得：， 即交点为的纵坐标为常数，即这些点在一条直线上； （ⅱ）因为与的面积之积是, 由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，代入直线方程可得： ， 即交点为的横坐标为 又设直线方程为：，直线方程为：， 两式消元得：， 代入可得：， 即交点为的纵坐标也为常数，即点也在这条直线上， 把代入直线方程可得： ，即交点为的横坐标为， 由， 因为，所以， 即与的面积之积是. 19. 正项数列满足，其前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等比中项法可得数列为等比数列，根据等比数列的通项公式和前项和公式求解即可； （2）①根据等差数列的性质可得，然后利用定义法验证即可；②由题意可得数列，分，，分别求解即可. 【小问1详解】 因为在数列中，，所以数列为等比数列， 设公比为，因为.，，显然不为1， 所以，， 又为正项数列，解得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 ①当时，可得，当时，得， 当时，得， 因为数列为等差数列，可得，可得， 当时，由，可得， 又由，当时，数列为等差数列； ②由题意知，，，， ，， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 ， 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去； 综上所述，满足题意的正整数仅有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 字节精准教育联盟·AI赋能 2025~2026学年度上期期末综合能力调查 高三·数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 4. 如图茶杯形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（ ） A. 120 B. 150 C. 240 D. 300 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ） A B. C. D. 8. 设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在上有3个极值点 B. 在上有2个最大值点 C. 在上单调递增 D. 的取值范围为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 样本数据落在区间内的频率为0.45 B. 若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C. 若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 若点为棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为1正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为_________． 13. 设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为________ 14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积. （1）若，求______；（2）令则的最大值为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求实数的值. 16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ （2）从这200人中随机选出了3名男生和5名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生关注航天工程.现从这8名代表中任选2名男生和3名女生进一步交流，求这5人中恰有2人关注航天工程的概率. 参考公式及参考数据： . 0.05 0.01 0.005 0.001 3841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积. 18. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为. （ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明； （ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19. 正项数列满足，其前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $