专题02 解一元二次方程（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年浙教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题02 解一元二次方程（七大题型） 【题型1 解一元二次方程-直接开方】..................................................................................1 【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................2 【题型3 解一元二次方程-公式法】......................................................................................6 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】...............................................................................8 【题型5 根据判别式判断一元二次方程的根情况】..............................................................10【题型6 根据一元二次方程的根情况求参数】....................................................................13. 【题型7 根与系数的关系】....................................................................................................15 【题型1 解一元二次方程-直接开方】 1．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， ∴或， ∴方程的根为，． 故选：C． 2．关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 3．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴，． （2）解：， ， ∴，． 【题型2 解一元二次方程-配方法】 1．用配方法解方程时，配方的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，使用配方法将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方得， 即 ． 故选：B． 2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，求代数式的值，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较系数求出和，再计算的值，熟练掌握配方法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵用配方法将方程转化为的形式， ∴，， ∴， 故选：B． 3．用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，若二次项系数为1，那么需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，据此求解即可． 【详解】解： ，即， ∴用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上1， 故选：A． 4．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 5．用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（配方法）． 【答案】(1)x1=，x2= (2)x1=，x2=3 【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： ，   方程变形得：x2－3x=1， 配方得：x2－3x+ =1+ ，即（x－ ）2= ， 开方得：x－ =± ， 解得：x1= ，x2= ； （2）解：移项得： 系数化1得： 两边加上一次项系数一半的平方得： 配方得： 开方得： 解得：x1=，x2=3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法．熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 6．阅读材料：把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法．如（1）用配方法分解因式：． 解：原式 （2），利用配方法求的最小值． 解： ∵， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． (2)用配方法分解因式：． (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当时，有最小值 【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特点判断即可； （2）原式配方变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可； （3）配方变形后，利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ∵， ∴当时，有最小值． 【题型3 解一元二次方程-公式法】 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程一般形式中系数的识别，需注意符号和顺序．将方程与一元二次方程的一般形式对比，直接确定系数、、的值． 【详解】解：方程， 、、依次为，，， 故选：D． 2．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 3．解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 4．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ，． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴, 故选：C． 2．方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：D． 3．方程的根为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键． 通过移项和因式分解求解方程，利用零乘积性质求根． 【详解】解： 移项得： 提取公因式： ∴ 或 ∴ 或 ∴解得 ，， 故选：D． 4．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ，． 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是利用因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程． （1）利用提公因式法分解因式解一元二次方程； （2）利用十字相乘法分解因式解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式可得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 分解因式可得：， 可得：或， 解得：，． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， ∴； （2）解：整理得，即， 因式分解得， ∴或， ∴． 【题型5 根据判别式判断一元二次方程的根情况】 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式；通过计算一元二次方程的判别式来判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根. 【详解】解：∵方程中，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：A. 2．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式逐一计算即可． 【详解】解：对于选项A， ，，， ， 方程有两个不等实根， 选项A不符合题意； 对于选项B， ，，， ， 方程有两个不等实根， 选项B不符合题意； 对于选项C， ，，， ， 方程有两个不等实根， 选项C不符合题意； 对于选项D， ，，， ， 方程有两个相等实根， 选项D符合题意． 故选：D． 3．一元二次方程的根的情况是（   ）． A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握好判别式的符号与根的关系是解题关键． 通过计算一元二次方程的判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ 判别式 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 4．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根为，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）把代入原方程中求出m的值即可． 【详解】（1）证明：由题意得 ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的一个根为， ∴， 解得． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个根为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）把代入原方程可求出k的值，进而求出原方程，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 【题型6 根据一元二次方程的根情况求参数】 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的概念，根据方程是一元二次方程且有实数根，则且，然后求出的取值范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵方程是一元二次方程且有实数根， ∴且， ∵， ∴，即， 解得， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个实数根得到，进行求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：； 故选B． 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答． 根据方程有实数根，需考虑一元二次方程判别式或一次方程的情况，分别讨论 和 时的条件 【详解】解：当 时，方程 为一元二次方程， 由题意得：， 由 得 ，解得 ； 且， 当 时，方程化为 ， 有实数根 ； 综上，． 故答案为 ． 4．若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确求出根的判别式是关键． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，计算判别式并解不等式． 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 【题型7 根与系数的关系】 1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程中，，，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：A． 2．已知关于x的方程的一个根为，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，即两根之和等于，直接求解另一个根. 【详解】解：设另一根为， ∵方程中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故另一个根为， 故选：D. 3．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，将表达式变形后整体代入求值． 【详解】是方程的实数根， ，即， 又，是方程的两个实数根， 由根与系数关系得：， ， 故选． 4．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，直接代入求值即可． 本题考查一元二次方程根与系数的关系， 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， ∴由根与系数关系，，， ∴． 故选：C． 5．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分式的化简求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再把分式进行通分化简，最后代入求值即可． 【详解】 ，是方程的两个实数根， ，， ． 故选D． 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为 、 ，且 ，求m 的值 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查根据判别式判断方程根的情况，根与系数的关系，完全平方公式，解一元二次方程； （1）根据判别式解答即可； （2）由根与系数的关系得，，根据完全平方公式变形得，解方程即可． 【详解】（1）解：由 得 ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴，即 解得 1．已知等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（   ） A．10 B．14 C．10或14 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 解方程得两根为2和6，分别作为底和腰讨论，只有底为2、腰为6时满足三角形三边关系，周长为14． 【详解】解：∵可化为， ∴或． 当底边长为2、腰长为6时，三边长为2、6、6， ∵，，满足三边关系， ∴周长为； 当底边长为6、腰长为2时，三边长为2、2、6， ∵， ∴不满足三边关系，故舍去； ∴周长为14． 故选：B． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法和因式分解法是解题的关键． （1）先移项，然后运用开平方法求解即可； （2）先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以． （2）解：， ， ， ， ． 3．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握是解题的关键．直接根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ， ， ． 4．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，一元一次不等式的应用． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用作差法和配方法得，即可得出结论； （3）①根据题意可得，，进而得，再根据墙长24米，得，解不等式即可得自变量的取值范围； ②设鸡场的面积为平方米，则，再利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值1； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴； （3）①根据题意可得，， ∴， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； ②设鸡场的面积为平方米，则 ， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解一元二次方程（七大题型） 【题型1 解一元二次方程-直接开方】..................................................................................1 【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................2 【题型3 解一元二次方程-公式法】......................................................................................3 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】...............................................................................3 【题型5 根据判别式判断一元二次方程的根情况】.............................................................4【题型6 根据一元二次方程的根情况求参数】.....................................................................5. 【题型7 根与系数的关系】....................................................................................................5 【题型1 解一元二次方程-直接开方】 1．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．解方程： 4．解方程： (1)； (2)． 【题型2 解一元二次方程-配方法】 1．用配方法解方程时，配方的结果是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2023 D． 3．用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（   ） A．1 B．2 C． D．4 4．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 5．用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（配方法）． 6．阅读材料：把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法．如（1）用配方法分解因式：． 解：原式 （2），利用配方法求的最小值． 解： ∵， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． (2)用配方法分解因式：． (3)若，求的最小值． 【题型3 解一元二次方程-公式法】 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 3．解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 4．用公式法解方程：． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 3．方程的根为（ ） A． B． C． D． 4．解方程 (1)； (2)． 5．解方程： (1)； (2)． 【题型5 根据判别式判断一元二次方程的根情况】 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（   ）． A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根为，求m的值． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【题型6 根据一元二次方程的根情况求参数】 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是 ． 【题型7 根与系数的关系】 1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（） A． B．2 C．3 D． 2．已知关于x的方程的一个根为，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 3．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 5．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为 、 ，且 ，求m 的值 1．已知等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（   ） A．10 B．14 C．10或14 D．12 2．解方程： (1)； (2)． 3．用公式法解方程：． 4．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $