江苏省南京市2026年中考数学练习卷

江苏省南京市2026年中考数学练习卷 一、单选题（每题3分，共18分） 1．2025年，中国在大模型技术迭代速度方面表现出显著的活跃度，已成为全球大模型技术迭代速度最快的国家之一．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 3．某地连续统计了天日最高气温，绘制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（    ） A．这日最高气温的中位数是 B．这日最高气温的平均值为 C．这日最高气温的极差是 D．这日最高气温的众数是 4．已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 5．七年级一班有40人报名参加曲艺社或天文社．已知参加曲艺社的人数比参加天文社的人数多7人，两个社都参加的有15人．若设参加曲艺社的人数为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共30分） 7．比较大小：2 ． 8．因式分解： ． 9．2025年10月26日在天津举行了马拉松比赛，其中半程马拉松的起点A和终点B之间均匀分布着4个饮用水补给站C，D，E，F．另外，之间还均匀分布着2个医疗站M和N，第2个饮用水补给站D在第一个医疗站M后千米处，问间距离是 千米． 10．一个不透明布袋里只装有n个红球和5个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为 ． 11．在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是 （结果保留根号）． 12．如图，将长方形纸片沿直线折叠，点B落在点处，若，则的度数是 ． 13．如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），的三个顶点均为格点，将绕着点O逆时针旋转得到，在整个旋转过程中，线段扫过的面积为 ．（结果保留） 14．如图，函数与交于点，则不等式的解集为 ． 15．如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为 ． 16．如图，四边形是平行四边形，点D关于的对称点为点F，点E、F都在函数，轴，延长与x轴交于点B，当平行四边形的面积是时，则 ． 三、解答题（共72分） 17．（共4分）计算： (1)； (2)． 18．（共4分）解下列方程： (1)； (2)． 19．（共2分）计算：． 20．（共4分）如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求作图． (1)画出关于轴对称的图形（点、、分别对应、、）． (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点（保留作图痕迹）． 21．（共4分）随着新年来临，忠州特产供销两旺．李师傅的特产店在元旦节售出“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”共60公斤，已知每公斤“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”的利润分别是6元、5元，售出后共获利320元． (1)元旦节“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”各售出了多少公斤？ (2)元旦节后，根据市场调查，李师傅决定将“西厢阁汤圆粉”加价，“忠州嫩竹笋干”降价，已知“西厢阁汤圆粉”每加价1元则销量将下降了，且加价金额与降价金额相同．若售价调整后的第一天售出总量没变，但利润增加了元，求售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润． 22．（共6分）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 23．（共6分）某市在推进城市更新过程中，高度重视居民居住环境的改善，尤其关注住宅采光问题．规划部门规定：新建楼房在冬至日正午的影子，不能遮挡北侧原有楼房一楼的窗户．如图，旧楼的一楼窗台高为1米（即米），已知该市冬至日正午太阳光线（平行光）与水平线的最小夹角约为（参考数据：，，）． (1)现计划在旧楼正南方40米处再建一幢新楼．求新楼的最高高度（即点到地面的距离），使得其影子恰好不遮挡旧楼一楼的窗户． (2)若实际建造时，新楼的高度设计为55米，请问为了满足采光要求，新楼至少应建在旧楼正南方多少米处？ 24．（共6分）如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． (1)求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； (2)如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 25．（共12分）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________； (3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________； (4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为． ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 26．（共12分）将两个大小不同的等腰直角三角形与如图1放置，其中，的直角顶点与斜边的中点重合．以点为旋转中心逆时针旋转，当所在直线首次经过点时停止旋转（如图3）． 【初步感知】 （1）如图1，当在初始位置时，连接，，则和的数量关系为______，位置关系为_______； 【类比探究】 （2）如图2，在的旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【迁移应用】 （3）若，连接， ①如图3，当旋转至终止位置时，求的长； ②如图4，在的旋转过程中，请问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 27．（共12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，若点P是位于直线上方抛物线上的一点，点Q、G是抛物线对称轴上的两点，连接、、、、．若，当面积取得最大值时，求的最小值及此时点Q的坐标； (3)将抛物线向左平移3个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴的交点为点E．点M为新抛物线上的一个动点，连接，，当，直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省南京市2026年中考数学练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B A C A A 1．B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两条较短边的平方和是否等于最长边的平方来判断是否能组成直角三角形． 【详解】解：A．，故不能组成直角三角形． B．，故能组成直角三角形． C．，故不能组成直角三角形． D．，故不能组成直角三角形． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查的是扇形统计图、求众数、平均数，中位数，解题的关键是能从扇形统计图中获取信息．先分别求出各个温度所占天数，再根据众数、平均数，中位数，极差的定义求解即可． 【详解】解：的有天，的有天，的有天，的有天，的有天， 这天的温度从小到大排列为，，，，，，，，，， 这日最高气温的中位数是，故A错误； 这日最高气温的平均值为，故B正确； 这日最高气温的极差是，故C正确； 这日最高气温的众数是，故D正确； 故选：A． 4．C 【分析】先对原式进行分式的混合运算，将其化简为最简形式，再根据结果为整数且为整数的条件，确定的取值，最后计算所有符合条件的的值之和． 【详解】解：∵ 原式 = = = = = ． 令（为整数），则， ∴ ． ∵ 为整数， ∴ 为整数，即为的因数：， ． 当时，；时，；时，；时，． 当时，原式无意义，舍去， ∴的值只能为，，． ∴ 所有值之和为． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及整数解的确定，解题关键是先化简分式，再根据整除性确定的取值，同时要排除使分母为的情况． 5．A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设参加曲艺社的人数为，则参加天文社的人数为，根据总人数等于曲艺社人数与天文社人数之和减去两个社都参加的人数列方程即可． 【详解】解：设参加曲艺社的人数为，则参加天文社的人数为， 由题意得，． 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是． 【详解】解：，，， ， ∴， 绕A点逆时针旋转后得到， ， ∴ ∴． 故选：A． 7．＞ 【分析】本题考查有理数比较大小．熟练掌握负数小于零小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，是解题的关键． 根据正数大于负数即可解答． 【详解】解： 故答案为：>． 8． 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设的长度为L千米，根据补给站和医疗站的均匀分布，D的位置为，M的位置为，由，解得． 【详解】解：∵第2个饮用水补给站D在第一个医疗站M后千米处， ∴千米， 设的长度为L千米， 根据补给站和医疗站的均匀分布，可知D的位置为，M的位置为， ∴， 解得． 故答案为：． 10．3 【分析】本题考查利用概率求数量，根据摸出一个球是红球的概率为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得； 经检验，是原方程的解且符合题意； 故答案为：3． 11．/ 【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，由黄金分割的定义可得，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 点是 的黄金分割点，且， ∴ ， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了折叠的性质，解题的关键是掌握折叠性质进行计算即可求解．根据折叠得出，再根据平角解答即可； 【详解】解：∵长方形纸片沿直线折叠，点B落在点处，若，如图； ∴， ∴ ， 故答案为：. 13． 【分析】本题考查了网格与勾股定理，不规则图形面积，旋转性质，先理解题意，运用勾股定理得，再根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 则，， ∴线段扫过的面积 ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，先理解题意，得出函数与交于点，然后运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数与交于点， ∴ 解得， 即函数与交于点， ∴观察函数图象，得不等式的解集为， 故答案为： 15．12 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握这两个定理是关键；过点O作于点E，则，，由勾股定理即可求得，从而求得结果． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即圆心O到的距离为； 故答案为：12． 16． 【分析】过点作轴于点，设与交于点，连接，，由平行四边形性质可得，由对称性可得，推出，可得，，进而得出，再证得，可得，利用平行线的判定得出，进而得出，再根据反比例函数的的几何意义可得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，设与交于点，连接，， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 点关于的对称点为点， ∴， ∴， ，，， ， ，即， ， ， ∴， ， ， ， ∵点E、F都在函数，轴，轴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，反比例函数的的几何意义，相似三角形的判定和性质等，解题关键是熟练掌握反比例函数的的几何意义． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴． 19． 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，化简二次根式，先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 20．(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点位置是解题关键． （1）根据轴对称的特点作出点、、关于y轴的对称点的坐标，然后顺次连接即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点P位置即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 21．(1)忠州嫩竹笋干售出20公斤，西厢阁汤圆粉售出40公斤 (2)7元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意列方程是解决本题的关键． （1）设“忠州嫩竹笋干”售出x公斤，“西厢阁汤圆粉”售出y公斤，根据题意列方程组为，进行求解即可； （2）设调价金额为a元，则汤圆粉调价后：利润为元公斤，销量为公斤；嫩竹笋干调价后：利润为元公斤，销量为公斤，再根据题意列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设“忠州嫩竹笋干”售出x公斤，“西厢阁汤圆粉”售出y公斤． 根据题意得：， 解得． ∴“忠州嫩竹笋干”售出20公斤“西厢阁汤圆粉”售出40公斤； （2）解：设调价金额为a元， ∴汤圆粉调价后：利润为元公斤，销量为公斤； 嫩竹笋干调价后：利润为元公斤，销量为公斤， 根据题意得 解得或（舍去）， ∴调价后汤圆粉的利润为元公斤． ∴售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润为7元． 22．(1) (2) (3)，，， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与轴的交点坐标，根据代入数据计算即可； （3）分四种情况讨论，分别求出满足条件的点坐标即可． 【详解】（1）解：已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点， ， ，， 反比例函数解析式为：； （2）解：，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交点为，则，， ； （3） 解：在轴上存在点，使是等腰三角形， 设点，， ， 分四种情况考虑，如图所示： 当时，为等腰三角形， 则，即， 解得 ； 当时， 则， 此时； 当时，， 此时； 当时， 则， 此时； 综上，满足题意坐标为，，，． 23．(1)新楼的最高高度为31米 (2)新楼至少应建在旧楼正南方72米处 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，仰角俯角问题： （1）过点作，垂足为，在中，根据，即可求得的长； （2）求得，在中，根据，代入数据计算，即得结论． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 则米，米， 在中，，， ， 米， 答：新楼的最高高度为31米； （2）解：由题意得米， 米， 在中，， 米， 答：新楼至少应建在旧楼正南方72米处． 24．(1)； (2) 【分析】本题考查了把化成顶点式，求抛物线与x轴的交点坐标，投球问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将解析式转化为顶点式，从而可求得小球到达的最高点的坐标，再取，，解一元二次方程求得即可得出小球落回地面点的坐标； （2）联立两解析式可得：，求出方程组的解即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，． 故小球到达的最高点的坐标为； 当时，，解得（不合题意，舍去），， 故小球落回地面点的坐标为； （2）解：联立两解析式可得：， 解得：，或， 故可得点的坐标为． 25．(1)，，7 (2)3 (3)12 (4)①，；②当时，的值为定值，定值为． 【分析】本题主要考查了多项式的概念、数轴上两点间的距离、折叠问题、整式的加减运算、绝对值等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据b是最大的负整数可得，根据多项式的概念可得，； （2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点B重合的点所表示的数； （3）分、、、四种情况，分别去绝对值求最值即可解答。 （4）①先表示出点P和点Q表示的数，进而可用含t的代数式表示线段和线段的长； ②根据，当时，其值为定值,据此求解即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， ∴． 故答案为：，，7； （2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕处的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为． 故答案为：3； （3）解：当时，，当时，有最小值16； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值20； 综上，的最小值为12； （4）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴，， ②存在， ∵， ∴当，即时，的值为定值，定值为． 26．（1），；（2）结论成立，证明见解析；（3）①，②是定值；10． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，难度较大． （1）证明，则，，延长交于点T，再由互余关系证明垂直即可； （2）连接，记与分别交于点，证明，再同上证明即可； （3）①连接，设，则由（2）得，，在中，，由勾股定理得，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； ②连接交于点，由（2）得，，然后对，，，运用勾股定理求解即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点T， ∵，， ∴， ∴，即； （2）结论成立，证明如下： 如图1，连接，记与分别交于点， ，点为的中点， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）①如图2，连接，设，则 由（2）得，， ， 在中， 在中， 得 化简得 解得：（舍去）， ． ②，理由如下：如图3，连接交于点， 由（2）得，， 在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， 27．(1) (2)的最小值为， (3)点M的横坐标为或，过程见详解 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求出b，再利用待定系数法求出c，即可得解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，则抛物线对称轴为直线，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而得出，利用二次函数的性质可得当时，面积取得最大值，此时，在y轴正半轴取点，使得，连接，，则四边形是平行四边形，从而得到，即当点P、G、三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，即可求出最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点Q的坐标； （3）根据题意先求出平移后的新抛物线解析式及对称轴，此时点B与点E重合，分情况讨论：①过点B作，交新抛物线于点，此时；②作的垂直平分线交于点I，连接交新抛物线于点，此时，根据不同的情况作出对应的辅助线，利用相关知识求解直线解析式并最终联立新抛物线解析式即可求得点M的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ， ， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ∴抛物线对称轴为直线， 令，则， 令，则，解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，面积取得最大值，此时， 在y轴正半轴取点，使得，连接，， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴当点P、G、三点共线时，有最小值， ，， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， ， ， ∴当取最小值时点的坐标为． （3）解：由题意知，平移后新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为，此时点B与点E重合， ①如图，过点B作，交新抛物线于点， ∵， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与得：， 解得：（舍去，在第二象限，），； ②如图，作的垂直平分线交于点I，连接交新抛物线于点， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，C代入得：，解得， ∴直线， ∵点K为中点， ∴，即， 设与y轴交点为Q，过点K作轴交y轴于点P， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点K，Q分别代入得：，解得， ∴直线， 联立直线与直线得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，I分别代入得：，解得， ∴直线， 联立与得：， 解得：，（舍去，在第一象限，）， 综上所述，点M的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题及二次函数关于角度综合问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $