数列 专题练习-2026届高三数学一轮复习

数列 一、单选题 1．若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．在等差数列中， ，则的公差为（ ） A．-3 B． C．3 D． 3．已知数列满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 5．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 7．已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 二、多选题 9．设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 10．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．数列是递减数列 B． C．时，的最大值是18 D． 11．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（   ） A．若，则数列是等差数列 B．若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值 C．若数列是等比数列，则，，成等比数列 D．若数列是等差数列，则 三、填空题 12．若数列是等比数列，，则公比 . 13．已知数列中，，则 . 14．已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则 ． 四、解答题 15．已知等差数列的前n项和为，且 (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 16．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 17．已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 18．记，分别为数列，的前项和，其中满足，，且，. (1)求及； (2)比较与的大小. 19．如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求的值； (2)①求证：数列是等比数列； ②求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D A A D B ACD BCD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】求得等比数列的前项，进而求得，从而求得正确答案. 【详解】等比数列的前n项和为， 则， ， 所以，则， 即， 所以. 故选：B 2．B 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 所以. 故选：B 3．A 【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，可得；当时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 4．D 【分析】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【详解】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 5．A 【分析】由对数运算性质及等比数列的定义得是首项、公比都为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式及求的最大值. 【详解】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A. 6．A 【分析】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 7．D 【分析】由求得通项公式判断. 【详解】由，可知是以18为首项，以-3为公差的等差数列， 所以 ，即， 所以通过数列图象上所有点的直线方程为， 故选：D 8．B 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确， 故选：B 9．ACD 【分析】代入计算判断A；由求解判断B；利用等差数列定义判断C；结合选项C利用等差数列通项公式求得，代入题干即可求解判断D. 【详解】当时，，解得，故A正确； 由，得，上述两式作差，得， 即，故B错误； 由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确； 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 解得，因为，所以. A:由，可得 所以等差数列为递增数列，故A错误； B：，故B正确； C：， 由可得，所以，又， 所以的最大值是18，故C正确； D：， 由，得，故D正确. 故选：BCD. 11．BD 【分析】对于A，利用与间的关系，求出，即可求解；对于B，根据条件得，，即可求解；对于C，取，当为偶数时，，即可求解；对于D，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为①，当时，②， 由①②得到，又时，，不满足， 所以，则，数列不是等差数列，故选项A错误， 对于选项B，因为，且，则公差，由，得到， 所以，故当时，取得最大值，所以选项B正确， 对于选项C，取，为等比数列，且首项为，公比为， 当为偶数时，，此时，，不成等比数列，所以选项C错误， 对于选项D，因数列是等差数列，则，所以选项D正确， 故选：BD. 12．1或 【分析】根据等比数列的项与前项和的基本量运算列方程求解即得. 【详解】由，可得， 两式相除，可得，即， 解得或. 故答案为：1或. 13． 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 14． 【分析】由确定数列与数列的公共项为，再通过裂项求和即可. 【详解】由题意设，即， 因为为偶数，所以也为偶数， 所以数列与数列的公共项为， 所以， 所以， 故答案为：. 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用与的关系可求； （2）分和两种情况，当时直接用等差数列的求和公式可得；当时，利用可求. 【详解】（1），时 两式相减得：， 又也符合， 所以 （2）① ② 综上： 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 17．(1)，. (2) 【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果； （2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可. 【详解】（1）由题意得：，， 解得，， 所以，. （2）由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 18．(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件可得是等差数列，再列出关于首项、公差的方程组求解，进而求出通项公式及前项和. （2）利用前项和的意义，结合等差数列前项和公式比较大小即得. 【详解】（1）数列中，由，得数列是等差数列，设公差为， 而， 由，，得，解得， 所以，. （2）依题意， . 19．(1)， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，即点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，即可求解； （2）①由即可得证； ②由得，利用错位相减法与分组求和即可求解. 【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面． 所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 所以 ． （2）①因为， 所以． 又因为，所以， 所以数列是首项为公比为的等比数列． ②因为， 所以，所以． 设， 则， 则， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $