安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学10.10周测试题

2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码粘贴处 (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、1 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 选择题（请用2B铅笔填涂） 1、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 11、[A][B][C][D] 2、[A][B][C][D] 7、[A][B][C][D] 3、[A][B][C][D] 8、[A][B][C][D] 4、[A][B][C][D] 9、[A][B][C][D] 5、[A][B][C]ID] 10、[A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 10月10日高二数学周末作业 答案 一、单选题 1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 5．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 6．设O为△ABC的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，正确的是（    ） A．； B．在中，是的充要条件； C．在中，若，则必是等腰直角三角形； D．在锐角中，不等式恒成立. 10．对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若Rt中，，则 D．若中，，则是等腰三角形 11．在长方体中，，底面是边长为3的正方形，，则下列选项正确的有（    ） A．，三棱锥的体积是定值 B．当时，存在唯一的使得平面 C．当时，的周长取得最小值 D．当直线与所成角的余弦值为时，的值为 三、填空题 12．过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 13．如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为 米，取景点与之间的距离为 米． 14． 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则与平面所成角的正弦值是 四、解答题-问答题 15．如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． (1)将用表示出来； (2)当时，求与夹角的余弦值. 16．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 17．如图，在四棱锥中，，，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，且点到四点距离都相等. （i）求四棱锥的体积； （ii）求的长. 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 19．如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月10日高二数学周末作业 答案 一、单选题 1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由斜率公式可得， 故经过，两点的直线的倾斜角为60°. 故选：B. 2．已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先明确空间直角坐标系中的点关于平面对称的坐标变换规律，再根据该规律计算出点的对称点的坐标． 【详解】如图所示，设点为点关于平面的对称点，设点， 根据对称性质可得，，即点． 故选：A． 4．若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得. 故选：A. 5．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 6．设O为△ABC的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆半径为，由已知条件可得,，所以，且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解. 【详解】 设的外接圆半径为，因为,， 所以，且， 取的中点，连接，则，因为， 所以，即， 所以, 在中由余弦定理可得：， 在中，由正弦定理得：. 故选：D 7．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于④设球心，由求解球心坐标即可. 【详解】 以A为坐标原点，分别以为轴建系如图： ,， ， 设, 则， 所以 设面的一个法向量为， 则 令得， 对于①：到平面的距离为，故①正确； 对于②：连接，因为四边形为平行四边形， ，又面，面， 面， 同理可证面， 又，所以面面， 所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故②正确； 对于③：设直线与面所成角为，则， ，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确； 对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心， ， ， 解得， 所以外接球半径满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故④正确； 综上：①②③④均正确. 故选：D 【点睛】几何体外接球球心的求法： （1）将几何体置入长方体中找球心； （2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心； （3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标. 8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知， 即 由正弦定理化简得 即 故选：. 【点睛】方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，； （2）角化边：   ①利用正弦定理：，， ②利用余弦定理： 二、多选题 9．下列命题中，正确的是（    ） A．； B．在中，是的充要条件； C．在中，若，则必是等腰直角三角形； D．在锐角中，不等式恒成立. 【答案】ABD 【分析】由诱导公式和二倍角的正弦公式可得A正确；由正弦定理结合充要条件的定义可得B正确；由正弦定理和二倍角正弦公式可得C错误；由诱导公式及正弦函数单调性可得D正确. 【详解】A：，故A正确； B：在中，由正弦定理可得， 所以， 所以是的充要条件，故B正确； C：在中，若， 由正弦定理可得，所以， 所以或，即或， 所以是等腰或直角三角形，故C错误； D：在锐角中，，且，所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10．对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若Rt中，，则 D．若中，，则是等腰三角形 【答案】ABD 【分析】根据新定义的运算，求出向量的模，向量的夹角，针对各个选项分别求解即可. 【详解】对于A：因为，所以或， 所以，A正确； 对于B：因为， 所以，， 所以， ，B正确； 对于C：若Rt中，，所以， 所以，C错误； 对于D：中， 所以， 所以，因为 所以，即，是等腰三角形，D正确. 故选：ABD. 11．在长方体中，，底面是边长为3的正方形，，则下列选项正确的有（    ） A．，三棱锥的体积是定值 B．当时，存在唯一的使得平面 C．当时，的周长取得最小值 D．当直线与所成角的余弦值为时，的值为 【答案】ACD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；由平面可得，设，结合勾股定理建立方程可求得，进而判断B；将四边形展开到一个平面上，连接，交于E点，分析易得E为的中点，进而分析求解即可；建立空间直角坐标系利用空间向量建立方程求解判断D. 【详解】对于A，由于平面，故E到平面的距离为定值3， 而的面积为，故三棱锥的体积为，为定值，A正确； 对于B，当时，，若平面， 而平面，故，设， 则，， 即，， 即，解得， 即当时，上存在两个不同的点E，使得平面， 由于，即存在不同的使得平面，B错误； 对于C，如图，将四边形展开到一个平面上，连接，交于E点， 由于，故为三角形的中位线，即E为的中点， 则，此时的值最小，即的周长取得最小值，C正确； 对于D，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 由于，故，则， 故， 则， 解得（负值舍去），D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【答案】和 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 13．如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为 米，取景点与之间的距离为 米． 【答案】 ； . 【分析】根据题意可知，再由边角关系可求得AB；求出CB和FB在中由余弦定理即可求解. 【详解】解：由题可知等腰三角形，故, 中，， 故纪念碑的高度为米； 中，， ， 又，由余弦定理可得： ， 解得：， 故取景点与之间的距离为米. 故答案为：；. 14． 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则与平面所成角的正弦值是 四、解答题-问答题 15．如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． (1)将用表示出来； (2)当时，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； (2)分别求得，，利用向量数量积的运算律求得，，利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， ； （2）当时，由（1）知，，， 因 故 ， 且 ， 设与的夹角为， 则. 16．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    17．如图，在四棱锥中，，，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，且点到四点距离都相等. （i）求四棱锥的体积； （ii）求的长. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理进行证明即可； （2）（i）根据线面垂直的判定定理，结合棱锥的体积公式进行求解即可； （ii）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为为的中点， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，设的中点，连接， 因为为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点， 所以，又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面； （2）（i）因为，为的中点， 所以，于是有， 由（1）可知四边形是平行四边形，所以， 因为， 所以，而平面， 所以平面， 因此四棱锥的体积为； （ii）因为，， 所以，于是两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， ， 因为点到四点距离都相等， 所以， 所以. 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题干及余弦定理可得，再根据余弦定理即可求解； （2）由题可得为等边三角形，，在与中，分别由正弦定理求出，，根据三角形面积公式可得，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以. 因为，所以. （2）由及可知为等边三角形. 又因为，，所以. 在中，，由正弦定理可得，即. 在中，，由正弦定理可得，即. 所以. 因为 ， 因为，所以，所以， 所以. 所以，所以， 所以. 所以的取值范围为. 19．如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）由棱台性质知， 所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为D为BC中点，所以，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以，则， 以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， ，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为， （3）设为平面ADE的法向量， ， ，令得，， 设， 因为点M在侧面内，所以存在使得, ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为M在侧面内，所以， 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为 ，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为， ，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $