寒假预习：三角形（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

寒假预习讲义：三角形 知识精讲+例题讲解+强化训练 知识精讲 一、三角形的特性与定义 1、三角形的定义 （1）概念：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 （2）表示方法：为了表达方便，通常用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示为三角形ABC。 2、三角形的高和底 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）特性：任意一个三角形都有三条高（每个顶点对应一条高）。 3、三角形的稳定性 （1）特征：三角形具有稳定性。也就是说，三角形的三条边长度确定了，这个三角形的形状和大小也就完全确定了，不容易变形。 （2）应用：生活中很多地方利用了三角形的这一特性，如自行车的车架、篮球架的支架等。 二、三角形的三边关系 1、三边关系定理 （1）内容：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。 （2）作用：利用这一性质，可以判断给定的三条线段能否围成一个三角形。 2、判断方法 （1）常规法：将较短的两条线段长度相加，如果和大于最长的那条线段长度，则能围成三角形；反之则不能。 （2）快速法：只需检查最短两边之和是否大于最长边即可。 三、三角形的分类与内角和 1、按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 （2）直角三角形：有一个角是直角的三角形。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 2、按边分类 （1）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 （2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角（等腰三角形的两个底角相等）。 （3）等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60°。等边三角形是特殊的等腰三角形。 3、三角形的内角和 （1）定理：三角形的三个内角和是180°。 （2）应用：已知三角形的两个角，可以求出第三个角的度数。 例题讲解 【典型例题1】 画出下面三角形底边上的高。 （此处假设有一个三角形底边AB的图示） 【解析】 （1）找顶点：找到与底边AB相对的顶点C。 （2）画垂线：从顶点C向底边AB所在的直线作垂线，确保线段与底边成90度角。 （3）标垂足：垂线与底边的交点为垂足D，线段CD即为底边AB上的高。 【跟踪练习】 （1）三角形具有（ ）性，生活中利用这一特性的例子有（ ）。 （2）一个三角形的两条边长分别是5厘米和8厘米，第三条边的长可能是（ ）厘米。 A. 13 B. 6 C. 3 【典型例题2】 一个等腰三角形的顶角是80°，求它的一个底角是多少度？ 【解析】 （1）分析：等腰三角形有两个底角相等。三角形内角和是180°。 （2）计算：先用180°减去顶角的度数，得到两个底角的度数和；再除以2，得到一个底角的度数。 （3）过程： 。 答：它的一个底角是50°。 【跟踪练习】 （1）一个直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是多少度？ （2）一个等腰三角形的一个底角是70°，它的顶角是（ ）°，它又是一个（ ）三角形。 【典型例题3】 判断：有两条边相等的三角形一定是等腰三角形。（ ） 【解析】 （1）分析：根据等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 （2）结论：该说法正确。此外，如果三条边都相等（等边三角形），也属于等腰三角形（特殊的等腰三角形）。 【跟踪练习】 （1）一个三角形中，最小的角是46°，这个三角形按角分是（ ）三角形。 （2）用一根长28厘米的铁丝围成一个等腰三角形，如果底边长是10厘米，那么每条腰长是多少厘米？ 强化训练 一、填空题 1．把一根10米长的木棍截成三段，拼搭成一个三角形（连接处损耗不计），你来设计几种不同的截法。 （1）　 　米＋　 　米＋　 　米 （2）　 　米＋　 　米＋　 　米 2．计算出三角形被信封盖住的角的度数，并按角分，填出三角形的名称。 　 　°，　 　三角形； 　 　°，　 　三角形； 　 　°，　 　三角形。 3．一个等边三角形的边长是9 厘米(如图)，它的周长是　 　厘米。把它按如图方式分成两个直角三角形后，∠1=　 　，∠2=　 　。 4．一个三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边的长度分别是6厘米和9厘米，第三条边最短是　 　厘米，最长是　 　厘米。 5．如图，淘淘从家出发到外婆家走第　 　条路 最近。①与②比，是因为两点间所有连线中　 　最短；②与③比，是因为三角形中，任意两边之　 　大于第三边。 二、判断题 6．钝角三角形中的两个锐角之和一定小于90°。(　　) 7．三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性。(　　) 8．一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。(　　) 9．用6cm、2cm、8cm的三根小棒，可以拼成一个三角形。(　　) 10． 三根木棒的长是8分米、8分米、16分米，它们可以搭成一个等腰三角形。(　　) 三、选择题 11．下列的三个角度为同一个钝角三角形的内角的是(　　)。 A．60°，60°，60° B．93°，24°，65° C．102°，37°，41° D．105°，35°，30° 12．在一个三角形ABC 中，∠B 是∠A的2倍，∠C是∠A的3倍，这个三角形是(　　)三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 13．如图是手工课上奇奇、妙妙、甜甜和聪聪制作的相框的背面展示图，(　　)的相框更不容易变形。 A．奇奇 B．妙妙 C．甜甜 D．聪聪 14．小芳要用三根木棒搭建一个三角形底座放置花盆，她已经准备了两根木棒，分别长40厘米、60厘米。第三根木棒要选择(　　)。 A．110厘米 B．100厘米 C．90厘米 D．20厘米 15．下面四句话中，描述错误的是(　　)。 A．一个三角形中至少有2个锐角 B．如果三角形有一个角是80°，这个三角形就是锐角三角形 C．钝角三角形中的两个锐角的和一定小于90° D．正方形是特殊的长方形，等边三角形是特殊的等腰三角形 四、解决问题 16．把一根长15cm的吸管剪成整厘米数的三段，用线串成一个三角形(如图)。还可以怎样剪？请全部写出来。 17．爸爸想用三根长分别为10厘米，10 厘米和21 厘米的木条钉成一个三角形的小画框，请问他能钉成吗？如果不能，怎样处理一下就可以钉成？ 18．很多风筝的形状都是三角形，这是因为三角形具有稳定性，能够承受风力而不容易变形。丽丽测量出一个等腰三角形风筝的顶角是80°，那么这个风筝的一个底角是多少度? 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 （1）稳定性；自行车车架（答案不唯一）。 （2）B。解析：根据三角形三边关系，第三边必须小于 厘米，且大于 厘米。选项中只有6厘米符合。 【跟踪练习2】答案 （1）55°。解析： 。 （2）40；锐角。解析：顶角 ；三个角都是锐角，所以是锐角三角形。 【跟踪练习3】答案 （1）锐角。解析：最小角是46°，那么另外两个角肯定大于46°，三个角加起来是180°，所以最大的角一定小于 ，所以三个角都是锐角。 （2）9厘米。解析：先算两腰之和： （厘米），再算每条腰： （厘米）。 【强化训练】 1．（1）3；3；4 （2）2；4；4 2．110；钝角；90；直角；70；锐角 3．27；60°；30° 4．4；14 5．②；线段；和 6．正确 7．正确 8．错误 9．错误 10．错误 11．C 12．B 13．B 14．C 15．B 16．解：还有6种剪法：①7cm，7cm，1cm；②7cm，6cm，2cm；③7cm，4cm，4cm；④6cm，6cm，3cm；⑤6cm，5cm，4cm；⑥5cm，5cm，5cm。 17．解：10+10=20(厘米) 20<21 答： 不能钉成一个三角形的小画框，因为三角形的任意两边之和应大于第三边； 把21厘米的木条锯掉7厘米(答案不唯一，合理即可)。 18．解：（180°-80°）÷2 =100°÷2 =50° 答：这个风筝的一个底角是50°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $