专题 1.6 三角形内角和定理考点与题型专题训练（6大考点12类题型）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.6 三角形内角和定理考点与题型专题训练（6大考点12类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算与证明） 1 【考点一】三角形内角和定理的证明 1 题型 1：三角形内角和定理的证明 1 【考点二】利用三角形内角和直接求值证明 5 题型 2：直接利用三角形内角和定理求值 6 题型 3：直接利用三角形内角和定理证明 8 【考点三】三角形外角性质 12 题型 4：利用三角形外角性质求值 12 题型 5：利用三角形外角性质证明 13 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 15 【考点四】平行线与三角形综合 15 题型 6：平行线与三角形内角和定理综合求值证明 15 【考点五】角平分线与三角形内角和综合 17 题型 7：三角形双内角平分线 17 题型 8：三角形一内角一外角平分线 20 题型 9：三角形双外角平分线 23 题型 10：三角形内外角平分线综合 26 【考点六】三角形外角性质综合 33 题型 11：三角形内外角和综合 33 题型 12：三角形内外角和综合应用 35 基础篇（夯实概念 + 基础计算与证明） 【考点一】三角形内角和定理的证明 题型 1：三角形内角和定理的证明 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【考点二】利用三角形内角和直接求值证明 题型 2：直接利用三角形内角和定理求值 1．（24-25八年级下·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，点是上一点，且满足，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·月考）如图，，，．若，则 ．    3．（22-23八年级上·广西贺州·期末）如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 题型 3：直接利用三角形内角和定理证明 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 3．（24-25八年级上·山东德州·月考）如图，，，，、相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 【考点三】三角形外角性质 题型 4：利用三角形外角性质求值 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，的外角，求各内角的度数． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，图中x的值为 ． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点，分别在，的延长线上，若，，，求的度数． 题型 5：利用三角形外角性质证明 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知 ，延长至点，平分 交的延长线于点．求证： ． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在和中，．求证：． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图， 连接， 求证： 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点四】平行线与三角形综合 题型 6：平行线与三角形内角和定理综合求值证明 1．（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【考点五】角平分线与三角形内角和综合 题型 7：三角形双内角平分线 1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，、的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 题型 8：三角形一内角一外角平分线 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，的平分线与的外角，的平分线，相交于点，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图所示，，作的延长线，与的角平分线相交于，与的角分线相交于以此类推，与的角分线相交于，则 度． 题型 9：三角形双外角平分线 1.（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则 ． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 题型 10：三角形内外角平分线综合 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【考点六】三角形外角性质综合 题型 11：三角形内外角和综合 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，已知是外角的平分线，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)请说明． 题型 12：三角形内外角和综合应用 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 三角形内角和定理考点与题型专题训练（6大考点12类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算与证明） 1 【考点一】三角形内角和定理的证明 1 题型 1：三角形内角和定理的证明 1 【考点二】利用三角形内角和直接求值证明 5 题型 2：直接利用三角形内角和定理求值 6 题型 3：直接利用三角形内角和定理证明 8 【考点三】三角形外角性质 12 题型 4：利用三角形外角性质求值 12 题型 5：利用三角形外角性质证明 13 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 15 【考点四】平行线与三角形综合 15 题型 6：平行线与三角形内角和定理综合求值证明 15 【考点五】角平分线与三角形内角和综合 17 题型 7：三角形双内角平分线 17 题型 8：三角形一内角一外角平分线 20 题型 9：三角形双外角平分线 23 题型 10：三角形内外角平分线综合 26 【考点六】三角形外角性质综合 33 题型 11：三角形内外角和综合 33 题型 12：三角形内外角和综合应用 35 基础篇（夯实概念 + 基础计算与证明） 【考点一】三角形内角和定理的证明 题型 1：三角形内角和定理的证明 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平角的定义平行线的性质证明即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 【考点二】利用三角形内角和直接求值证明 题型 2：直接利用三角形内角和定理求值 1．（24-25八年级下·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，点是上一点，且满足，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据平行线的性质可得，即，推出，再根据三角形的内角和定理可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ，即， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·月考）如图，，，．若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，由题意可证，可得，再根据三角形内角和即可得． 【详解】证明：如图，设交于点，    在和中， ， ， ， ，,， ． 故答案为：． 3．（22-23八年级上·广西贺州·期末）如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理得到； （2）由全等三角形的性质得到，，又，即可证明，得到，于是． 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由推出，，由证明，得到． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ，， ， ∴， ， ． 题型 3：直接利用三角形内角和定理证明 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及全等三角形的判定，先观察图形，运用三角形内角和算出，则，即运用证明图中的两个三角形是全等三角形，即可作答． 【详解】解：依题意， 则，， 即得出两组角分别相等，夹边相等， 故两个三角形是全等三角形， 故选：B 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，证明，即可作答； （2）结合三角形内角性质以及，即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示： ∵， 即， ∵ ∴， ∵，且 ∴． 3．（24-25八年级上·山东德州·月考）如图，，，，、相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． （1）利用说明得结论； （2）先利用全等三角形的性质说明，再利用三角形内角和定理说明得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． （2）证明：如图， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，． ∴． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质是解决问题． （1）先整理得，根据三角形外角的性质得出，整理得，即可得出结论； （2）先根据三角形外角的性质得出，，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 是的外角， ， 即：， ∴ 即 （2）解：，， ． ， ， 又∵， ， 【考点三】三角形外角性质 题型 4：利用三角形外角性质求值 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，的外角，求各内角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和性质，一元一次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用三角形外角性质列式，解得，故，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，的外角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，图中x的值为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了三角形外角的性质，运用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和得出关系式，由三角形外角性质可得结论． 【详解】解：根据外角的性质可得：， 解得：， 故答案为：60． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点，分别在，的延长线上，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型 5：利用三角形外角性质证明 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知 ，延长至点，平分 交的延长线于点．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质．根据角平分线定义可得，根据三角形的外角定义得出，，即可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴． 在中，， 在中，， 即， 整理，得． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在和中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质．先证明，得到，再根据三角形的外角性质即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图， 连接， 求证： 【答案】见解析 【分析】设和交于点F，和交于点G，根据三角形外角的性质可得，，再根据三角形内角和等于即可得解． 本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：设和交于点F，和交于点G， ∴是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∵中，， ∴． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点四】平行线与三角形综合 题型 6：平行线与三角形内角和定理综合求值证明 1．（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【考点五】角平分线与三角形内角和综合 题型 7：三角形双内角平分线 1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，、的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先求出的度数，根据平分线的定义得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解∶∵， ∵、的平分线相交于点， ∴ ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 先由角平分线定义及三角形内角和定理得到，从而确定，最后，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 【答案】 110 【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 则， 故答案为：110，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 题型 8：三角形一内角一外角平分线 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，的平分线与的外角，的平分线，相交于点，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 根据为的角平分线，为的平分线，结合三角形外角的性质得到，解得． 【详解】解：因为平分，所以； 因为平分，所以， ，， 将代入， 得：， 又因为， 因此：， 两边同时减去，得：， 综上，和的关系是． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵的内角与外角的平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴， 同理可得，… 以此类推，得到， 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图所示，，作的延长线，与的角平分线相交于，与的角分线相交于以此类推，与的角分线相交于，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质可得：，，而、分别平分和得到，，于是有，即，同理可得，以此类推可得，据此即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质可得： ∵、分别平分和 ∴，， ∵，， ∴ ∴，即 同理可得，即， ∴． ∴． 故答案为：． 题型 9：三角形双外角平分线 1.（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先由三角形的内角和算出，再根据外角平分线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识． 根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答． 【详解】在中，，有 ∵外角和的角平分线交与点， ∴， ∴． ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴． 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形的外角的性质和“两直线平行内错角相等”，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键． 本题先根据三角形外角性质可得，可求出的度数，接下来根据角平分线的定义，在中利用三角形内角和定理可以求得的度数．然后根据角平分线性质和平行线性质可得，即得到，再根据三角形内角和得到，两个式子联立即可求出的度数． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵三角形的外角和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴化简求得． 故答案为：，． 题型 10：三角形内外角平分线综合 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 (3) 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． （1）根据三角形内角和可得，再根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形外角可得，，根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角定理即可求解； （3）设，综合运用三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用并结合前两问即可求解． 【详解】（1）解：在中， ， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ； （2）解：由图可得，，， ∵、分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴在中， ； （3）解：设， 在中，， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ， ∵，， 又∵、分别平分这两个外角， ∴ ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长交于点Q，由（2）可知，，则，又由即可得到；②根据α的值的情况，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）； 理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ， 在中， ； （3）①， 如图，延长交于点Q， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则，则是钝角三角形； 当时，则，则是直角三角形； 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴， ∴是锐角三角形． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）首先证明，分3种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 【考点六】三角形外角性质综合 题型 11：三角形内外角和综合 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角这一性质，并能通过中间角传递大小关系是解题的关键． 要证明，需通过三角形外角的性质，利用中间角传递大小关系，先证，再证 ，从而推出结论． 【详解】证明：是的外角， ． 是的外角， ， ． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明． （1）由，，得到，根据等量代换即可得证； （2）根据等角的补角相等得到，从而证明，得到，再根据，，即可得解． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ， （2），，， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ． 3．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，已知是外角的平分线，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)请说明． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义． 利用三角形外角的性质可得：，根据，，即可求出的度数； 根据三角形外角的性质可得：，，根据角平分线的定义可得：，可证，所以可以证明． 【详解】（1）解：是的外角， ， ，， ， ； （2）证明：是的外角， ， 是的外角， ， 是外角的平分线， ， ， ， ． 题型 12：三角形内外角和综合应用 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，掌握相关性质定理是解题的关键．先根据内角和定理求出和的度数，再利用外角性质求解的度数，进而得解． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $